Celo

0.1 Antaŭparolo

la celo de tiu eldono estas precipe de skribi noton de la pli gravaj aferoj kiuj mi dekovris studinte la fiziko. Tiuj notoj devas helpi memoriǧi čiuj teoremoj, leǧoj, iloj … kiu fariǧas la fiziko tiel vasta. Oni volas marki la |Ero|j kiu estas ia utila kielo por malkovri en la eldono la difino de grandecoj, operaǰoj, sistemoj ktp. La čefa celo estas almeti ia scienca lingaǰo kun siaj termoj kaj objektoj. Oni volas marki ankaŭ la idemaro kiu almetas bazon en la rezono de tiu materio.

Tiu eldono havas ankaŭ aliu temoj kiu ne estas spece fizikaj kaj oni volas paroli pri kelkaj elektoj de naturo empirika aŭ lingvaǰa.

0.2 Tiuj Lingvaj

La scienca vortaro samas preskaŭ čie. Oni povas marki, en tiu senso, ke en Esperanto, estante la sintakso ne definita, oni unuagas kaj ponas al la antencio la plej gravajn vortojn. Čiu vorto havas čian gramatik formon. Facilas [riconoscere] la vorta funkcio gramatika kaj kompreni la dependo inter la vortoj kaj inter la konceptoj, precipe per la funkcio de la akusativo kaj per la uzo de por kaj pro.

0.3 Why not en English?

La angla ligvo estas la pli parolita ligvo en la sciencaj grupoj kaj ofte ne estas petita alian lingvon ekstere la anglan. Mi kreas ke la Esperanto havas grandaj posiblecoj de priskribi sistemon kun sia flekseco kaj clareco. Oni povas eksprimi ion kun la preciseco dezirita kaj mi povas priskribi alion referi al nenio partikle sed uzinte la partikloj …

Capitolo 1

Malvasta Relativeco

1.1 Introducio

Newton postulis tempo absoluta, omoǧena kun energia konservado por isolata sistemo. Spaco absoluta, omoǧena, isotropa kaj nevarianta per traslacio kiu konservas la angula momento. La leǧoj de la fiziko alprenas la sama formo en diversaj sistemoj de rilato kun rapideco relativa nešanǧa. F = ma per |Rilato Inercia| x′ = x+vt t′ = t |Δx| = ||Δx|. Leǧo de kompono de la rapideco: ẋ′ = ẋ + v do ne eksistas absoluta rapideco kaj v + c ne estas kotraŭdira. Si kontraŭdiras anstataĕ, kun la elektromagnetismo de Maxwell lak̆iu □E(x, t) = 0 □H(x, t) = 0. La sistemo de rilato solidala kun la etero estas sekve elektita kaj traktas la rapidecoj de propagado de la ondoj en la sistemo de rilato de la ondoj en la sistemo de la etero. Michelson-Morley [1881-1897]

v_{0} ≃ 3 · 10^{2}m/s (ct)^{2} = l^{2} + (v_{0}t)^{2} t = 2\frac{l}{c} \frac{1}{\sqrt{1+v^{2}/c^{2}}} t = \frac{l}{c+v} + \frac{l}{c+v′} = 2\frac{l}{c} \frac{1}{1−v^{2}/c^{2}} [figure: .; .; .; .; .; v_{0}t; l; ct]

t_{⊥}−t_{∥} = 2\frac{l}{c}((1+ \frac{v^{2}}{2c^{2}} )−(1+ \frac{v^{2}}{c^{2}} )+o(\frac{v^{2}}{c^{2}} ) čar \frac{1}{1−x} = 1+x+o(x^{2}) t_{⊥}−t_{∥} ≃ \frac{l}{c} \frac{v^{2}}{c^{2}} Δλ = l \frac{v^{2}}{c^{2}} n = \frac{Δλ}{λ} = \frac{l}{λ} \frac{v^{2}}{c^{2}} . [1887] Δn = 0.01 l = 11m. Nenia fazdiferenco. Fitzgerald (la braco en la direcio de la movo malgrandiǧas) Michelson-Morley (etera translokado). se la

[figure: ^{v^{0}}]

longeco malgrandiǧas de ia faktoro \sqrt{1 − \frac{v^{2}}{c^{2}}} . Konsiste, laŭ Lorentz, pro la malgrandiǧo de la longecoj sekvas la grandiǧo de la tempoj kaj priskribas la leǧo per la šanǧo de la spacakaj tempa koordinataj de la etero al rilata sistemo movade laŭe ǧi kiu plutenas la movaj ekvacioj. En la 1905 Poincaré proponis ke, čiuj fizik leǧo estas nevarianta per trasformacioj kaj necessis ke, la leǧoj di trasformaǰo estis tiuj de Lorentz. Poste Einstein eldonis la artikolo en kiu aperas la malvasta relativeco kaj malaperas la eter koncepto plutenas absoluta la rapideco de la lumo por čiuj rilat sistemo.

1.2 Aksiomoj de la Malvasta Relativeco

I) La spaco estas isotropa kaj la spactempo estas omoǧena.

II ) Principo de Einsten-a relativeco: fizik leǧoj havas la sama formo en čiuj inerciaj rilatoj.

III ) La lum rapideco en la vakuo samas en čiuj inerciala rilatoj.

c estas absoluta kostanto kaj revokas iu dependeco inter spaco kaj tempo |Δx|^{2} = c^{2}|Δt|^{2} |Δx| kaj |Δt| estas ne nevarianta ne separe. La supono de la nevariateco

Aksiomoj de la Malvasta Relativeco  Malvasta Relativeco

de la spacaj intervaloj ne estas apriore pravigita en opera modo. Oni konsidearas ia stango rialata al S kaj paralela al la rapideco de S rilate S′. La mizura de la stango per metro laŭ S P′R′ estas fotita de S′ dum la movo.

[figure: S; S′; P′; R′; P; R]

Aksiomaj Konsekvencoj

Spontaneco relativa: čeestas c absoluta kiu permetas de trasformi tempa koordinatoj en spaca koordinatoj. La trajektoroj de la lum radio estas al \frac{π}{4} kaj \frac{3π}{4} kun A,O,B

[figure: ct; x; A; O; B; S]

solidara al S. Simultaneco de la observo de la radio. Se S moviǧas kun rapideco v rilate S′ x′ = x + vt. Se la sistemo estas en movo la eventoj ne estas pli nedipenda. La direcio de la lumo estas la dusekcanto de la aksoj. Oni konsideras la trajektoro en S de O x′ −vt′ = x_{0} kostanta en S′ x = x_{0} en S \frac{x′−vt′}{x} = cost = α αx = x′ −vt′. Pro la reciprokeco se oni šanǧas S kun S′ (x, t) ↔ (x′, t′) v → −v αx′ = x − vt t′ = \frac{1}{α}(t + \frac{1−α}{v}x). Trudinte la nevarianco de tempa intervalo α = 1 do Galileo-a leǧo. Trudinte la kostanteco de la lum rapideco x′ = ct′ ↔ x = ct αct = ct′ − vt′

αct′ = ct + vt α^{2} + c^{2} = c^{2} − v^{2} α = ±\sqrt{1 − \frac{v^{2}}{c^{2}}} . Pro v = 0 α ≃ 1 α = \sqrt{1 − \frac{v^{2}}{c^{2}}} [figure: S; ct; x; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; A; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; B; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; S′; ct′; x′; O]

x′ = \frac{x + vt}{\sqrt{1 − \frac{v^{2}}{c^{2}}}} t′ = \frac{t − \frac{v}{c^{2}}}{x} \sqrt{1 − \frac{v^{2}}{c^{2}}} .

