<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\chapter{Malvasta Relativeco}
\section{Geometrio} Poste la dekovro de \homo{Michelson-Morley} [1887] ke la lumo havas la saman rapidecon en \v ciuj refer rilatoj la concepto de geometrio \v san\v gis \v car estis grava korektigi la le\v gojn pro rapidecoj kiu estas afekti\v gitaj pro tiu korektado: $v&gt;c/7 (10\%)$. \par Oni devas konsideri kiu la spaco kaj la tempo ne estas la samaj por \v ciuj observatoroj sed la unika grandeco konserviganta estas la spac tempa intervalo. Oni plitenas la postulo de omo\v gena kaj isotropa spaco kaj oni volas pliteni la \homo{Newton}-a le\v goj sed en tiuj kondicoj la fizikaj le\v goj trasformi\v gas per diversaj trasforma\v goj.\par Oni devas nun defini ia la\u ucela metriko.
\begin{mat}{Metriko} La skalara produkto inter du vektoroj estas la produkto de la komponoj \erof{kontrauxvarianta}{kontra\u uvarianta}j de la bazo $\{x_0,x_1,x_2,x_3\}$ kaj tiuj \ero{kovarianta}j de la reciproka bazo $\{x^0,x^1,x^2,x^3\}$. La vektoroj kontra\u uvariantaj trasformi\v gas en kovariantaj la\u ue la relacio \dm{ v^i=g^{ij}v_j} kie kiam du simbolik indicoj (unu konvarianta, la alia kontra\u uvarianta) estas repetitaj oni intendas la sumo de \v ciuj komponoj fine la saturigo de indico. Ia matrico estas prezentita per $\Lambda^\mu_{\kar\nu}$ kie la proksima indico $\mu$ estas la numero de la rigo dume la malproksima $\nu$ la kolono $M\cdot N=M^\mu_{\kar\nu}N^{\nu}_{\kar\rho}=O^{\mu}_{\kar\rho}$. La indicoj repetitaj saturigas: $\Lambda^\mu_{\kar\nu} v^\mu=\sum_{\nu=0}^3\Lambda^\mu_{\kar}\nu v^\mu=v^\nu$. \v Ci tiu eksprimas la \eroh{Einstein}{Konvencio}n. Kie oni skribas $\Lambda_\mu^{\kar\nu}$ oni intendas ke la indekso maldekstre referas la rigoj kiam tiu dekstre referas la kolonoj. Ia \v genera metriko estas prezentita per:\begin{displaymath}G = g_{\mu\nu} \quad  G^{-1} = g^{\mu\nu} \quad(GG^{-1})^\mu\karb\nu \quad g^{\mu\rho}g_{\rho\nu} = \sum_\rho g^{\mu\rho }g_{\nu\rho} = \delta^\mu\karb\nu \end{displaymath}\par \ero{Matrica Notacio} \begin{displaymath} g_{\mu\nu} = G\quad x^\mu = \vek{x^0\\x^1\\x^2\\x^3}\quad \nul^tx^\mu = (x^0,x^1,x^2,x^3)\quad  \Lambda = \Lambda^\mu_{\kar\nu} = \left(\begin{array}{c c c} \Lambda^0\karb{0} &amp; \Lambda^0_{\kar 1} &amp; \ldots \\ \vdots &amp;&amp; \ddots\end{array}\right)\end{displaymath} \par La termoj $g_{\mu\nu}$ estas la aplika\v jo bilineara asociita al ia metriko. En la ordinara vektora spaco la metriko estas difinita $g_{il}=\delta_{il}$ \erof{Kronecker-a Delta}{\homo{Kroneker}-a $\delta$} a\u u la identeco $\id$. La tensora produkto konsdideras la trasforma\v jojn la\u u la propra metriko. La distanco segmeto estas $\sqrt{\di s^2}$ a\u u \dm{|\di s|^2=\di s^\mu\cdot\di s_\mu=\left(\begin{array}{c c c c}\di s^0&amp;\di s^1&amp;\di s^2&amp;\di s^3\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c c c c} g_{00} &amp; g_{01} &amp; g_{02} &amp; g_{03} \\ g_{01} &amp; g_{11} &amp; g_{12} &amp; g_{13} \\ g_{02} &amp; g_{12} &amp; g_{22} &amp; g_{23} \\ g_{03} &amp; g_{13} &amp; g_{23} &amp; g_{33} \\ \end{array}\right)\cdot\vek{\di s^0 \\ \di s^1 \\ \di s^2 \\ \di s^3}} kie $g_{12}=g_{21}=\vet a_1\cdot\vet a_2=\vet a_2\cdot\vet a_1$. Se $\cos(\vet a_1,\vet a_2)=(\vet a_1\cdot \vet a_2)/|\vet a_1| |\vet a_2|=0$\spa$g_{i\neq j}=0$. \\ Se $a_i$ estas la bazo per la ordinaraj vektoroj kun $x^i$ siaj komponoj tiele ke $\vet x=a_ix^i$ kaj $u^i$ sistemo de koordinatoj, ia bazo povas esti prezentita per \dm{a_i = \frac{\partial x_l}{\partial u^i} \vet x_l \qquad g_{ij}=g_{ji} =\vet a_i\cdot \vet a_j =\frac{\partial x^l}{\partial u^i} \frac{\partial x^m}{\partial u^j}\vet x_l\vet x_m= \frac{\partial x^l}{\partial u^i} \frac{\partial x^l}{\partial u^j}} kie $g_{il}$ estas la \eroh{Gram}{Koeficento}. La \homo{Gram}-a koeficento povas esti vidita kiel \dm{g_{21}=g_{12}=\sqrt{g_{11}g_{22}}\cos(\vet a_1,\vet a_2)\qquad g_{11} = \Big(\frac{|\di\vet r_{u_1,u_1+\di u_1}|}{\di u^i}\Big)=|a_1|^2}\end{mat}
$\di s$ nomi\v gas \ero{Intervalo Spac Tempa} kaj estas la mizuro inter du \ero{Evento}j: fenomenoj kiuj alvenas en certa punkto de la spaco en la rilato $S$ de koordinatoj $(x^1,x^2,x^3)=x^i$ en ia tempo en la spaco $(x^0,x^1,x^2,x^3)=x^\mu$. La intervalo de la luma radio estas la unika isotropa vektoro $(\di s)^2=0$. Radio kiu movi\v gas tra $\ex$ havas $\di x^2=\di x^3=0$\spa$(\di s)^2=0=g_{00}(\di x^0)^2+2g_{01}\di x^0\di x^1+g_{11}(\di x^1)^2$. \noto{Aldone: $\di x^0=c\di t=\di x^1$}$c=\di x^0/\di t$\spa$(g_{00}+2g_{01}+g_{11})\di x^0=0$. Se la lumo propadi\v gas kontra\u ue (tra $-\ex$) $(g_{00}-2g_{01}+g_{11})\di x^0=0$. Suminte kaj subtrahinte la du ekvacioj oni obetenas $g_{00}=-g_{01}$\spa$g_{01}=0$. \begin{itemize} \item[-] Pro isotropio de la spaco $g_{00}=-g_{11}=-g_{22}=-g_{33}$ kaj $g_{01}=g_{02}=g_{03}=0$.\item[-] Pro ortogonaleco de la spaca bazo $g_{12}=g_{13}=g_{23}=0$ \end{itemize} \v Genera lum radio havas \dm{(\di s')^2=0=\sum_{\mu\nu=0}^3g_{\mu\nu}\di x^\mu\di x^\nu = g_{00}\di s^2 + \sum_{\mu\neq\nu}^3g_{\mu\nu}\di x^\mu\di x^\nu=g_{00}(\di s)^2} $g_{00}$ pro la omo\v geno de la spac tempo depenas de la rapideco inter du rilatoj sed pro isotropio ne dipendas de $x$ sekve, de la direcio de la rapideco, sole $|v^\mu|$. $(\di s')^2=g_{00}(|v^\mu|)(\di s)^2$ kontra\u ue $(\di s')^2g_{00}=(|v^\mu|)(\di s)^2$ do $g_{00}$ unuas. 
