<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\chapter{Kosmologio}
\subsection{Ecoj de la Universoj}La kosmologa principo diras ke la universo estas omo\v gena kaj isotropa. Omo\v gena signifas ke la strukturoj ripeti\v gas medie en siaj skalaj prefere oni havas galakso de steloj kiel oni havas amasoj de galaksoj ktp. De la principoj de la relativeco oni scias ke por la lumrapideco ekzistas horizonon al la vido kaj partoj de la spacoj estas nevideblaj de la komenco de la universo. Oni ne povas diri fakte ke la universo estas homo\v gena \v car ne estas intr\v san\v go inter la partoj kiuj ne estas en direkte kontakto sed en la porcio de universo videbla tiu estas vere fine al $10^{-5}$ kaj oni povas krei ke tiu valoras \v cie.\par
De la eroj de la \v genera relativeco kiu oni ne traktos oni havas ke la  \homo{Einstein}-a ekvacio la \homo{Einstein}-a tensoro egalas al \noto{$R$ estas la Ricci kostanto, $T_{ij}$ la tensoro de energio kaj momento} \dm{G_{ik} = \epsilon_{ik}-\frac12g_{ik}R=\frac{8\pi G}{c^4}T_ik} kaj estas solvigebla per la \eroh{Friedmann}{Ekvacioj} si oni konsideras homo\v gena masa distribuo. Por spaco kun sferik simetrio la  metriko asociita al tiu spaco en la \homo{Newton}-a limito ($Gm/lc^2&lt;&lt;1$) por la \homo{Birchoff}-a teoremo estas la \homo{Minkovskij}-a konsiderinte ke la spac mezuro pligrandigas kun la tempo \dm{\di s^2 = c^2\di t^2 - a(t)^2\di l^2} Oni volas kalkuli la \homo{Friedmann} ekvacio en \homo{Newton}-a priskribo. Oni scias ke pro prova maso la akcelo por gravita forco estas \dm{\ddot l = -\frac{Gm}{l^2} \qquad \ddot l\dot l = - \frac{Gm}{l^2}\dot l \qquad \frac{\di_t}2\big({\dot l}^2\big) = Gm\di_t \frac1l } kie oni havas multipliki pro $\dot l$ kaj notita la diferenciale formo. La una integralo estas \dm{{\dot l}^2 = 2\frac{Gm}{l} = \frac{8\pi}{3}G\rho l^2+\konst} Oni vidis ke la longeco $l$ estas temp dependa kaj oni povas skribi \v gin kiel produkto de fiksa distanco per la skala faktoro $l(t) = r_0 a(t)$. La dua deriva\v go de \homo{Newton}-a ekvacio montras pluen \dm{\ddot l = -G\frac43\pi\rho l \qquad \frac{\ddot a}{a} = -\frac43G\rho} La denseco depenas de la longeco $l$ je la tria potenco. Do si oni konsideras la produkto $\rho a^3$ tiu ne devas \v san\v gi en la tempo, kaj al ni donas la tria kaj lasta ekvacio \dm{ \di_t (\rho a^3)= 0 = \dot \rho a^3 + 3\rho a^2\dot a \qquad \dot \rho = -3\rho \frac{\dot a}a } Si oni anstata\u ue konas la \v generala relativeco oni obtenus \dm{\ddot  a = -\frac43\pi G(\rho+3\frac\Pre{c^2})a \qquad {\dot a}^2 + K = \frac83\pi G\rho a^2\qquad \dot \rho=-3\frac{\dot a}{a}(\rho+\frac{\Pre}{c^2}) } kie $K$ definas la metrikon de la spaco kiel oni povus vidi pluen. \par