Do |Δx| ≠ |Δt| sed |cΔt|^{2} − |Δx|^{2} = |cΔt′|^{2} − |Δx′|^{2}

γΔx′ = Δx  Δt′ = γΔt  (1.1)

S′ estas en movo rilate S kun rapideco v x′ = γ(x − vt) kun γ = \sqrt{1 − \frac{v^{2}}{c^{2}}} t′ = (t −

Lorentz-aj Trasformoj  Malvasta Relativeco

\frac{v}{c^{2}} x)γ x^{′2}−(ct′)^{2} = γ^{2}(x−vt)^{2}−(ct− \frac{v}{c} x)^{2} = γ^{2}(x^{2}+βt^{2}−c^{2}t^{2}−v^{2}/c^{2}x^{2}) = x^{2}+c^{2}t^{2} ke ne estas plusa definita fakte x^{2} −c^{2}t^{2} > 0 esta de spaca tipo, x^{2} −c^{2}t^{2} < 0 de tempa kaj x^{2} − c^{2}t^{2} = 0 lume. Longeco kaj tempo estas relativaj al rilata sistemo, la unika absoluto estas la imaǧo spacotempa, prefere, la universa linio de obǧekto. Spacotempo de la sprango. Čiuj observantoj konkordas pri spacotempa mizurosen ne pri la divido en ǧiaj komponoj. Sprando \overline{x′_{A}x′_{B}} in S′ t = γ(t′ − βx′) t_{A} = t_{B} ⇒ t′_{A} − t′_{B} = \frac{v}{c^{2}} (x′_{B} − x′_{B}) x_{B} − x_{A} = γ(x′_{B} + vt_{B}) − (x′_{A} + vt′_{A})γ = (x′_{B} − x′_{A})γ/γ^{2} = \frac{1}{γ} (x′_{B} − x′_{A}) < |x′_{B} − x′_{A}|. Temp dilatado. Δx = 0 t_{B} − t_{A} = γ(t′_{B} − t′_{A} − v/c^{2}(x_{B} − x_{A})).(Defalo) Partiklo ◁Defalo meza π^{0} → γ + γ. Piono kiu defala en du fotonoj. π^{0} havas meza vivo en sia rilato τ \frac{d}{dt}N = −\frac{N}{τ} N = N_{0}e^{−t/τ} N_{0} = N(0) ⟨τ⟩ = ∫_{0}^{+∞} e^{−t/τ} dt/ ∫_{0}^{+∞} e^{−t/τ} dt por čiuj partikloj rimarkitaj. Oni havas ia π^{0} kiu moviǧas kun rapideco v rilate la laboratorio, oni indikas per S la rilato solidara a π^{0} kaj per S′ tiu de la laboratorio. En S′ la longeco de la kamino perkurita de π^{0} ≃ L = θt = γθt t′ = γτ L = βcγτ. En ia akcelaratoro β ≃ 0.99995 γ ≃ 10 τ_{π^{0}} = 2 · 10^{−8}s L = 400m. Se ne valoru la temp dilato t = τ L = cβτ ≃ 6m.

1.3 Lorentz-aj Trasformoj

1.3.1 Legxo de Distanca Kumpreno

v = \frac{d}{dt}x en S v = (v_{x}, v_{y}, v_{z}) v′_{x} = \frac{d}{dt}x′ = γ(dx − vdt) · 1/γ(dt − v/c^{2}dx) = (v_{x} − v_{0})/(1 − v_{0}v_{x}/c^{2})

v′ = \frac{v_{x} − v_{0}}{1 − \frac{v_{0}v_{x}}{c^{2}}}  (1.2)

čar la diferencialaj dx′ = γ(\begin{matrix}x \\ . \end{matrix} − v\begin{matrix}t \\ . \end{matrix}) kaj dt′ = γ(dt − v/c^{2}\begin{matrix}x \\ . \end{matrix}); v′_{y} = \frac{d}{dt′} y′ = \frac{d}{dt}y/γ(dt − v/c^{2}dy)

v′ = \frac{v_{y}}{γ(1 − \frac{v_{0}v_{x}}{c^{2}} )}.  (1.3)

En aproksimo ne relativeca per β → 0 γ → 1, se v_{x} = c v + x′ = c.

1.3.2 Evento

Evento estas fenomeno kiu okazas en ia spaca punkto en ia rilato s per Cartesio-aj koordinatoj (x_{1}, x_{2}, x_{3}) kaj en ia momento priskribita en rilato S′ en koordinato x^{0} deskribita per ct (x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3}) = x^{μ}. Donata du eventoj A kaj B kun Cartesio-aj koordinatioj en S′ x_{A}^{μ}, x_{B}^{μ} oni nomas intervalo spac tempa inter A kaj B la grando s_{AB} tiu ke s_{AB}^{2} = Δ^{2}x^{0} − Δ^{2}x^{1} − Δ^{2}x^{2} − Δ^{2}x^{3}. Se A kaj B estas tra luma trajektoro s_{AB} = 0 dume se A kaj B estas tra trajektoro de masa partiklo |v| < c ⇒ s_{AB}^{2} > 0 čiam. La trajektoro estos en la luma kono

Th 1.1 La spac tempa intervalo estas ne varianta per trasformo inter rilatoj alprenante c kostanta.

Dim: Per ininitezimaj intervaloj ds^{2} = (dx^{0})^{2}−(dx^{1})^{2}−(dx^{2})^{2}−(dx^{3})^{2}. Pro la kondico de omoǧeneco de la spac tempo oni havas la linereco de la trasformacioj de koordinatoj en S′ x^{′μ} = \frac{∂}{∂x^{μ}} f^{μ}dx^{′μ}. Pro la omoǧeneneco ne povas dipeni de la punkto x ⇒ \frac{∂}{∂x^{μ}} f^{ν}(x) = Λ^{μ}ν Jacobi-a nedipenda de x. dx^{′μ} = ∑_{ν} Λ_{ν}^{μ}dx^{ν} → x^{′μ} = ∑_{ν} Λ_{ν}^{μ}x^{ν} +a^{μ} ds^{2′} = (dx^{0′})^{2} − (dx^{1′})^{2} − (dx^{2′})^{2} − (dx^{3′})^{2} = ∑_{ν}(Λ_{ρ}^{0}Λ_{ν}^{0} − Λ_{ρ}^{i}Λ_{ν}^{i}) = ∑_{νρ} g_{νρ}dx^{ν}dx^{ρ} μ = 0, 1, 2, 3

i = 1, 2, 3

g_{νρ} = Λ_{ν}^{0}Λ_{ρ}^{0} − ∑_{i} Λ_{ν}^{i}Λ_{ρ}^{i}. 4 × 4 = 16 kostantoj. Per simetrio dx^{ν}dx^{ρ} = dx^{ρ}dx^{ν} g_{νρ} = g_{ρν} (Luma Radio) Propagiǧas es S tra x do: dx^{2} = dx^{3} = 0 (ds′)^{2} = 0 = g_{00}(dx^{0})^{2} + ◁Luma Radio

2g_{01}dx^{0}dx^{1} = g_{11}(dx^{0})^{2}. Aldone: dx^{0} = cdt = dx^{1} c = \frac{d}{dx^{1}} x^{0}(g_{00} +2g_{01} +g_{11})(dx^{0}).

(Luma Radio Kontraxue) dx^{1} → −dx^{1} 0 = (ds′)^{2} = g_{00}ds^{2} + ∑_{ij} dx^{i}dx^{j} per luma ◁Luma Radio Kontraxue radio g_{ij} = 0 pro i ≠ j

⇒ ( \begin{matrix}g_{00} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & −g_{00} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −g_{00} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −g_{00} \end{matrix} ) = g_{νρ}

(ds′)^{2} = g_{00}(ds)^{2} g_{00}. Per la omoǧeneco de la spac tempo ne dipenda de x sed de la relativa rapideco v inter la rilatoj S kaj S′ sed ne de la direciode v estante la spaco isotropa, sed nur de sia modulo |v| (ds)^{2} = g_{00}(|′v|)(ds)^{2} šanǧante s kun s′ v → −v g_{00}^{2}(|v|) = 1 v = 0 g_{00}(|v|) = 1 ⇒ g_{00} = 1

G = g_{νρ} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −1 \end{matrix} )  (ds)^{2} = (ds′)^{2}  (1.4)

1.3.3 Grupo Lorentz Poincaré-a

Grupo La |Grupo| estas ia aro G donita de

- Leǧo de interna asocia kompono

- Inversa ene en G por čiu elemento de G g_{1}, g_{2} ∈ G g_{1}quadratinog_{2} = ı ∈ G. ’

- ∃l ∈ G | g · l = l · g = g, ∀g ∈ G

- ∀g ∈ G ∃g′ ∈ G | g^{−1}g = gg^{−1} = l

|Matrica Notacio|

g_{μν} = G x^{μ} = ( \begin{matrix}x^{0} \\ x^{1} \\ x^{2} \\ x^{3} \end{matrix} ) ^{t}x^{μ} = (x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3}) Λ = Λ_{ν}^{μ} = \binom{Λ_{0}^{0} Λ_{1}^{0} …}{⋮ ...}

Konvencio Einstein-a: si du leteroj estas repetita en la sama membro oni obtenas la |Indicoj Saturitaj| čar oni agas la sumo malaperigante tiu termon.