\begin{legxo}{Spac Tempa Intervalo} La spac tempa intervalo nevariantas por trasforma\v joj inter rilatoj inerciaj $(\di s')^2=(\di s)^2$. \end{legxo} Nun oni povas defini la \eroh{Minkovskij}{Metriko} \dm{G=g_{\mu\nu}=\left(\begin{array}{c c c c}1&amp;0&amp;0&amp;0\\0&amp;-1&amp;0&amp;0\\0&amp;0&amp;-1&amp;0\\0&amp;0&amp;0&amp;-1\end{array}\right)} Inter du rilatoj $S$ kaj $S'$\spa$(\di s)^2=(\di s')^2$. La spaca trasforma\v jo $\in SO_2$ estas \dm{\left(\begin{array}{c c}\cos\phi &amp;\sin\phi\\-\sin\phi&amp;\cos\phi\end{array}\right)} si oni ponas $x^0 = \imath x^4$ kaj $(\di s)^2=-\sum_{i=1}^4(\di x^i)^2$ la lineara trasforma\j jo tra $\ex$ per fiksa tempo kaj spaco \dm{x^1=\cos\phi x^4+\sin\phi x^1 \qquad x^0=-\sin\phi x^4+\cos\phi x^1 \qquad ({x'}^0)^2-({x'}^1)^2=(x^0)^2-(x^1)^2} Per la relacioj $\cos\phi=\Ch\imath\phi$\spa$\sin\phi=\imath\Sh\imath\phi$\noto{$\theta=\imath\phi$}.  Nun $\imath {x'}^0=\Ch\theta \imath x^0+\imath\Sh\theta x^1$\spa${x'}=\imath\Sh\theta\imath x^0+\Ch\theta x^1$. \noto{Per $c x^1= -v x^0$\spa$\beta =\frac vc$} Uzinte $x^1 = \beta x^0$\spa$x^1/x^0=-\beta=\Sh\theta/\Ch\theta$. Per $\Ch^2\theta-\Sh^2\theta=1$\spa$1-\Th^2\theta=1/\Ch\theta$\dm{\Ch\theta = \gamma \qquad \Sh\theta = \Th\theta\Sh\theta=-\beta\gamma}
\begin{figure}[h!]\centering\input{SpacoTempo.tex}\end{figure} do la \erof{Lorentz-aj Trasformajxoj}{\homo{Lorentz}-aj Trasforma\v joj} estas \dm{\Lambda^\mu_{\kar\nu}=\left(\begin{array}{c c c c}\gamma &amp;-\beta\gamma&amp;0&amp;0\\-\beta\gamma&amp;\gamma&amp;0&amp;0\\0&amp;0&amp;1&amp;0\\0&amp;0&amp;0&amp;1\end{array}\right)\qquad \beta = \frac vc\qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}} Trasforma\v joj inter du movaj rilatoj estas priskribita en iperbola spaco dume en statikaj la\u ue la bone notita trasforma\v jo cirkla.
\subsection{Grupo Lorentz Poincar\'e-a}
\begin{mat}{Grupo}{ La \ero{Grupo} estas ia aro $\gru G$ donita de \begin{itemize}\item[-]Le\v go de interna asocia kompono: $\diamond$ \item[-]Malfermeco: se $g_1,g^2\in\gru G\Rightarrow g_1\diamond g_2\in\gru G$ \item[-]Identeco: $\id\in\gru G$\item[-]Inversa ene en $\gru G$ por \v ciu elemento de $G$: $g,g^{-1}\in G$\spa$g \diamond g^{-1} = \id \in G$\end{itemize} }\end{mat}
La \homo{Poincar\'e}-a grupo trasformigas vektoron por traslacioj kaj rotacioj aplikante la \homo{Lorentz}-aj trasforma\v joj kaj traslacio. \dm{\hat x^\mu=\Lambda^\mu_{\kar\nu}x^\nu + a^\mu} Oni povas fari ion da al\v gebro kun la \homo{Lorentz}-aj matricoj \dm{\hat\Lambda=G\Lambda G_1=g_{\mu\rho}\Lambda^{\rho}_{\kar\sigma}g^{\sigma\nu}=\Lambda_{\mu}^{\kar\nu}=\hat\Lambda^{\mu}_{\kar\nu} \qquad \Lambda^\mu_{\kar\nu}\Lambda^{\nu}_{\kar\sigma} = \delta_{\mu\sigma} \\ \tilde\Lambda G\Lambda=G=\Lambda_\mu^{\kar\nu}g_{\rho\sigma}\Lambda^{\sigma}_{\kar\mu}=g_{\mu\nu} \qquad (\Lambda^{\mu}_{\kar\nu})^{-1}=\Lambda_\nu^{\kar\mu}}La duplo $\{\Lambda,a\}$ difinas la grupon kiu havas sian komponan le\v gon $\{\Lambda_1,a_1\}\circ\{\Lambda_2,a_2\} = \{\Lambda_1\Lambda_2,\Lambda_1 a_1+a_2\}$ kaj sian ne\u utran eron $\{\id,0\}$. Si oni ponas $a^\mu = 0$ oni havas la \homo{Lorentz}-an grupon. De la relacio $\det G' = \det(\trasp\Lambda G\Lambda)=\det^2\Lambda\det G$ oni havas $\det^2\Lambda=1 \Rightarrow \det\Lambda = \pm 1$. Oni vastigas la \homo{Lorentz}-an grupon en kvar komponoj konektitaj