Si oni volas konsideri la universo kiel homo\v gena kaj ideala fluo oni devas konsideri la rekta metriko asociita al la spaco. La \eroh{Robertson Walker}{Metriko} estas la diferencialo de la nevariana intervalo \dm{\di s^2=\Big(\di t^2-a^2(t)\Big(\frac{\di \ra^2}{1-K\ra^2}+\ra^2\di \Omega^2\Big)\Big)} kie $\ra$ estas la distanco en polaraj koordinatoj, $\tau\EDef\int1/a(t)\di t$ estas la \ero{Konforma Tempo} integrata sur la propra tempo $t$ dume $K$ estas la parametro kiu elektas la tipon de metrikon. Si oni havas \homo{Euclide}-a metriko $K$ nulas si la spaco estas sferika kaj havas \homo{Gauss}-a kurvaturo $(1/{R^2})$ $k$ egalas $1$n dume pro $k=-1$ oni havas iperbolikan. Si oni ne scias la metrikon de la universo oni devas konsideri ke la distanco inter du punktoj estas \dm{d_P(t)=\int_0^\ra\frac{a\di \ra'}{(1-K\ra^2)^{1/2}} \qquad \stackrel{K=0}= a\ra \qquad\stackrel{K=1}= \sin^{-1}(\ra) \qquad \stackrel{K=-1}=\sinh^{-1}(\ra) } La distanco kunmova havas $a$n kiu estas temp dipenda kaj parton kiu depenas sole de la distanco $\ra$. Oni skribas la \erof{Hubble Legxo}{\homo{Hubble}  le\v go}n per \dm{\dot d_P = \frac{\dot a}{a}d_P \qquad H(t)\EDef \frac{\dot a}a } skribinte la bone notita \homo{Hubble} kostanto kiu ne estas precise mizurita. Por tiu oni skribos la valoron de la \homo{Hubble} kostanto en unecoj de $h$ kiu estas utila variablo por poni \dm{\frac{H(t_{nun})}{h} \EDef 100 [km s^{-1} Mpc^{-1}] } mode ke oni povas poni la valorojn de la kosmolo\v gikaj grandecoj en la diskordantaj $h$ grandcoj. En tiu vidado la komponoj de la rapidecoj de la distancoj $v\EDef \dot d_P$ estas simple \dm{v(\ra)-v(\ra') = v(\ra - \ra') }\par 
Oni volas difini novan grandecon kiu estas facile mizuri. Si oni konas la transiro de iu elemento (Ekz \homo{Comtpon}-a longeco) oni povas observi la diferencon inter la teorika kaj la observita frekvenco kaj nomi \v gin \ero{Roza Traslado} \dm{z \EDef \frac{\lambda_0-\lambda}{\lambda} } kiu al ni diras la \homo{Doppler}-an trasladon pro la espansio de la universo. La roza traslado estas kunigita al la skala faktoro sed anka\u u al la temperaturo, la tempo sed anka\u u la distanco kiel oni vedos \dm{\nu a=\nu_0 a_0 \qquad \frac{\nu}{\nu_0} = \frac{a_0}{a} \qquad a = a_0(1_z) } La denseco de energio $\rho$ estas priskribita de la ekvacio de stato \dm{\Pre=w\rho} kie $\real w$ estas numero kiu povas \v san\v gi la\u ue la presenco en la universo de diversaj energiaj kontribuoj. Se la pli granda kontribuo al la energio estas donita de la radiado oni scias de la luma elmito ke la presiono de radiado estas proporcionala al $1/3$ de la denseca energio. Poste la dekuplo de materio kaj radiado la energia denseco estas sur \v ciu la sumo de la masoj ene la universo kaj oni ne havas pli presionon kiel la polvo aire surponita; do $w=0$. Poste tiu la universo pro energio asociita al la vakuo, kiu oni ne scias priskribi kaj kompreni, la pli granda kontribuo de la energio de la universo konsistas en la nomata \ero{Energio Obskura} kiu donas malplu-a presiona kontribuo $w=-1$. \par