G = g_{μν} G^{−1} = g^{μν} (GG^{−1})_{ν}^{μ} g^{μρ}g_{ρν} = ∑_{ρ} g^{μρ}g_{νρ} = δ_{ν}^{μ}

√

Condico de lineariǧo de la trasformoj. x̂^{μ} = Λ_{ν}^{μ}x^{ν} +α^{μ} x̂ = Λx+a ^{t}x̂ = ^{t}x^{t}Λ+^{t}a dx̂ = Λdx d^{t}x̂ = di^{t}x^{t}Λ dŝ^{2} = g_{μν}dx^{μ}d^{ν} dŝ^{2} = g_{μν}dx̂^{μ}dx̂^{ν} = g_{μν}dx^{μ}dx^{ν} = ds^{2}. d^{t}x̂Gdx = d^{t}x̂Gdx̂ = d^{t}xGdx = d^{t}x^{t}ΛGΛdx ⇒ ^{t}ΛGΛ = G. La trasformoj kiuj [lascia] nevariata ds^{2} estas x̂ = Λx + a kun a ∈ ℝ^{4} Λ ∈ M_{4x4}, kiu [soddisfa] ^{t}ΛgΛ = G ke kun suma leǧo kreas grupo de la trasformoj spac tempaj. La kuplo {Λ, a} definas la |Grupo Poincare-a| kun kompono leǧo {Λ_{1}, a_{1}} ∘ {Λ_{2}, a_{2}} = {Λ_{1}Λ_{2}, Λ_{1}a_{2}, a_{1}} čar x̂ = Λ_{2}x + a_{2} ˆ x̂ = Λ_{1}x̂ + a_{1} = Λ_{1}(Λ_{2}x + a_{2}) + a_{2} = Λ_{1} + Λ_{2}x + Λ_{1}a_{2} + a_{1}. Por [dimostrare] ke estas leǧo de kompono oni devas [dimostrare]^{t}Λ_{1}GΛ_{1} = G ^{t}Λ_{2}GΛ_{2} = G do t(Λ_{1}Λ_{2})GΛ_{1}Λ_{2}−^{t}Λ_{2}GΛ_{2} = G. Associeco: e = {⊮, 0}{Λ_{1}, a_{1}}{⊮, 0} = {Λ_{1}, Λ_{1}·0+a_{1}}; {Λ_{−1}, Λ^{−1}a_{1}}{Λ, a} = {Λ^{−1}ΛΛ^{−1}a−Λ^{−1}a_{1}} = {𝕀, 0}. Ponante Λ = 𝕀 en la Poincare-a grupo 𝒫 oni obtenas la grupo de la trasformoj nomita Lorentz-a ℒ. Oni observas ke por Λ ∈ ℒ

detG = det^{t}ΛgΛ = det^{t}Λ det G det Λ = det^{2}Λ deg G = − det^{2}Λ ⇒ det^{2}Λ = 1

Se det(Λ) = 1 kaj Λ ∈ ℒ ⇒ Λ ∈ ℒ_{+}, se det Λ = −1 ⇒ Λ ∈ ℒ_{−}. 1 = g_{00} (Λg_{00})^{2} − ∑_{1} Λ_{0}^{i}Λ_{0}^{i} (Λ_{0}^{0})^{2} = 1 + ∑_{i} Λ_{0}^{i}Λ_{0}^{i} ≠ 1 1 <= Λ_{0}^{0} ∈ ℒ^{↑}, se 1 ≠ Λ_{0}^{0} ∈ ℒ^{↓}. La propra Lorentz-a grupo estas ℒ_{+}^{↑} Λ ∈ ℒ det Λ = 1 Λ_{0}^{0} ≠ 1. La grupoj ℒ_{+}^{↑} ℒ_{+}^{↓} ℒ_{−}^{↑} ℒ_{−}^{↓}. Λ havas dusek parametroj se pro ^{t}ΛGΛ = G sek estas simetraj kaj kvar sul la diagonalo,; dek estas nedipenda, tri korespondas al la rotacioj yz, zx, xy, tri al la rotacioj xt, yt, zt. La matrico λ rilativa al xt reprezentiǧas per

Λ = ( \begin{matrix}γ & −βγ & 0 & 0 \\ −βγ & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

x̂ = Λx x̂^{0} = γx^{0} − βγx^{1} x̂^{1} = −βγx^{0} + γx^{1} x̂_{2} = x^{2} x̂^{3} = x^{3}. La rotacioj kaj trasformoj de Loretz longe x, y, z kreas ℒ_{+}^{↑}.La funkcioj en la grupo ℒ_{±}^{↑} estas obteneblaj de trasformoj de ℒ_{+}^{↑} kiel (Pareco) ∈ ℒ_{+}^{↑}

P = ( \begin{matrix}1 \\ & −1 \\ & & −1 \\ & & & −1 \end{matrix} )

aŭ ∈ ℒ_{+}^{↓}(Tempa Nevariacio)

T = ( \begin{matrix}−1 \\ & 1 \\ & & 1 \\ & & & 1 \end{matrix} )

tiu ke P T = −𝕀, kaj ℒ_{±}^{↑↓} = 𝒞_{±}^{↑↓}. Jare [1957] estis dekovrita la violacion de la pareco Lee-Young-a pro n → p + e + ν. La fizikaj leǧoj estas nevarianta sub la leǧoj de la Poincare-a propra grupo.

1.3.4 Metriko Pseud Euclide-a

ds^{2} = dx^{0}^{2} − dx^{1}^{2} − dx^{2}^{2} − dx^{3}^{2} povas esti nega. En ℝ^{4} la metriko pseŭd Eclide-a estas donita de la Minkovskij-a spaco. x^{4} := ıx^{0} ds^{2} = − ∑_{i=1}^{4}(dx^{i})^{2}, trasformante x^{2} = x^{3} = 0 x^{4}′ = x^{4} cos ξ + x^{1} sin ξ ξ := ıψ ψ ∈ ℝ. Tensora kalkulo: necesa por la ne Euclide-a metriko, la Poincaré-a grupo priskribas la spaco-tempajn trasformaǰojn. Por izolita sistemo la fizik leǧoj devas havi la sama formo en čiuj sistemoj. x′ = Rx+a x := ^{t}(x^{1}, x^{2}, x^{3}) por A = B A′ = RA A′ = B′ RA = RB, la leǧoj ekprimitaj en vektora formo havas la saman formon en čiuj rototraslacia sistemoj. ∑ V^{i}V^{j} de la ∑ R′V RV ne relativeca al ∑ R^{i}R^{j}V V relativeca. Trasformaǰoj inter inerciaj rilatoj. Vektoro A^{μ} {Λ, a} ∈ 𝒫. Traslacioj A^{μ}′ = Λ_{ν}^{μ}A^{ν}. x^{4} ne estas kvar vektoro čar /mu = 0, 1, 2, 3 x^{μ}′ = Λ_{ν}^{μ}x^{ν} + a^{ν} ≠ Λ_{ν}^{μ}x^{ν}. dx^{μ} estas kvar-vektoro čar dx^{μ}′ = Λ_{ν}^{μ}dx^{ν}. Kvar-skalaro (A|^{t}A = A). ds^{2} estas kvar-vektoro. Alternanta kvar-vektoro A^{μ} ↦ A^{μ}′ = Λ_{ν}^{μ}A^{ν} A_{μ} = g_{μν}A^{ν}. Kontaŭvarianta kvar-vektoro (indicoj subaj) A^{μ}′ = Λ_{ν}^{μ}A^{ν} g′_{μν} = g_{μν} ’?A′_{μ} = g_{μν}A^{ν} = g_{μρ}Λ_{ρ}^{ν} =?’A^{ν} = (G^{−1})^{νρ}A_{ρ} = g_{μν}A_{ρ}^{ν} = g_{μν}Λ_{ρ}^{ν}g^{ρσ}A = Λ̂_{μ}^{σ}A_{σ} A′_{μ} = Λ̂_{μ}^{σ}A_{σ}. A^{0} = A_{0} kovarianta, A^{i} = −A_{i} kontraŭvarianta. Oni devas difini la komponoj kovariantaj kaj kontraŭvariantaj.