la\u u \Unu $\Lo_+^\uparrow \EDef \{\Lambda | \det\Lambda = 1 ,g_00 =1\}$ (nomata la \homo{Lorentz}-a propra grupo\Du $\Lo_+^\downarrow \EDef \{\Lambda| \det\Lambda = 1 , g_00 =-1\}$ \Tri $\Lo_-^\uparrow \EDef\{\Lambda| \det\Lambda = -1 , g_00 =1\}$ \Kvar $\Lo_-^\downarrow\EDef\{\Lambda | \det\Lambda = -1 , g_00 =-1\}$. Por ekzemplo estas gravaj la matricoj de \ekz{Pareco} $\in \Lo_-^\uparrow$ kaj de \ekz{Tempa Nevariacio} $\in \Lo_-^\downarrow$ \dm{P = \left(\begin{array}{c c c c } 1&amp;&amp;&amp;\\&amp;-1&amp;&amp;\\&amp;&amp;-1&amp;\\&amp;&amp;&amp;-1\end{array}\right)\qquad T = \left(\begin{array}{c c c c } -1&amp;&amp;&amp;\\&amp;1&amp;&amp;\\&amp;&amp;1&amp;\\&amp;&amp;&amp;1\end{array}\right)} tiu ke $PT=-\id$ Empirike eksistas sole la konservo de $CPT$ \v car la fizik le\v goj ne estas nevariantaj por tempa traslacio kaj pareco (violacio de \homo{Lee-Young} [1957]). La fizik le\v goj estas nevariantaj sole per la \homo{Poincare-a} propra grupo. \par 
\subsubsection*{Kvargrandecoj}Kvarskalara: $\phi'(x')=\phi(x)$\spa$\phi(\Lambda^{-1}(x'-a))$.La kvarvektoro $A^{'\mu}=\lambda^{\mu}_{\kar\nu}A^{\nu}$ povas esti kontra\u uvarianta kaj kovarianta $A'_\mu=\hat\Lambda^\nu_{\kar\mu}A_\nu$\spa$\hat\Lambda^\nu_{\kar\mu}=g_{\mu\rho}\Lambda^\rho_{\kar\sigma}g^{\sigma\nu}$. ${A'}^\mu(x)=\Lambda^\mu_{\kar\nu}A^\nu(\Lambda^{-1}(x-a))$. Iu kvarskalara ne \v san\v gas sub \homo{Poincar\'e}-a trasforma\v joj. Pse\u ud tensoro de unua speco $T\mapsto\det(\Lambda)\Lambda^{\mu}_{\kar\rho}\Lambda^\nu_{\kar\sigma}T^{\rho\sigma}$ Pse\u udo tensoroj de dua speco $T\mapsto\mathrm{sgn}(\Lambda^\mu_{\kar\rho})\mathrm{sgm}(\Lambda^\nu_{\kar\sigma})\Lambda^{\mu}_{\kar\rho}\Lambda^{\nu}_{\kar\sigma}T^{\rho\sigma}$\spa$A_\mu B^\mu=A^\mu B_\mu$ kvar skalara $\partial_\mu$ kvargradianto kovarianta $\partial_i'\phi'(x')=\hat\Lambda_i^{\kar j}\partial_j\phi(x)$ La ekvacioj en la tensora [formalismo] diri\v gas kontra\u uvariantaj al vido.
\subsubsection*{Spac Tempa Ecoj} La trajektoro en la spaca tempo estas $x^\mu(\tau)$ kie $\tau$ estas la propra tempo de la sistemo. $\di s=\sqrt{1-\beta^2}$ estas nevarianta per traslacioj. Oni volas obteni la rapideco $u^\mu=\di_sx^\mu=(c,v_x,v_y,v_z)\gamma$ kiu estas kvar veltoro \v car $\di s$ estas nevarianta kaj $x^\mu$ kvarvektoro. De la relacio $c\di t=x$ oni trovos \v ciam komponanton depenan. Si oni volas trovi la kvar akcelerado \dm{c^2a^\mu=\di_su^\mu=\frac{\di^2}{\di s^2}x^\mu=\gamma\di_t\Big((c,v_x,v_y,v_z)\gamma)} Pluen $u^\nu u_\mu=\di_sx^\mu\di_sx_\nu=\di_ss=1$\spa$\di_s(u^\mu u_\mu)=\di_s1=0=\di_su^\mu u_\mu+u^\mu\di_su_\mu$\spa$\Rightarrow a^\mu u_\mu+u^\mu a_\mu=0$. La kvarimpulso $p^\mu=cmu^\mu$ \dm{p^0=m\gamma c=\frac{mc}{\sqrt{1-\beta^2}}\stackrel{\mathrm{Taylor}}{=}mc\Big(1+\frac12\frac{v^2}{c^2}+O\Big(\frac{v^4}{c^4}\Big)\Big)=\frac{mc^2}c+\frac12m\frac{v^2}c} $p^0c$ estas malegala al la kinetika energio per $mc^2$ kiu ne povas elmeti \v car tiu komponanto devas esti ne variata per \homo{Poincar\'e}-a trasforma\v joj kaj en la procesoj inter izolitaj sistemoj la relativeca energio \v ciam konservi\v gas. $mc^2$ povas trasformi\v gi en energio. Kvarforco $F^\mu=mc^2a^\mu$. Oni povas vidi ke $F^\mu u_\mu=0$ do la energio konservi\v gas se la eksternaj forcoj estas nulaj. $\di_t\E=\vet F\vet v$\spa$F^0=F^iv_i$\spa$F^0=0\mathrm{sse}F^i=0$.