Kontraŭvariantaj vektoroj A^{μ} {Λ, a} A^{μ} ↦ A_{ν}^{μ}A^{ν}. Kovariantaj vektoroj A_{μ} = g_{μν}A^{ν} {Λ, a} A_{μ} ↦ Λ̂_{μ}^{ν}A_{ν} Λ̂_{μ}^{ν} = g_{μν}Λ_{σ}^{ρ}g^{σν}. De la ekvacio^{t}ΛGΛ = G multiplikita dekstre per G^{−1} GΛG^{−1} = ^{t}Λ^{−1} (GΛG^{−1})_{μ}^{ν} = g_{μρ}Λ_{σ}^{ρ}g^{ρν} = Λ̂_{μ}^{ν} Λ̂ = ^{t}Λ^{−1} {Λ, a}:A^{μ}B^{ν} ↦ Λ_{ρ}^{μ}Λ_{σ}^{ν}A^{ρ}B^{σ}.

Tensora alǧebro A^{μ}, B_{μ} A^{μ}B_{μ} = A_{μ}B^{μ} estas nevarianto sub Poincare-a trasformaǰoj, estas kvar-skalaro. A^{μ}′B_{μ}′ = Λ_{ν}^{μ}A^{ν} Λ̂_{μ}^{ρ}B_{ρ} = Λ_{ν}^{μ}(Λ^{−1})_{μ}^{ρ}A^{ν}B_{ρ} (Λ^{−1})_{μ}^{ρ}Λ_{ν}^{μ} = δ_{ν}^{ρ} A^{μ}′B_{μ}′ = B_{ρ}δ_{ν}^{ρ}A^{ν} = B_{ν}A^{ν} = A

- Duobla tensoro kontraŭvarianta {Λ, a} : T^{μν} ↦ Λ_{ρ}^{μ}Λ_{σ}^{ν}T^{ρσ}
- Duobla tensoro kovarianta {Λ, a} : T_{μν} ↦ Λ̂_{μ}^{ρ}Λ̂_{ν}^{σ}T_{ρ}
- Duobla tensoro miksa {Λ, a} : T_{μ}^{ν} ↦ Λ̂_{μ}^{ρ}Λ_{σ}^{ν}T_{ρ}^{σ}
- Pseŭdotensoro de I speco {Λ, a} : T^{μν} ↦ (det Λ)Λ_{ρ}^{μ}Λ_{σ}^{ν}T^{ρσ}
- Pseŭdotensoro de II speco {Λ, a} : T^{μν} ↦ sgn(Λ_{ρ}^{μ})Λ_{σ}^{ν}T^{ρσ}

Tensora Algebro A_{μ}B^{μ} = A^{μ}Bμ estas nevarianta per Poincare-aj trasformaǰoj, estas kvarskalara. A′^{μ}B′_{μ} = Λ_{ν}^{μ}A^{ν} Λ̂_{μ}^{ρ}B_{ρ} = Λ_{ν}^{μ}(Λ^{−1})_{μ}^{ρ}A^{ν}B_{ρ} (Λ^{−1})_{μ}^{ρ}A_{ν}^{μ} = δ_{ν}^{ρ} A′^{μ}B′_{ν} = B_{ρ}δ_{ν}^{ρ}A^{ν} = B_{ν}A^{ν} = AB √ T _{αβγ}^{μνρ} triobla tensoro kontraŭ varianta. T _{μβγ}^{μνρ} = T _{βγ}^{νρ} indicaj kuntriǧo. Kontraŭvarianta miksta de ordo sek kuntriǧita en duobla konktaŭvarianta.

Tensoroj I) g_{μν} duobla kovarianta II) g^{μν} duobla kontraŭvarianta III) ϵ^{μνρσ} = g se du indecoj egalas. A×B = C_{i} = e^{ijk}A_{j}B_{k}. e^{ijk} nulas pro du egalaj indecoj, egalas 1 pro permutaǰoj para, -1 pro nepara.

Ricci-a Tensoro e^{μνρσ} ↦ ϵ′^{μνρσ} = det(Λ)Λ_{α}^{μ}Λ_{β}^{ν}Λ_{γ}^{ρ}Λ_{δ}^{σ}ϵ^{αβγδ} det(M)ϵ^{μνρσ} = M_{α}^{μ}M_{β}^{ν}M_{γ}^{ρ}M_{δ}^{σ} kun M 4 × 4. ϵ′^{μνρσ} = det Λ det Λϵ^{μνρσ} = ϵ^{μνρσ} √ M = Λ det^{2}Λ = 1

1.3.5 Tensoraj Kampoj

ǧenerigado de la vektoraj kampoj x = ^{t}(x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3}) ϕ(x) {Λ, a} ϕ(x) = ϕ′(x′) x′ = Λx+a x = Λ^{−1}(x′−a) ϕ(Λ^{−1}(x′−a)) = ϕ′(x′) ϕ(Λ^{−1}(x−a)) = ϕ′(x). Vektora kampo kontraŭvarianta A^{μ}(x) {Λ, a} A′^{μ}(x′) = Λ_{ν}^{μ}A^{ν}(x) prefere: A′_{μ}(x) = Λ̂_{μ}^{ν}A_{ν}(x). (Tensora Kampo) ϕ skalara ∂_{x^{μ}}ϕ = ∂_{μ}ϕ estas kontraŭvarianta kampo vek- ◁Tensora Kampo tora. ∂_{μ}ϕ nomiǧas kvar gradianto de ϕ. De la ekvacio ϕ′(x′) = ϕ(x) derivante laŭe x′_{μ}

\frac{∂}{∂x′_{μ}} ϕ′(x′) = ∂′_{μ}ϕ′(x′) = \frac{∂}{∂x′_{μ}} ϕ(x) = \frac{∂}{∂x^{ν}} ϕ(x)\frac{∂}{∂x′_{μ}} x′ = (Λ^{−1})_{μ}^{ν}∂_{ν}ϕ(x) = Λ̂_{μ}^{ν}∂_{ν}ϕ(x)

La ekvacioj en formalismo tensora diriǧas kontraŭvarianta al vido. X^{μ}(τ) X^{μ}(τ + Δτ) dX^{μ} = X^{μ}(τ + dτ) − X^{μ}(τ) ds^{2} = dx^{μ}dx_{μ} ≥ 0 do oni povas subrakigigis

ds = \sqrt{dx^{μ}dX_{μ}} = \sqrt{c^{2}dt^{2} − dx^{i}^{2}} = cdt\sqrt{1 − β^{2}}

ds estas nevarianta per Poicaré prefere estas skalara tiom dt. Oni povas konsideri le trajektoro kvartemporala de punkto aŭ sia universa linio kun s(τ_{0}). |Kvar Rapideco| u^{μ} = d_{s}x^{μ} estas kvarvektoro čar dx^{μ} tio estas kaj ds skalaras.

cu = \frac{c}{c} \frac{dx}{dt\sqrt{1 − β^{2}}} = γv cM^{0} = \frac{dx^{0}}{c\sqrt{1 − β^{2}}dt} = \frac{c^{2}}{c} γ \frac{dt}{dt} = γc

Procesoj en Relativeca Mekaniko  Malvasta Relativeco

La kvar komponoj de x^{μ} ne estas nedepenentaj čar u^{μ}u_{ν} = d_{s}x^{μ}d_{s}x_{μ} = d_{s^{2}}s^{2} = 1. |Kvar Akcelo| w^{μ} = d_{s}u^{μ} = d_{s^{2}}^{2}x^{μ} c^{2}w = cd_{s}w = c/cγd_{t}(γv) u^{μ}uμ = 1

\frac{d}{ds}u^{μ}u_{μ} = 2\frac{d}{ds}u^{μ}u_{μ} + u_{μ}dsu^{μ}

w^{μ}u_{μ} = 0 ⇒ kvar rapideco kaj kvar akcelo ortogonalas. |Kvar Impulso| m ripoza

maso p^{μ} = mcu^{μ} p_{rel} = mcu = γmv ⟶^{β↦0} mv p^{0} = mcu^{0} = γmc

cp^{0} = \frac{mc^{2}}{\sqrt{1 − β^{2}}} =^{T aylor} mc^{2}(1 + \frac{1}{2} \frac{v^{2}}{c^{2}} + O(v^{2})) = mc^{2} + \frac{1}{2}mv^{2}

. cp^{0} diferigas de la energio pro la termo mc^{2}.

p^{μ} = ^{t}(\frac{𝒮}{c}, p_{rel})

p^{μ}p_{μ} = m^{2}c^{2} u^{μ}u_{μ} = (mc)^{2}+p^{0}^{2} = m^{2}c^{2}+p^{2} ℰ_{rel} = \sqrt{m^{2}c^{4} + p^{2}c^{2}} v/c = p/p^{0} p_{0}^{2} > p^{0}^{2} Por partikloj sine maso v/c = 1. La partikloj kun maso havas v < c, \frac{v}{c} < 1 m > 0 tiuj kun nula maso v = c. Eč estinte la energio difinita por kostanto adicia oni ne povas poni ℰ = cp_{0} = mc^{2}čar ne estas la kompono de kvar vektoro de estas nevarianta sub la trasfotmaǧoj de Poincaré kaj čar en la procesoj kiu alvenas en la sistemoj izolitaj konserviǧas la energio relativeca. mc^{2} povas esti trasformita en energio čar estas relativeca. Čiu korpo havas energion egala al mc^{2}. ℰ_{rel} = cp_{0} = γmc^{2} p_{rel} = γmv. Oni povas defini mason tiel m(v) = γ(v)m_{0} sed m(v) ne estas skalaro relativeca.|Kvar Forco| g^{μ} = d_{s}p^{μ} g = γF_{rel} nerelativeca:F \frac{d}{dt} p_{nrel}

g^{μ} \frac{d}{ds}p^{μ}

g^{μ} = mcu^{μ} g^{μ}u_{μ} = 0 čar w^{μ}u_{μ} = 0. Leǧo de povo por F_{rel} g = γF kvar forco γg_{0} = γ/c^{2}F_{rel}p g_{0} = dp^{0}γ/c^{2} = γd_{t}ℰ d_{t}ℰ = F_{rel} · v g^{0} = d_{s}p^{0} g^{μ}u_{μ} = 0.

1.4 Procesoj en Relativeca Mekaniko

1.4.1 Kvar impulso

Defalo

m → m_{1} + m_{2} kvar impulso p^{μ}. Oni povas konstrui ian nevarianton: p^{μ}p_{μ} = m^{2}c^{2}

[figure: m; m_{1}; m_{2}; θ]

ṗ_{1}^{μ}p_{2μ} = ℰ_{1}ℰ_{2}/c^{2} = p_{1}p_{2} nevarianta. En la rilato en kiu m_{1} estas ferma ℰ = \sqrt{m^{2}c^{4} + c^{2}p^{2}} p_{1}^{μ}p_{2μ} = 1/c^{2} · m_{1}c^{2}\sqrt{m_{2}^{2}c^{4} + p_{2}^{2}c^{2}} =p_{1}^{μ}p_{2μ} = m_{1}\sqrt{m_{2}^{2}c^{4} + c^{2}p^{2}} ⩾ A^{μ}Bμ = AB m_{1}m_{2}c^{2}. La masa centro estas laŭ difino la rilato pro kiu p_{1} + p_{2} = 0. Či tiu rilato estas čiam alirebla. Se V^{μ} kun la eco V^{μ}V_{μ} ⩾ 0∃S|V = 0. Oni orietntas la aksoj pro ke V = (V_{x}, 0, 0) ⇒ V_{0}^{2} − V_{x}^{2} = 0 ⇒ |v_{x}/v_{0}| = 1. Oni realigas Lorentz-a trasformo ξ = v_{x}/v_{0} v′ = (v_{0}, 0) γ = 0 (p_{1} + p_{2})_{∗}^{2} =∤* rilate la masa centro∤= 1/c^{2}(ℰ_{1} + ℰ_{2})_{∗}^{2} − (ζ_{1} + ζ_{2})_{∗}^{2}c^{2}. Čar la sistemo estas izolita

p^{μ} = p_{1}^{μ} + p_{2}^{μ},  (1.5)

0 = g^{μ} = \frac{d}{dt}p^{μ} = 0 \sqrt{(p_{1} + p_{2})^{2}} moniǧas nevarianta maso. (p_{1} + p_{2})_{∗}^{2} = 1/c(ℰ_{1} + ℰ_{2})_{∗}^{2} ℰ_{1∗} = \sqrt{c^{2}p_{1∗}^{2} + m^{2}/_{1}c^{4}} (p_{1}^{2} +p_{2}^{2})^{2} = (m_{1} +m_{2})^{2}c^{4} p^{2} = m^{2}c^{2} ⇒ m ⩾ m_{1} + m_{2}. Partiklaj energio en la masa centro. mc = 1/c(ℰ_{1} + ℰ_{2})_{∗} = 1/c(\sqrt{m_{1}^{2}c^{4} + p_{1}^{2}c^{2}} + \sqrt{m_{2}^{2}c^{4} + p_{2}^{2}c^{2}})_{∗} = (mc − \sqrt{p_{1}^{2} + m_{1}^{2}c^{2}})^{2} = (m_{2}^{2}c^{2} + p_{1}^{2}) m^{2}c^{2} − 2mcℰ_{1}/c + p^{2} + m_{1}^{2}c^{2} + p^{2} + m_{1}^{2}c^{2} + p^{2} ⇒

ℰ_{1} = c^{2} \frac{m^{2} + m_{1}^{2} − m_{2}^{2}}{2m} ,  (1.6)

ℰ_{2} = c^{2}(m^{2} + m_{2}^{2} − m_{1}^{2})/2m, |p|_{∗} = 1/c\sqrt{ℰ_{∗α}^{2} − m_{α}^{2}c^{4}} = c^{2}/4m((m^{2} + m_{1}^{2} − m_{2}^{2}) − 4m_{1}m_{2}). Ne eblas determini la valoro θ. Rilato en la laboratorio S, en la masa centro S_{∗}. ℰ_{∗α} = c^{2}(M + m_{2}^{2} − m_{1}^{2})/2m |p|_{∗} = \sqrt{ℰ_{∗α}^{2} − m_{α}^{2}c^{2}}. En la laboartorio la eblaj valoroj de la impulso estas denterminonta. M moviǧas kun rapideco v

ℰ_{m} = γmc^{2}.  (1.7)

Oni orientas la aksojn (x, y) en kiuj plano iǧas la defalo tra v. La laboratorio moviǧas kun rapideco −v rilate la masa centro. p_{∗c} p_{∗αx} = p_{∗} cos(θ_{∗α}) p_{∗αy} = p_{∗} sin(θ_{∗α}) ℰ_{α} = γ(ℰ_{∗α} + V/p_{∗αx}) = γ(ℰ_{∗x} + V p_{∗} cos(θ_{∗α})) p_{αx} = γ(p_{∗αx} + β/cℰ_{∗α}) = γ(p_{∗} cos θ_{∗α}) + β/cℰ_{∗α} p_{αy} = p_{∗αy} = p_{∗} sin θ_{∗α} p_{αz} = p_{∗αz} = 0. La unika nekonata estas θ′_{α}. Por determini la relazion inter θ′_{α} kaj konataǰoj uziǧas

(\frac{p_{αx}}{γ} − \frac{β}{c} ℰ_{∗α})^{2} = p_{∗α}^{2} cos^{2} θ_{∗}  p_{αy} = p_{∗} sin θ_{∗}  (1.8)

do oni akiras al ekvacio de la elikso per la variantaj (p_{x}, p_{y}) p_{αx}/γ − β/cℰ)∗α^{2} + p_{αy}^{2} = p_{∗α}^{2} aŭ