\section{Procesoj en Relativeca Mekaniko}  
\subsection{Kvar impulso}  
\subsubsection*{Defalo} \nul\hspace{\stretch{1}}$m\to m_1 + m_2$\hspace{\stretch{1}}\nul\\
\marginpar{\setlength{\unitlength}{1.5cm}\begin{picture}(0,1)\put(0,.5){\vector(1,0){.5}}\put(.5,.5){\vector(3,1){.5}}\put(.5,.5){\vector(3,-1){.5}}\put(.2,.55){$m$}\put(.7,.8){$m_1$}\put(.7,.2){$m_2$}\put(.8,.42){$\theta$}\end{picture}} kvar impulso $p^\mu$. Oni povas konstrui ian nevarianton: $p^\mu p_\mu = m^2c^2$\spa$\p_1^\mu p_{2\mu} = \E_1\E_2/c^2 = \vet p_1\vet p_2$ nevarianta. En la rilato en kiu $m_1$ estas ferma $\E = \sqrt{m^2c^4 + c^2p^2}$\spa$p_1^\mu p_{2\mu} = 1/c^2\cdot m_1c^2\sqrt{m_2^2c^4 + p^2_2c^2} =$\noto{$ A^\mu B_\mu = AB$}$p_1^\mu p_{2\mu} = m_1\sqrt{m_2^2c^4 + c^2p^2}\geqslant m_1m_2c^2$. La masa centro estas la\u u difino la rilato pro kiu $\vet p_1 + \vet p_2 = 0$. \v Ci tiu rilato estas \v ciam alirebla. Se $V^\mu$ kun la eco $V^\mu V_\mu \geqslant 0\exists S | \vet V = 0$. Oni orietntas la aksoj pro ke $\vet V = (V_x,0,0)\Rightarrow V_0^2 - V_x^2 = 0 \Rightarrow \big|v_x/v_0\big| = 1$. Oni realigas Lorentz-a trasformo $\xi = v_x/v_0$\spa$v' = (v_0,\vet 0)$\spa$\gamma = 0$\spa$(p_1 + p_2)^2_* = \nmid$* rilate la masa centro$\nmid = 1/c^2(\E_1+\E_2)^2_* - (\zeta_1 + \zeta_2)^2_*c^2$. \v Car la sistemo estas izolita \begin{equation}p^\mu = p_1^\mu + p_2^\mu,\end{equation} $0 = g^\mu  = \de{t}p^\mu = 0$\spa$\sqrt{(p_1 + p_2)^2}$ moni\v gas nevarianta maso. $(p_1 + p_2)^2_* = 1/c(\E_1 + \E_2)^2_*$\spa$\E_{1*} = \sqrt{c^2p_{1*}^2 + m^2/_1c^4}$\spa$(p_{1}^{2} + p_2^2)^2 = (m_1 + m_2)^2c^4$\spa$p^2 = m^2c^2 \Rightarrow m \geqslant m_1 + m_2$. Partiklaj energio en la masa centro. $mc = 1/c (\E_1 + \E_2)_* = 1/c(\sqrt{m_1^2c^4+p_1^2c^2}+\sqrt{m_2^2c^4 + p_2^2c^2})_* = (mc - \sqrt{p_1^2 + m_1^2c^2})^2 = (m_2^2c^2 + p_1^2)$\spa$m^2c^2 - 2mc\E_1/c + \vet p^2 + m^2_1c^2 + \vet p^2 + m_1^2c^2 + \vet p^2 \Rightarrow$ \begin{equation}\E_1 = c^2\frac{m^2 + m_1^2 - m_2^2}{2m},\end{equation} $\E_2 = c^2(m^2 + m_2^2 - m_1^2)/2m$,  $|\vet p|_* = 1/c \sqrt{\E_{*\alpha}^2 - m_\alpha ^2c^4} = c^2 / 4m ((m^2 + m_1^2 -m_2^2) - 4m_1m_2)$. Ne eblas determini la valoro $\theta$. Rilato en la laboratorio $S$, en la masa centro $S_*$. $\E_{*\alpha} = c^2(M + m_2^2 - m_1^2)/ 2m$\spa$|\vet p|_* = \sqrt{\E_{*\alpha}^2 - m_\alpha^2c^2}$. En la laboartorio la eblaj valoroj de la impulso estas denterminonta. $M$ movi\v gas kun rapideco $\vet v$ \begin{equation}\E_m = \gamma mc^2.\label{MasaEnergio}\end{equation} Oni orientas la aksojn $(x,y)$ en kiuj plano i\v gas la defalo tra $\vet v$. La laboratorio movi\v gas kun rapideco $-\vet v$ rilate la masa centro. $\vet p_{*c}$\spa$\vet p_{*\alpha x} = p_*\cos(\theta_{*\alpha})$\spa$\vet p_{*\alpha y} = p_*\sin(\theta_{*\alpha})$\spa$\E_\alpha = \gamma(\E_{*\alpha} + V/p_{*\alpha x}) = \gamma(\E_{*x} + Vp_*\cos(\theta_{*\alpha}))$\spa$p_{\alpha x} = \gamma(p_{*\alpha x} + \beta/c \E_{*\alpha}) = \gamma(p_*\cos\theta_{*\alpha}) + \beta/c \E_{*\alpha}$\spa$p_{\alpha y} = p_{*\alpha y} = p_*\sin\theta_{*\alpha}$\spa$p_{\alpha z} = p_{*\alpha z} = 0$. La unika nekonata estas $\theta_\alpha ' $. Por determini la relazion inter $\theta_\alpha '$ kaj konata\v joj uzi\v gas \begin{equation}\Big(\frac{p_{\alpha x}}{\gamma} - \frac{\beta}{c}\E_{*\alpha}\Big)^2 = p_{*\alpha}^2\cos^2\theta_{*} \qquad p_{\alpha y} = p_*\sin\theta_* \end{equation} 
\begin{figure}[h]\includegraphics[width = 5cm, height = 3cm,angle = 0]{Elikso1.eps}\hspace{\stretch{1}}\includegraphics[width = 5cm, height = 3cm,angle = 0]{Elikso2.eps}\end{figure} \\ do oni akiras al ekvacio de la elikso per la variantaj $(p_x,p_y)$ $p_{\alpha x}/\gamma - \beta/c\E){*\alpha}^2 + p_{\alpha y}^2 = p^2_{*\alpha}$ a\u u\begin{equation}\frac{1}{\gamma^2p_*^2}\big(p_{\alpha x} - \gamma\frac{\beta}{c}\E_{*\alpha}\big)^2+\big(\frac{p_{\alpha y}^2}{p_{*}}\big)^2 = 1\end{equation} kiu provizas la valoron de la centro $(d = \beta/c \E_{*\alpha}\gamma,0)$ kaj la maksimuma angulo pro kiu la partikloj ne povas pluiri \begin{equation}d = \frac{\beta}{c}\gamma\E_{*\alpha} &gt; s_x = \gamma p_* \qquad \beta &gt; \frac{cp_*}{\E_{*\alpha}} = \frac{v_{*\alpha}}{c}.\end{equation} \Parto{Angulo} \Parto{Distribuo de Energio por la Partiklo de Defalo}  $N$ Partikloj, defalas $\Delta N$ por energioj inter $\E$ kaj $\E + \Delta\E$. 