\frac{1}{γ^{2}p_{∗}^{2}} (p_{αx} − γ \frac{β}{c} ℰ_{∗α})^{2} + (\frac{p_{αy}^{2}}{p_{∗}} )^{2} = 1  (1.9)

kiu provizas la valoron de la centro (d = β/cℰ_{∗α}γ, 0) kaj la maksimuma angulo pro kiu la partikloj ne povas pluiri

d = \frac{β}{c} γℰ_{∗α} > s_{x} = γp_{∗}  β > \frac{cp_{∗}}{ℰ_{∗α}} = \frac{v_{∗α}}{c} .  (1.10)

Angulo

Distribuo de Energio por la Partiklo de Defalo

N Partikloj, defalas ΔN por energioj inter ℰ kaj ℰ + Δℰ. dN → ℰ, ℰ + dℰ havas sia funkcio relativa dN/N(ℰ) = dχ(ℰ) ρ(ℰ) = \frac{d}{dℰ} χ(ℰ) ρℰdℰ frakcio de la partikloj kun origino en la laboratorio inter ℰ, ℰ+dℰ. En la masa centro la probablo de transigo dΩ ϕ_{∗}, ϕ_{∗} + dϕ_{∗} θ_{∗}, θ_{∗} + dθ_{∗} estas nedipenda de θ_{∗} kaj ϕ_{∗} dχ = dΩ/Ω_{tot} = dΩ/4π. dχ = q/4πdϕ_{∗}d cos θ_{∗} dχ = \frac{1}{2}d cos θ_{∗} θ_{∗}(ℰ) ℰ = γ(ℰ_{∗} + cβp_{∗} cos θ_{∗}) ℰ_{∗}, p_{∗}, β kostanta. Diferenciante dℰ = cβγp_{∗} cos θ_{∗} ρ(ℰ) = \frac{d}{dℰ} χ = dcos θ_{∗}χ(θ_{∗})1/(cβγp_{∗}) per rotacia nevarianco oni povas integigas en ϕ_{∗}. En tiu či kazo estas nedipenda de ℰ. Čar

∫_{ℰ_{min}}^{ℰ_{maks}} ρ(ℰ)dℰ = 1

se ρ(ℰ) ne dipendas de ℰ

ℰ_{maks} = γ(ℰ_{∗α} + V · p_{∗α})  ℰ_{min} = γ(ℰ_{∗α} − V · p_{∗α}) = \frac{1}{γ2vp_{∗}}  (1.11)

Kolizio Elastika

c = 1 Konservo de la kvar impulso. Estas nevariantaj relativecaj I) La skalaraj produktoj p_{1}^{2} = p_{1}^{′2} p_{1}^{2} = p_{1}^{′2} = m_{1}^{2}, p_{2}^{2} = p_{2}^{′2} = m_{2}^{2} p_{1}p_{2} p′_{1}p′_{2} p_{1}p′_{1} … Sek variablo kaj kvar konservoj kial du nedipenda variabloj p_{1} +p_{2} = p′_{1} +p′_{2}. |Mandelstam-aj Variabloj|

s = (p_{1} + p_{2})_{∗}^{2} p_{1}^{2} + p_{2}^{2} + 2p_{1}p_{2} = p_{1}^{′2} + p_{2}^{′2} + 2p′_{1}p′_{2} m_{1}^{2} + m_{2}^{2} + 2p′_{1}p′_{2}
t = (p_{1} − p′_{1})^{2} = (p_{2} − p′_{2})^{2} Transfero de la kvar impulso p′_{1}p_{1} = p′_{2}p_{2}
n = (p_{2} − p′_{1})^{2} = (p_{1} − p′_{2})^{2} p_{2}p′_{1} = p_{1}p_{2}
[figure: m_{1}; m_{2}; m′_{1}; m′_{2}; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; θ_{1}; θ_{2}; θ′_{1}; θ′_{2}]

Oni postulas (2) senmova en la rilato de la masa centro |p_{∗1}| = |p_{∗2}| ℰ_{1∗}+ℰ_{1∗} = ℰ′_{1∗}+ ℰ′_{1∗} ko varianta en p_{∗} ⇒ p_{∗} = p′_{∗} s = (p_{1} +p_{2})^{2} = m_{1}^{2} +m_{2}^{2} +2\sqrt{p_{∗}^{2} + m_{1}^{2}}\sqrt{p_{∗}^{2} + m_{2}^{2}} = p_{∗}^{2} (ℰ_{1} + ℰ_{2})^{2} = (\sqrt{p_{∗}^{2} + m_{2}^{2}} + \sqrt{p_{∗}^{2} + m_{1}^{2}})^{2} ⩾ (m_{1} + m_{2})^{2} t = (p_{1} + p′_{1})^{2} = (ℰ_{1∗} −ℰ′_{1∗})^{2} −(p_{1∗} +p′_{1∗})^{2} = −2p_{∗}^{2}(1−cos χ) ⩽ 0. Kalkulo de s kaj t en la laboratorio. La impulso de la partiklo (2) estas 0 p_{2} = 0 ℰ_{2} = m_{2}. Pro la energia konservado: ℰ_{1} + m_{2} = ℰ′_{1} + ℰ′_{2} ⇒ m_{2} − ℰ′_{2} = ℰ′_{1} − ℰ_{1} s = (p_{1} + p_{2})^{2} = m_{1}^{2} + m_{2}^{2} + 2ℰ_{1}m_{2} t = (p_{1}−p′_{1})^{2} = (p_{2}−p′_{2})^{2} = 2m_{2}^{2}−ℰ′_{2}m_{2} p_{∗}^{2}(m_{1}^{2}+m_{2}^{2}−2ℰ_{1}m_{2}) = m_{2}^{2}(ℰ_{1}^{2}m_{1}^{2}) p_{∗}^{@} = (m_{1}^{2}(ℰ_{1}^{2} −m_{2}^{2}))/(m_{1}^{2} +m_{2}^{2} −2ℰ_{1}m_{2}), konata p_{1∗} oni eltiras ℰ_{∗1} = ℰ_{1} −p_{∗}^{2}/m_{2}(1−cos χ).

ℰ_{1min} = \frac{ℰ_{1}(m_{1}^{2} + m_{2}^{2}) + 2m_{1}m_{2}}{m_{1}^{2} + m_{2}^{2} + 2ℰ_{1}m_{2}} \frac{ℰ′_{1min} − m_{1}}{ℰ_{1} − m_{1}} = \frac{ℰ′_{1∗}}{ℰ_{1∗}} = (ℰ_{1} − m_{1})(m_{1} − m_{2})^{2}.

En Relativeca kazo ℰ_{1} povas esti arbitre granda. En tiu či esprimo ne aperas m_{2} kaj tial la transigata energio povas esti granda ankaŭ se m_{1} << m_{2}. [...] . Trovu la geometera limito korispondanta al čiuj valoroj de p′_{1} p′_{2} en la laboratorio. De la impulsa konservo p = p_{1} + p_{2} analoge al defalo p_{α} α = 1, 2. p_{αx} p_{αy},

1 = \frac{p′_{∗y}}{p_{∗}^{2}} + \frac{1 − v_{∗}^{2}}{p_{α}^{2}} (p′_{αx} − \frac{v_{∗}ℰ_{∗}}{\sqrt{1 − v_{8}^{2}}} )

v_{∗} = |p_{1}+p_{2}|/(ℰ_{1}+ℰ_{2}) = |p_{1}|(ℰ_{1}+m_{2}) = v_{∗} p_{∗}^{2} = (m_{2}^{2}(ℰ_{1}^{2}−m_{1}^{2}))/(m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2ℰ_{1}m_{2})

...

Maxwell Lorentz-aj Ekvacioj en Kovarianta Formo al VidoMalvasta Relativeco

1.5 Maxwell Lorentz-aj Ekvacioj en Kovarianta Formo al Vido

∇ × E⃗ + \frac{∂}{∂x^{0}} B⃗ = 0

∇ · B⃗ = 0 ⇒ ∃A⃗|B⃗ = ∇ × A⃗ ∇ × (E⃗ + \frac{∂}{∂x^{0}} A⃗) = 0 ∃ϕ|E⃗ + \frac{∂}{∂x^{0}} A⃗ = −∇ϕ A kaj ϕ havas la samaj dimensioj kaj, sekve, la defino estas nevarianta sub trasformoj de [gauge] aŭ rekalibro A⃗ ↦ Â = A⃗ − ∇Λ ϕ ↦ ϕ̂ = ϕ\frac{∂}{∂x^{0}} Λ. Tiu imaǧiǧas ke A^{μ} = (ϕ, A⃗) oni konstruas do iu kvarvektoro kontraŭvarianta čar Â^{μ} = A^{μ} + ∂^{μ}A, ∤ ∂^{μ} = g^{μν}∂_{ν} = g^{μν} \frac{∂}{∂x^{ν}} ∂^{i} = −∂_{i} ∂^{0} = ∂_{0} A^{μ} estas la |Kvarpotencialo| de la elektr magnetika kampo. F^{μν} = ∂^{μ}A^{ν} −∂^{ν}A^{μ} F^{i0} = ∂^{i}A^{0} −∂^{0}A^{i} = −\frac{∂}{∂x^{i}} ϕ− \frac{∂}{∂x^{0}} A^{i}. Kompono i-[esima] de la eliktrika kampo E^{i} : F^{12} = ∂^{1}A^{2}−∂^{0}A^{i} = −\frac{∂}{∂x^{1}} A^{2}− \frac{∂}{∂x^{2}} A^{1} = −\frac{∂}{∂x^{1}} A^{2} + \frac{∂}{∂x^{2}} A^{1} = −\frac{∂}{∂x^{1}} A_{y} + \frac{∂}{∂x^{2}} A_{x} = −B_{z} F^{23} = −B_{1} ⇒ F^{ij} = ϵ^{ijk}B_{k} do

F = ( \begin{matrix}0 & −E_{x} & −E_{y} & −E_{z} \\ E_{x} & 0 & −B_{z} & B_{y} \\ E_{y} & B_{z} & 0 & −B_{x} \\ E_{z} & −B_{y} & B_{x} & 0 \end{matrix} )

Elektromagnetika tensoro, estas antisimentrika kaj la elementoj de la diagonalo nulas. F^{0i} = −E_{i} koniugas en plena manero la elktr magnetika kampo. f^{μν} = ∂^{μ}A^{ν} − ∂^{ν}A^{μ} ϵ_{σρμν}∂^{ρ}F^{μν} = ϵ_{σρμν}(∂^{ρ}∂^{μ}A^{ν} − ∂^{ρ}∂^{ν}A^{μ}) = 0 ∂^{ρ}∂^{μ} = ∂^{μ}∂^{ρ}, simetrika en ρ, ν dume ϵ_{σρμν} estas antisimetrika. La [contrazione] de kuploj de indicoj simetrikaj kaj antisimetrikaj nulas. ϵ^{μνρσ}∂_{ν}F_{ρσ} = 0 μ = 0,

Maxwell-aj Ekvacioj

Lorentz-aj Ekvacioj

Trasformaǰo de la Kampo

1.6 Ekzercoj

(Reacio) γ + T → p + n + n Oni sercas la energio de sojlo kial la proceso iǧas. T senmova en la laboratorio. p^{μ}p_{μ} estas ne varianta kaj la kvar impulso konserviǧas: (p_{γ} + p_{T})^{2} = (p_{p} + p_{n_{1}} + p_{n_{2}})^{2} = m_{p}^{2} + 2m_{n}^{2} + 2p_{p}p_{n_{2}} + 2p_{p}p_{n_{1}} + 2p_{n1}p_{n_{2}} ⩾⩾ m_{p}^{2} + 2m_{n}^{2} + 2m_{n}^{2} + 2m_{p}m_{n} + 2m_{p}m_{n} = pppn = ℰpℰn − p_{p}p_{n} ⩾ mpmn (m_{p} + 2m_{n})^{2} (p_{p} + p_{T})^{2} = (m_{p} + 2m_{n})^{2} + (ℰ_{γ} + ℰ_{T})^{2} − (p_{γ} + p_{T})^{2}|_{lab} == ℰ_{γ}^{2} + _{ℰ_{T} = \sqrt{p_{T} + m^{2}_{T}}}

2m_{T} ℰ_{γ} − ℰ_{γ}^{2} + m_{T}^{2} p2 γ = |pγ |2 = (ℰT + mT )2

ℰ_{sojlo} = \frac{(m_{p} + 2m_{n})^{2} − m_{T}^{2}}{2m_{T}}  (1.12)

(Defalo) π^{+} → μ^{+} + ν_{μ} m_{π} = 140MeV m_{μ} = 106MeV m_{e} = 0, 51MeV. e, ν_{e},μ, ν_{μ}. La π estas formata de e kaj μ du quark.

1) La maksima angulo inter π μ: d = γℰ′_{μ}v v = v_{π} θ_{maks}∃ se sx = γp′_{μ}

Ekzercoj  Malvasta Relativeco

v > \frac{p′_{μ}}{ℰ′_{μ}} = v_{μ}  (1.13)

v_{π} = p_{π}/ℰ_{π} = pi_{π}/\sqrt{m_{π}^{2} + p_{π}^{2}} = 1/\sqrt{1 + (m_{π}/p_{π})^{2}} ≃ 1/\sqrt{1 + 1/16} ≃ 1 − \frac{1}{2} · 1/16 ≃ 1 − 0.03 = 0.97.

p^{′2} = c^{2}/4m^{2}((M^{2} + m_{1}^{2} + m_{2}^{2}) − 4M^{2}m_{1}^{2})  (1.14)

, M → m_{1}+m_{2} M −m_{π} m_{1} = m_{γ} = 0 m_{2} = m_{μ} p^{2′} = (m_{π}^{2}−mμ^{2})/4m_{π}^{2}

p′_{μ} = (m_{π}^{2} − m_{m}u^{2})/(2m_{π}) v′_{μ} = p′/\sqrt{p^{2′} + m_{μ}^{2}} = (m_{π}^{2} − m_{μ}^{2})/2m_{π} · ((m_{π}^{2} −

m_{μ}^{2})^{2}+4m_{μ}^{2}m_{π}^{2})^{− \frac{1}{2}} ·2m_{π} = (m_{π}^{2} −m_{μ}^{2})/(m_{π} +m_{μ}) = 0.27 Eksistas la maksimuma angulo v′_{μ} < v sin θ_{maks} = p′_{μ}\sqrt{1 − v^{2}}(vm_{μ}) = (m_{π}^{2} − m_{μ}^{2})/γ(2m_{π}vm_{μ}).

θ_{maks} = arcsin (\frac{p′_{μ}}{γβm_{μ}} ) = arcsin (\frac{m_{π}^{2} − m_{μ}^{2}}{2m_{π}p_{π}} ).  (1.15)

II) La energia intervalo en kiu oni trovas μ: ℰ_{μ} = (ℰ′_{μ} + βp′_{μ} cos θ′)γ ℰ_{maks} = γ(\sqrt{p_{μ}^{2} + m_{μ}^{2}} ± v_{π} · p′) v = p_{μ}/\sqrt{m_{π}^{2} + p_{π}^{2}}

p′_{μ} = (m_{π}^{2} − m_{μ}^{2})/2m_{π} ℰ_{maks,min} = 1/2m_{π}^{2}((m_{π}^{2} + m_{μ}^{2})\sqrt{p_{π}^{2} + m_{π}^{2}} ± p_{π}(m_{π}^{2} − m_{μ}^{2})) (1−v^{2}) = m_{π}^{2}/(m_{π}^{2} +p_{π}^{2}) γ = \sqrt{m_{π}^{2} + p_{π}^{2}}/m_{π} p_{μ}^{2} +m_{μ}^{2} = (m_{π}^{4} +m_{μ}^{4} − 2m_{π}^{2}m_{μ}^{2})/am_{μ}^{2} + m_{μ}^{2} = (m_{π}^{2} + m_{μ}^{2})/4m_{π}^{2}.