\begin{wrapfigure}{l}{5cm}\includegraphics[width=5cm,height=5cm]{AnguloSolida.eps}\end{wrapfigure}$\di N \to \E,\E + \di \E$ havas sia funkcio relativa $\di N/N(\E) = \di \chi(\E)$\spa$\rho(\E) = \de{\E} \chi(\E)$\spa$\rho\E\di \E$ frakcio de la partikloj kun origino en la laboratorio inter $\E, \E + \di \E$. \\En la masa centro la probablo de transigo $\di \Omega$\spa$\phi_*, \phi_* + \di \phi_*$\spa$\theta_*, \theta_* + \di \theta_*$ estas nedipenda de $\theta_*$ kaj $\phi_*$\spa$\di \chi = \di \Omega/\Omega_{tot} = \di \Omega/4\pi$. \\$\di \chi = q/4\pi \di \phi_*\di\cos\theta_*$\spa$\di\chi = \frac12 \di\cos\theta_*$\spa$\theta_*(\E)$\spa$\E = \gamma(\E_* + c\beta p_*\cos\theta_*)$\spa$\E_*, p_*, \beta$ kostanta.\\ Diferenciante $\di \E = c\beta\gamma p_*\cos\theta_*$\spa$\rho(\E) = \de{\E}\chi = \di{\cos\theta_*}\chi(\theta_*)1/(c\beta\gamma p_*)$ per rotacia nevarianco oni povas integigas en $\phi_*$. \\En tiu \v ci kazo estas nedipenda de $\E$. \v Car \begin{displaymath}\int_{\E_{min}}^{\E_{maks}}\rho(\E)\di\E = 1\end{displaymath} se $\rho(\E)$ ne dipendas de $\E$ \begin{equation}\E_{maks} = \gamma(\E_{*\alpha} + V\cdot p_{*\alpha}) \qquad \E_{min} = \gamma(\E_{*\alpha} - V\cdot p_{*\alpha}) = \frac{1}{\gamma 2 v p_*}\end{equation} 
\subsubsection*{Kolizio Elastika}\noto{$c = 1$} Konservo de la kvar impulso. Estas nevariantaj relativecaj $I)$ La skalaraj produktoj $p_1^2 = p_1^{'2}$\spa$p_1^2 = p_1^{'2} = m_1^2$,  $p_2^2 = p_2^{'2} = m_2^2$\spa$p_1p_2$\spa$p_1'p_2'$\spa$p_1p_1'$ \ldots Sek variablo kaj kvar konservoj kial du nedipenda variabloj $p_1 + p_2 = p_1' + p_2'$. \ero{Mandelstam-aj Variabloj} \begin{itemize} \item[] $s = (p_1 + p_2)^2_* $\spa$p_1^2 + p_2^2 + 2p_1p_2 = p_1^{'2} + p_2^{'2} + 2p_1'p_2'$ $m_1^2 + m_2^2 +2p_1'p_2'$  \item[]$t = (p_1 - p_1')^2 = (p_2 - p_2')^2$ Transfero de la kvar impulso $p_1'p_1 = p_2'p_2$ \item[] $n = (p_2 - p_1')^2 = (p_1 - p_2')^2$\spa$p_2p_1' = p_1p_2$ \end{itemize}
\marginpar{\setlength{\unitlength}{2cm}\begin{picture}(0,1)\put(0,.8){\line(2,-1){.6}}\put(.2,.7){\vector(2,-1){.1}}\put(.1,.8){$m_1$}\put(0,.2){\line(2,1){.6}}\put(.2,.3){\vector(2,1){.1}}\put(.1,.1){$m_2$}\put(.6,.5){\line(4,1){.5}}\put(.8,.55){\vector(4,1){.1}}\put(.7,.7){$m_1'$}\put(.6,.5){\line(1,-4){.1}}\put(.65,.3){\vector(1,-4){.01}}\put(.75,.1){$m_2'$}\multiput(0,.5)(.025,0){44}{\tiny{.}}\put(0,.6){$\theta_1$}\put(0,.35){$\theta_2$}\put(1.1,.5){$\theta_1'$}\put(.7,.35){$\theta_2'$}\end{picture}} 
Oni postulas $(2)$ senmova en la rilato de la masa centro $|\vet p_{*1}| = |\vet p_{*2}|$\spa$\E_{1*} + \E_{1*} = \E_{1*}' + \E_{1*}'$ ko varianta en $p_*\Rightarrow p_* = p_*'$\dm{s = (p_1 + p_2)^2 = m_1^2 + m_2^2 + 2\sqrt{p_*^2 + m_1^2}\sqrt{p_*^2 + m_2^2} = p_*^2}$(\E_1 + \E_2)^2 = (\sqrt{p_*^2 + m_2^2} + \sqrt{p_*^2 + m_1^2})^2 \geqslant (m_1 + m_2)^2$\dm{t = (p_1 - p_1')^2 = (\E_{1*} - \E_{1*}')^2 - (\vet p_{1*} - \vet p_{1*}')^2 = - 2p_*^2(1 - \cos \chi) \leqslant 0}. Kalkulo de $s$ kaj $t$ en la laboratorio. La impulso de la partiklo $(2)$ estas $0$ $\vet p_2 = 0$\spa$\E_2 = m_2$. Pro la energia konservado: $\E_1 + m_2 = \E_1' + \E_2' \Rightarrow m_2 - \E_2' = \E_1' - \E_1$\spa$s = (p_1 + p_2)^2 = m_1^2 + m_2^2 + 2\E_1m_2$\dm{t = (p_1 - p_1') ^2 = (p_2 - p_2')^2 = 2m_2^2 - \E_2'm_2\qquad p_*^2(m_1^2 + m_2^2 - 2\E_1m_2) = m_2^2(\E_1^2  m_1^2)}\spa$p_*^@ = (m_1^2(\E_1^2 - m_2^2))/(m_1^2 + m_2^2 - 2\E_1m_2) $, konata $p_{1*}$ oni eltiras $\E_{*1} = \E_1 - p_*^2/m_2 (1 -\cos\chi)$. \begin{displaymath}\E_{1min} = \frac{\E_1(m_1^2 + m_2^2) + 2m_1m_2}{m_1^2 + m_2^2 + 2\E_1m_2}\ \qquad \frac{\E_{1min}' - m_1}{\E_1 - m_1} = \frac{\E_{1*}'}{\E_{1*}} = (\E_1 - m_1)(m_1 - m_2)^2 .\end{displaymath} En Relativeca kazo $\E_1$ povas esti arbitre granda. En tiu \v ci esprimo ne aperas $m_2$ kaj tial la transigata energio povas esti granda anka\u u se $m_1 &lt;&lt; m_2$. [...]\\. Trovu la geometera limito korispondanta al \v ciuj valoroj de $p_1'$\spa$p_2'$ en la laboratorio. De la impulsa konservo $\vet p = \vet p_1 + \vet p_2 $ analoge al defalo $p_\alpha$\spa$\alpha = 1,2$. $p_{\alpha x}$\spa$p_{\alpha y}$, \begin{displaymath}1 = \frac{p_{*y}'}{p_*^2} + \frac{1 - v_*^2}{p_\alpha^2}\big(p_{\alpha x}' - \frac{v_*\E_*}{\sqrt{1 - v_8^2}}\big)\end{displaymath} $v_* = |\vet p_1 + \vet p_2| / (\E_1 + \E_2) = |\vet p_1|(\E_1 + m_2) = v_*$\spa$p_*^2 = (m_2^2(\E_1^2 - m_1^2))/(m_1^2 + m_2^2 + 2\E_1m_2)$ \\ \[...\]
\section{Maxwell Lorentz-aj Ekvacioj en Kovarianta Formo al Vido} De la nerelativecaj \homo{Maxwell}-aj ekvacioj oni scias ke $\vet E = -\nabla\phi$\spa$\vet B = \nabla\times\vet A$ kaj simile al la aliaj kvarvektoroj oni volas krei $A^\mu = \trasp(\phi,\vet A)$ unika potencialo de kiu obteni \v ciujn kampojn kaj montri kiu estas kvarvektoro. Do oni difinas la \ero{Kvar potencialo} de la elektrik magnetik kampo. La\u u $\nabla\times(\nabla\cdot )=0$ la kvar potencialo estas difinita krom $\nabla \vet \Lambda$, prefere, $\vet A$ kaj $\vet A + \nabla \vet \Lambda$ aldonas la saman kampon $\vet B$ \erof{Gauge Nevarianteco}{{\it Gauge} Nevarianteco}. La kampo estas do donita per la relacio \dm{F^{\mu\nu} = \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu} \noto{$i=1,2,3\quad\mu=0,1,2,3$} Oni obtenas do $E^i = F^{0i} = \partial^0 A^i - \partial^i A^0=\partial^0\vet A - \nabla\phi$ kaj $F^{ij} = \partial^i A^j - \partial^j A^j = \epsilon^{ijkl} \partial_k A_l = \epsilon^{ijk}B_k$  do \begin{displaymath}F = \left(\begin{array}{c c c c}0 &amp; -E_x&amp;-E_y&amp;-E_z \\E_x &amp;0&amp;-B_z&amp;B_y\\E_y &amp;B_z&amp;0&amp;-B_x\\E_z&amp;-B_y&amp;B_x&amp;0\end{array}\right)\end{displaymath} La \ero{Elektromagnetika Tensoro} estas do antisimetrika $F^{\mu\nu}=-F^{\nu\mu}$. 
\subsection{Maxwell-aj Ekvacioj} Oni povas obteni la \homo{Maxwell}-aj ekvacioj per $\epsilon_{\mu\nu\sigma\rho}\partial^\mu F^{\nu\sigma} =\epsilon_{\mu\nu\sigma\rho}\partial^\mu (\partial^rho A^\sigma - \partial^\sigma A^\rho) =  \epsilon_{\mu\nu\sigma\rho}\partial^\mu\partial^rho A^\sigma - \epsilon_{\mu\nu\sigma\rho}\partial^\mu\partial^\sigma A^\rho = \epsilon_{\mu\nu\sigma\rho}\partial^\mu\partial^rho A^\sigma + \epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}\partial^\mu\partial^\rho A^\sigma = 2\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}\partial^\mu\partial^\rho A^\sigma = 0$ \v car estas la produkto inter ia tensoro simetrika $\partial^\mu\partial^\nu$ kaj ia antisimetrika $\epsilon_{\mu\nu\sigma\rho}$. Devolvinte $\epsilon^{0ijk}\partial_i F_{jk} =-2\partial_i B^i = -2\nabla \vet B = 0$ kaj $\epsilon^{i\mu\nu\rho}\partial_\mu F_{\nu\rho}==2(\partial_0\vet B + \nabla\times\vet E) = 0$ 
\begin{mat}{Distribuoj}{ La distribuoj estas partikla klaso de funkcioj, konstruita por ekzemplo sur $C(\mathbb{R})$, de una sukcesio de funkcioj $\mathcal L^p(\mathbb R)$ \ekz{distribuo} \dm{f_n(x) = \frac n2\Theta\Big[-\frac1n,\frac1n\Big](x)\in \mathcal L^q(\mathbb R) \quad \Rightarrow \quad ||f_n||_q=\Big(\frac n2\Big)^{q-\frac 1q} \qquad ||f_n||_\infty=\frac n2} La $f_n$ estas funcionalaj ne limitaj kaj linearaj sur $\mathcal L^p$ kun p koniugo de q. Lineara funcionalo $f$ de $\mathcal D$ estas distribuo sse plitenas unu de tiuj ekvalentaj relacioj: \Unu La sukcesio numerika \noto{$&lt;,&gt;$ Skalara produkto} $\{&lt;f_n,\pi&gt;\}$ iras al nulon per \v ciu suksecio $\{\pi_n\}$ konvergante al la nulon de $\mathcal D(U)$ \Du Per \v ciu aro [kompatto] $K$ en $U$ eksista intero $\nat s\geq 0$ kaj plusa kostanto $\alpha_k$ tiu ke \dm{|&lt;f,\pi&gt;|\leq \alpha_{\nat k}\sum_{|\nat {\opl j}|\leq\nat s} p_{\nat k\nat {\opl j}}(\pi) \qquad \forall \pi\in\mathcal D_{\nat k}(U)} kun $\nat s$ ordo de la distribuo kaj \noto{$D^{\opl j}=\partial^{\opl j}=\partial_{x_1}^{j_1},\partial_{x_2}^{j_2},\ldots$} $p_{k\opl j}(\phi)=\mathrm{sup}_{x\in K}|D^{\opl j}\phi(x)|$.\\ $f$ nomi\v gas distribuo asociita al la funkcio $\phi$ kiu estas nomata denseco de la distribuo $f$. Se $\phi$ eksistas la distribuo estas regolara, sigulara [altrimenti].\par De tiu oni povas vidi ke la distribuoj devas havi iu funkcio $\pi$ kiu estas funkcio de la \ero{Spaco Proba} $\mathcal S$ pro kalkul ilin. La \ero{Funkcio Proba} estas funkcio tre regulara kiu iras al nulon al la senfino pli de iu ajn potenco, prefere siajn deriva\v joj konvergi\v gas \v ciuj.\par Pro ekzemplo oni povas kalkuli la deriva\v jo de iu distribuo pasinte la deriva\v jo sur la proba funkcio \dm{&lt;\partial_xf,\pi&gt;(x) \stackrel{pro partoj}= f\pi\big|_{-\infty}^\infty-&lt;f,\partial_x \phi&gt;(x) = 0 - &lt;f,\partial_x \phi&gt;(x)} \par La pli uzita distribuo estas la \erof{Dirac-a delta}{\homo{Dirac}-a $\delta$} kiu esta ekstas eksprimebla \begin{itemize} \item[-] \homo{Fourier}-a trasformo $\delta(t-t') = \int\di \omega e^{\imath\omega(t-t')}$ \item[-] ``Salto'' de la polo $\nabla^2 \frac 1{|\vet x - \vet x'|} = -4\pi\delta(\vet x -\vet x')$ \item[-] Simbolika funkcio\end{itemize} La \homo{Dirac}-a $\delta$ estas anka\u u uzita kiel deriva\v jo de la karakterika funkcio kaj pro eksprimi la parto principala}\end{mat}
\subsection{Lorentz-aj Ekvacioj}
\subsection{Trasforma\v jo de la Kampo}
\section{Ekzercoj} 
\ekz{Reacio} \hspace{\stretch{1}} $\gamma + T \to p + n + n$ \hspace{\stretch{1}} \rule{0pt}{0pt}\\ Oni sercas la energio de sojlo kial la proceso i\v gas. $T$ senmova en la laboratorio. $p^\mu p_\mu$ estas ne varianta kaj la kvar impulso konservi\v gas: $(p_\gamma + p_T)^2 = (p_p + p_{n_1} + p_{n_2})^2 = m_p^2 + 2m_n^2 + 2p_pp_{n_2} + 2p_pp_{n_1} + 2p_{n1}p_{n_2} \geqslant$\noto{$ p_pp_n = \E_p\E_n - \vet p_p\vet p_n \geqslant m_pm_n$}$\geqslant m_p^2 + 2m_n^2 + 2m_n^2 + 2m_pm_n + 2m_pm_n = (m_p + 2m_n)^2$\spa$(p_p + p_T)^2 = (m_p + 2m_n)^2 + (\E_\gamma + \E_T)^2 - (p_\gamma + p_T)^2\big|_{lab} = $\noto{$ \E_T = \sqrt{\vet p_T + m_T^2}$}\noto{$\vet p_\gamma^2 = |\vet p_\gamma|^2 = (\E_T + m_T)^2$}$ = \E_\gamma^2 + 2m_T\E_\gamma - \E_\gamma^2 + m_T^2$ \begin{equation}\E_{sojlo} = \frac{(m_p + 2m_n)^2 - m_T^2}{2m_T}\end{equation} 