ℰ_{maks,min} = \frac{\sqrt{m_{π}^{2} + p_{π}^{2}}}{m_{π}} (\frac{m_{π}^{2} + m_{μ}^{2}}{2m_{π}} ± \frac{p_{π}}{\sqrt{m_{π}^{2} + p_{π}^{2}}} · \frac{m_{π}^{2} − m_{μ}^{2}}{2m_{π}} )  (1.16)

290MeV ⩽ ℰ_{μ} ⩽ 500MeV

III ) la Probableco ke |p_{π}| estas komprena inter 400 − 450MeV/c: La probableco estas kostanta energie

p = \frac{ℰ_{μ}(p_{μ} = 450MeV) − ℰ_{μ}(p_{μ} = 400MeV)}{ℰ_{maks} − ℰ_{min}}.  (1.17)

(Reacio) I ) π^{0} → γ + γ II ) γ + p → p + π^{0} III ) π^{0} → γ + γ

I ) Determinu la energio minimuma ke havu π^{0} en la reacio I ) en K por ke la defalo produkto lokagas la duan reacion. (ℰ_{k} + ℰ_{p})^{2} − (p_{γ} + p_{p})^{2} == ℰ_{γ}^{2} + m_{γ}^{2} + 2ℰ_{γ}m_{γ} − ℰ_{γ} m_{γ} = 0 ⇒ |p_{γ}| = ℰ_{γ} pp = 0 ℰ_{γsojlo} = (m(m_{p} + m_{π})^{2} − m_{p}^{2})/2m_{p}. En la masa centro |p_{∗1γ}| = |p_{∗2γ}|, Per la energia konservo ℰ′_{π} = ℰ′_{1γ} + ℰ_{2γ} ⇒ ℰ′_{γ} m_{π} + 2ℰ_{γ} ℰ − γ en la laboratorio K ℰ_{sojlo} = ℰ_{γ} = γ(ℰ_{∗γ} + vp_{∗}) = ∤ vrapideco en la masa centro ∤ = \frac{1}{2}m_{π}γ(1 + v). γ eligita antaŭen. Oni konas ℰ_{γ} sojlo ℰ_{γs} = ℰ_{γmaks}(v) ⇒ v rapideco de π^{0} en K (1 − v_{6})ℰ_{γs}^{2} = m_{π}^{2}/4 · (1 + v)^{2},

v = \frac{(2ℰ_{γs}/m_{π})^{2} − 1}{(2ℰ_{γs}/m_{π} + 1}

ℰ_{π} = \frac{m_{π}c^{2}}{\sqrt{1 − \frac{v^{2}}{c^{2}}}} komparu: ()

II ) Trovu la minimuman angulon formita de γ en la defalo de π^{0} de la dua produkto en sojlo. Oni kontrolas se esistas la minimuma angulo, prefere v′ < v_{∗γ} = c, sekve eksistas tan(θ_{min}/2) = v_{∗γ}/v′ · \sqrt{1 − v^{′2}} = 1/v′ · \sqrt{1 − v^{′2}}. Čar la reakcio okazas en sojlo v′ estas v_{∗}.

v′ = \frac{|p_{γ} + p_{p}|}{ℰ_{γ} + ℰ_{p}} = \frac{|p_{γ}|}{ℰ_{γ} + ℰ_{p}} = \frac{ℰ_{γ}}{ℰ_{γ} + m_{p}} .

Kiam E_{γ} = ℰ_{γs}.

(Angula trasformo)

En ia sistemo de rilato inercia moviǧas kun rapideco v longe la akso x la angula spegulo kiu facoj havas valoroj egalaj rilate la akso x. Lume fonto, senmova rilate K, eligas

[figure]

fotonoj en x direkcio.

I) Oni determini l’angulo ϕ ke la facoj devas havi kial la fotonoj, eligitaj sur ambaŭ la facoj, movas longe x (en la oposita verso laŭe tiu de incido): La tanǧo de ϕ reprezentas y/x-n. La tan ϕ_{0} representas K_{0}-n, sistemon solidan al spegulo. y = y_{0} x_{x} = x/γ, tan ϕ = y_{0}γ/x_{0} = γ

II ) Determinu la angulo θ formita da la radio refleksa la unua fojo kun la faco de la spegulo en kiu okazis la reflekso. θ = ψ − ϕ tan ψ = v_{y}/v_{x} v rapideco de la fotono poste la reflekso en K.

[figure: ϕ; θ; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .]

v_{0} = (0, 1, 0) v_{0} en K_{0},

v_{x} = \frac{v_{0x} + v}{1 + v_{0x}v}  v_{y} = \frac{v_{0y}\sqrt{1 − v^{2}}}{1 + v_{0x}v}  (1.18)

v_{0x} = 0 v_{x} = V v_{y} = \sqrt{1 − v^{2}} θ = ψ − ϕ = arctan(\sqrt{1 − v^{2}}/v) − arctan(1/\sqrt{1 − v^{2}}).

(Kampo Elektro Magnetiko) X → e^{+} + e^{−} La reacio okazas en plano perpendikla al la direkcio de ia kampo magnetiko kostanta kaj uniforma de modulo B. X neŭtra. Oni mizuras la radioj r_{+} kaj r_{−} de la cirkonferencoj kaj la komenca angulo α kaj la distanco L inter la punkto de produkcio kaj neniigo de X.

I) Trovu la maso de la partiklo X:

[figure: X; e^{−}; e^{+}; p_{+}; p_{−}; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; α; B]

Konservo de la kvar impulso m_{X}^{2} = (p_{+}+p_{−})^{2} = (ℰ_{+}+ℰ_{−})^{2}−(p_{+}+p_{−})^{2} = ℰ_{+}^{2}+

ℰ_{−}^{2}+2ℰ_{+}ℰ_{−}−p_{+}^{2}−p_{−}^{2}−2p_{+}p_{−} = m_{e}^{2}+|p_{+}|^{2}+m_{e}^{2}+|p_{−}|^{2}+2\sqrt{(m_{e}^{2} + p_{+}^{2})(m_{e}^{2} + p_{−}^{2})}− |p_{+}|^{2} − |p_{−}|^{2} − 2|p_{+}| · |p_{−}| cos α.

II ) Tempo de vivo de X:

En kampo B ⊥ al la trajektoro |p_{±}| = eBr_{±} τ_{X} = t\sqrt{1 − v^{2}} = l/v\sqrt{1 − v^{2}} kie v estas la rapideco de X en la laboratorio, t la tempo de vivo en la laboratorio. τ = \sqrt{1 − v^{2}}/(m_{X}v) · (m_{X}v) = L|p_{X}| · m_{X},

p_{X} = p_{1} + p_{2}  (1.19)

, |p_{X}|^{2} = p_{+}^{2} + p_{−}^{2} + 2p_{+}p_{−} = (eB)^{2})r_{+}^{2} + R_{−}^{2} + 2r_{+}r_{−} cos α do

τ_{x} = \frac{Lm_{X}}{eB\sqrt{r_{+}^{2} + r_{−}^{2} + 2r_{+}r_{−}}}

Bibliografia

[1] C. Minnaja Vocabolario Italiano-Esperanto

[2] T. Oetiger The not so short Intruduction to L^{A}TEX

[3] G. De Marco Analisi I, Analisi II, Dispense

[4] Corazza Someda Elementi di Calcolo Vettoriale e Tensoriale

[5] A. Pascolini Metodi Matematici della Fisica

[6] Besançon The Encyclopedia of Physics

[7] A. Bettini Meccanica e Termodinamica, Elettromagnetismo, Le Onde e la Luce [8] E. Perucca Fisica I,II

[9] Zanella Dispense

[10] Fassò Dispense

[11] G. Benettin Dispense

[12] Richtmayer, Kennard, Cooper Introduction to Modern Physics

[13] V. Arnol’d Metodi Matematici della Meccanica Classica

[14] Landau Lişfit Mecanica

[15] G. Sartori Lezioni di Meccanica Quantistica

[16] Passatore Esercizi di Meccanica Quantistica

[17] K. Huang Meccanica Statistica

[18] J. S. Lilley Nuclear Physics

[19] Povh Nuclei e Particelle

[20] Rigamonti Introduzione alla Struttura della Materia

[21] Anderson Physics Vademecum

[22] D-aj A-oj Manuale Cremonese di Meccanica Elettrotecnica e Elettronica