\ekz{Defalo}  \hspace{\stretch{1}} $\pi^+ \to \mu^+ + \nu_\mu$ \hspace{\stretch{1}} \rule{0pt}{0pt}\\ $m_\pi = 140 MeV$\spa$m_\mu = 106 MeV$\spa$m_e = 0,51 MeV$. $e,\nu_e$,$\mu, \nu_\mu$. La $\pi$ estas formata de $e$ kaj $\mu$ du \emph{quark}. \begin{itemize}\item[$1)$]La maksima angulo inter $\pi$ $\mu$:\\ $d = \gamma\E_\mu'v$\spa$v = v_\pi$\spa$\theta_{maks} \exists$ se \noto{$ s_x = \gamma p_\mu'$} \begin{equation}v &gt; \frac{p_\mu'}{\E_\mu'} = v_\mu\end{equation} $v_\pi = p_\pi/\E_\pi = pi_\pi/\sqrt{m_\pi^2 + p_\pi^2} = 1/\sqrt{1 + (m_\pi/p_\pi)^2} \simeq 1/\sqrt{1 + 1/16} \simeq 1 - \frac12\cdot 1/16 \simeq 1 - 0.03 = 0.97$. \begin{equation}p^{'2} = c^2/4m^2((M^2 + m_1^2 + m_2^2) - 4M^2m_1^2)\end{equation}, $M \to m_1 + m_2$\spa$M - m_\pi$\spa$m_1 = m_\gamma = 0$\spa$m_2 = m_\mu$\spa$p^{2'} = (m_\pi^2 - m\mu^2)/4m_\pi^2$\spa$p_\mu' = (m_\pi^2 - m_mu ^2)/(2m_\pi)$\spa$v_\mu' = p'/\sqrt{p^{2'} + m_\mu^2} = (m_\pi^2 - m_\mu^2)/ 2m_\pi \cdot ((m_\pi^2 - m_\mu^2)^2 + 4m_\mu^2m_\pi^2)^{-\frac12}\cdot2m_\pi = (m_\pi^2 - m_\mu^2)/(m_\pi + m_\mu) = 0.27$ Eksistas la maksimuma angulo $v_\mu' &lt; v$\spa$\sin\theta_{maks} = p_\mu'\sqrt{1 - v^2}(vm_\mu) = (m_\pi^2 - m_\mu ^2)/\gamma(2m_\pi vm_\mu)$. \begin{equation} \theta_{maks} = \arcsin\big(\frac{p_\mu'}{\gamma \beta m_\mu}\big) = \arcsin\big(\frac{m_\pi^2 - m_\mu^2}{2m_\pi p_\pi}\big).\end{equation}\item[$II)$]La energia intervalo en kiu oni trovas $\mu$:\\ $\E_\mu = (\E_\mu' + \beta p_\mu'\cos\theta')\gamma$\spa$\E_{maks} = \gamma(\sqrt{p_\mu^2 + m_\mu^2} \pm v_\pi\cdot p')$\spa$v = p_\mu/\sqrt{m_\pi^2 + p_\pi^2}$\spa$p_\mu' = (m_\pi^2 - m_\mu^2)/2m_\pi$\spa$\E_{maks,min} = 1/2m_\pi^2 ((m_\pi^2 + m_\mu^2)\sqrt{p_\pi^2 + m_\pi^2} \pm p_\pi(m_\pi^2 - m_\mu^2))$\spa$(1 - v^2) = m_\pi^2/(m_\pi^2 + p_\pi^2)$\spa$\gamma = \sqrt{m_\pi^2 + p_\pi^2}/m_\pi$\spa$p_\mu^2 + m_\mu^2 = (m_\pi^4 + m_\mu^4 - 2m_\pi^2 m_\mu^2)/ am_\mu^2 + m_\mu^2 = (m_\pi^2 + m_\mu^2)/4m_\pi^2$. \begin{equation}\E_{maks,min} = \frac{\sqrt{m_\pi^2 + p_\pi^2}}{m_\pi}\big(\frac{m_\pi^2 + m_\mu^2}{2m_\pi} \pm \frac{p_\pi}{\sqrt{m_\pi^2 + p_\pi^2}}\cdot\frac{m_\pi^2 - m_\mu^2}{2m_\pi}\big)\end{equation} $290 MeV \leqslant \E_\mu \leqslant 500 MeV$ \item[$\mathit{III})$] la Probableco ke $|\vet p_\pi|$ estas komprena inter $400-450 MeV/c$:\\ La probableco estas kostanta energie \begin{equation}p = \frac{\E_\mu(p_\mu = 450 MeV) - \E_\mu(p_\mu = 400 MeV)}{\E_{maks} - \E_{min}}.\end{equation}\end{itemize}  
\par\ekz{Reacio}\hspace{\stretch{1}} $\mathit{I)}\quad\pi^0 \to \gamma + \gamma\quad\mathit{II)}\quad\gamma + p \to p + \pi^0\quad\mathit{III)}\quad\pi^0 \to \gamma + \gamma$ \hspace{\stretch{1}} \rule{0pt}{0pt}\\\begin{itemize}\item[$\mathit{I)}$]Determinu la energio minimuma ke havu $\pi^0$ en la reacio $\mathit{I)}$ en $K$ por ke la defalo produkto lokagas la duan reacion.\\ $(\E_k + \E_p)^2 - (\vet p_\gamma + \vet p_p)^2 = $\noto{$ p_p = 0 $}$ = \E^2_\gamma + m_\gamma^2 + 2\E_\gamma m_\gamma - \E_\gamma$\spa$m_\gamma = 0 \Rightarrow |\vet p_\gamma| = \E_\gamma$\spa$\E_{\gamma sojlo} = (m(m_p + m_\pi)^2 - m_p^2)/2m_p$. En la masa centro $|\vet p_{*1\gamma}| = |\vet p_{*2\gamma}|$, Per la energia konservo $\E_\pi ' = \E_{1\gamma}' + \E_{2\gamma} \Rightarrow \E_\gamma'$\spa$m_\pi + 2\E_\gamma$\spa$\E-\gamma$ en la laboratorio $K$\spa$\E_{sojlo} = \E_\gamma = \gamma(\E_{*\gamma}  + vp_*) = \kom v $rapideco en la masa centro $\kom = \frac12 m_\pi \gamma(1 + v)$. $\gamma$ eligita anta\u uen. Oni konas $\E_{\gamma}$ sojlo $\E_{\gamma s} = \E_{\gamma maks}(v) \Rightarrow v$ rapideco de $\pi^0$ en $K$\spa$(1- v_6)\E_{\gamma s}^2 = m_\pi^2/4\cdot(1 + v)^2$, \begin{displaymath}v = \frac{(2\E_{\gamma s}/m_\pi)^2 - 1}{(2\E_{\gamma s}/m_\pi + 1}\end{displaymath}\dm{\E_\pi = \frac{m_\pi c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}}
\item[$\mathit{II)}$] Trovu la minimuman angulon formita de $\gamma$ en la defalo de $\pi^0$ de la dua produkto en sojlo.\\ Oni kontrolas se esistas la minimuma angulo, prefere $v' &lt; v_{*\gamma} = c$, sekve eksistas $\tan(\theta_{min}/2) = v_{*\gamma}/v'\cdot\sqrt{1 - v^{'2}} = 1/v' \cdot\sqrt{1 - v^{'2}}$. \v Car la reakcio okazas en sojlo $v'$ estas $v_*$. \begin{displaymath}v' = \frac{|\vet p_\gamma + \vet p_p|}{\E_\gamma + \E_p} = \frac{|\vet p_\gamma|}{\E_\gamma + \E_p} = \frac{\E_\gamma}{\E_\gamma + m_p}.\end{displaymath}Kiam $E_\gamma = \E_{\gamma s}$.\end{itemize}
\par\ekz{Angula trasformo}\\ En ia sistemo de rilato inercia movi\v gas kun rapideco $v$ longe la akso $x$ la angula spegulo \marginpar{\setlength{\unitlength}{1.5cm}\begin{picture}(0,1)\put(1,.5){\line(-1,1){.5}}\put(1,.5){\line(-1,-1){.5}}\put(0,.3){\line(1,0){.8}}\put(0,.7){\line(1,0){.8}}\put(.8,.3){\line(0,1){.4}}\put(.5,.3){\vector(1,0){.1}}\put(.5,.7){\vector(-1,0){.1}}\end{picture}} kiu facoj havas valoroj egalaj rilate la akso $x$. Lume fonto, senmova rilate $K$, eligas fotonoj en $x$ direkcio. \begin{itemize}\item[$I)$] Oni determini l'angulo $\phi$ ke la facoj devas havi kial la fotonoj, eligitaj sur amba\u u la facoj, movas longe $x$ (en la oposita verso la\u ue tiu de incido):\\ La tan\v go de $\phi$ reprezentas $y/x$-n. La $\tan\phi_0$ representas $K_0$-n, sistemon solidan al spegulo. $y = y_0$\spa$x_x = x/\gamma$,  $\tan\phi = y_0\gamma/x_0 = \gamma$\item[$\mathit{II)}$] Determinu la angulo $\theta$ formita da la radio refleksa la unua fojo kun la faco de la spegulo en kiu okazis la reflekso.\\ \marginpar{\setlength{\unitlength}{1.5cm}\begin{picture}(0,1)\put(.5,0){\line(3,2){.5}}\put(0,.2){\line(1,0){.8}}\put(.8,.2){\line(2,5){.25}}\put(1,.22){$\phi$}\put(.877,.3){$\theta$}\multiput(.8,.19)(.025,0){20}{\tiny{.}}\put(.3,.2){\vector(1,0){.1}}\put(.9,.51){\vector(2,3){.1}}\end{picture}} $\theta = \psi - \phi$\spa$\tan\psi = v_y/v_x$\spa$\vet v$ rapideco de la fotono poste la reflekso en $K$. $\vet v_0 = (0,1,0)$\spa$\vet v_0$ en $K_0$, \begin{equation} v_x = \frac{v_{0x} + v}{1 + v_{0x}v} \qquad v_y = \frac{v_{0y}\sqrt{1 - v^2}}{1 + v_{0x}v}\end{equation}$v_{0x} = 0$\spa$v_x = V$\spa$v_y = \sqrt{1 - v^2}$\spa$\theta = \psi - \phi = \arctan(\sqrt{1 - v^2}/v) - \arctan(1/\sqrt{1 - v^2})$.\end{itemize}
\par\ekz{Kampo Elektro Magnetiko} \hspace{\stretch{1}} $X \to e^+ + e^-$ \hspace{\stretch{1}} \rule{0pt}{0pt}\\ La reacio okazas en plano perpendikla al la direkcio de ia kampo magnetiko kostanta kaj uniforma de modulo $B$. $X$ ne\u utra. Oni mizuras la radioj $r_+$ kaj $r_-$ de la cirkonferencoj kaj la komenca angulo $\alpha$ kaj la distanco $L$ inter la punkto de produkcio kaj neniigo de $X$. \begin{itemize}\item[$I)$] Trovu la maso de la partiklo $X$: 
\marginpar{\setlength{\unitlength}{1.5cm}\begin{picture}(0,0)\put(0,.5){\line(1,0){.8}}\put(.3,.52){$X$}\put(.8,.2){\oval(.6,.6)[r]}\put(.8,.1){$e^-$}\put(.8,.8){\oval(.6,.6)[r]}\put(.8,.8){$e^+$}\put(.85,.5){\vector(4,1){.6}}\put(1.2,.7){$p_+$}\put(.85,.5){\vector(4,-1){.6}}\put(1.2,.2){$p_-$}\multiput(.8,.49)(.025,0){30}{\tiny{.}}\put(1.4,.52){$\alpha$}\qbezier(1.3,.5)(1.35,.55)(1.3,.62)\put(.3,.2){\circle{.2}}\put(.3,.2){\circle*{.05}}\put(.42,.1){$B$}\end{picture}}\\ Konservo de la kvar impulso $m_X^2 = (p_+ + p_-)^2 = (\E_+ +\E_-)^2 - (\vet p_+ + \vet p_-)^2 = \E_+^2 + \E_-^2 + 2\E_+\E_- - p_+^2 - p_-^2 - 2p_+p_- = m_e^2 + |\vet p_+|^2 + m_e^2 + |\vet p_-|^2 + 2\sqrt{(m_e^2 + p_+^2)(m_e^2 + p_-^2)} - |\vet p_+|^2 - |\vet p_-|^2 - 2|\vet p_+|\cdot|\vet p_-|\cos\alpha$.\item[$\mathit{II)}$] Tempo de vivo de $X$:\\ En kampo $B$ $\perp$ al la trajektoro $|\vet p_\pm| = eBr_\pm$\spa$\tau_X = t\sqrt{1 - v^2} = l/v\sqrt{1 - v^2}$ kie v estas la rapideco de $X$ en la laboratorio, $t$ la tempo de vivo en la laboratorio. $\tau = \sqrt{1 - v^2}/(m_Xv)\cdot(m_Xv) = L |\vet p_X|\cdot m_X$, \begin{equation} \vet p_X = \vet p_1 + \vet p_2\end{equation}, $|\vet p_X|^2 = \vet p_+^2 + \vet p_-^2 + 2\vet p_+\vet p_- = (eB)^2)r_+^2 + R_-^2 + 2r_+r_-\cos\alpha$ do \begin{displaymath}\tau_x = \frac{Lm_X}{eB\sqrt{r_+^2 + r_-^2 + 2r_+r_-}}\end{displaymath}\end{itemize}

</pre></body></html>