Oni volas nun solvi la \homo{Friedman} ekvaciojn kiuj al ni diros pri la espansion de la universo en la tri diversaj epokoj. \dm{\dot \rho=-3\frac{\dot a}a\Big(\rho+\frac\Pre{c^2}\Big)=-3\frac{\dot a}a\rho(1+w) \quad \rho=\rho_*\Big(\frac{a}{a_*}\Big)^{-3(w+1)} } en la proksimado de \homo{Euklide}-a universo ($k=0$ a\u u $kc^2&lt;&lt;8\pi G\rho a^2$) oni skribos \dm{\dot a=\sqrt{\frac{8\pi G}3\rho_*} a_*^{\frac32(1+w)}a^{-\frac32(1+w)-1} \qquad \di a a^{\frac32(w+1)-1} = \sqrt{\frac{8\pi G}3 \rho_*}a_*^{\frac32(1+w)} \di t} Se oni solvas tiuj ekvacioj oni havos \noto{$H_*^2=8\pi G\rho_*/3$}\dm{a=a_*\Big(1+\frac32(1+w)H_*\Delta t\Big)^{\frac2{3(1+w)}} \EDef a_0\Big(\frac{t}{t_0}\Big)^{\frac2{3(1+w)}}\qquad \frac2{3H_*(w+1)}=t_*} de kiu oni havas kun tiuj sekvantaj difinoj \dm{a=a_0\Big(\frac t{t_0}\Big)^{\frac{2}{3(1+w)}} \qquad \rho=\rho_0\Big(\frac{t}{t_0}\Big)^{-2} \qquad H=\frac2{3(1+w)t} } Oni nun volas solvi la problemon per ia ajn metriko ($K=-1,0,1$). \dm{\dot a^2 = H_0^2\frac{a_0^3}a - K \qquad a = \frac{H_0^2a_0^3}{\dot a^2+K} \qquad \dot a = -2\dot a\ddot a\frac{H_0^2a^3_0}{(\dot a^2+K)^2} } De $\ddot a = \di_t \dot a$ oni skribos \dm{\di t = -2H_0^2a_0^3\frac{\di \dot a}{(\dot a^2+K)^2} } Por $K=1$ \dm{\dot a \EDef tg(\frac{\pi-\alpha}{2}) \qquad t = \frac12H_0^2a_0^3(\alpha-\sin\alpha)\qquad a=H_0^2a_0^3(1-\cos\alpha) } dume por $K=-1$ \dm{\dot a \EDef tgh(\frac{\pi-\alpha}{2}) \qquad t = \frac12H_0^2a_0^3(sinh\alpha-\alpha)\qquad a=H_0^2a_0^3(cosh\alpha-1) } kaj fin fine por $K=0$ \dm{t = 2H_0^3a_0^3\Big(0-\frac1{-3\dot a_0}\Big)=\frac 2{3H_0} } de tiu oni povas kalkuli la a\v go de la universo per en la diversaj modeloj $t_0^{K=-1}&lt;t_0^{K=0}&lt;t_0^{K=1}$\par 
La dua grava informo kiu oni povas obteni estas la tempo de transado inter radiado-materio-obskura energio dume la universa istorio. \dm{\rho_m(1+z_{1})^3=\rho_{rad}(1+z_{1})^4 \qquad \rho_m(1+z_2)^3=\rho_{\Lambda} } Oni nomi\v gis $\rho_{\Lambda}$-n en la kazo de la obskura energio \v car oni povas poni en la \homo{Einstein}-a ekvacio kostanton nomita \ero{Kosmologa Kostanto} kiu donas al la universo termon atraktiva kiel en la obskura energio. Tiu termo \v san\v gas la valoro de la presiono kaj de la energia denseco \dm{\rho\to\rho+\frac{\Lambda c^2}{8\pi G} \qquad \Pre\to\Pre-\frac{\Lambda c^4}{8\pi G} } Por ima\v gini tiun oni povas konstrui skalara kampo $\phi$ kiu povas \v san\v gi la presiono kaj energio de la universo en tiu mode \homo{Lagrange}-a priskribo \dm{\rho_{\phi} = \frac12\dot\phi^2+\V(\phi) \qquad \Pre(\phi)=\frac12\dot \phi^2-\V(\phi) \qquad w=\frac{\frac12\dot\phi^2-V(\phi)}{\frac12\dot\phi^2+\V(\phi)} } sed ne estas neniam troviata tiu spece kampo.
\section*{Abundancoj kaj Dekupla\v go}  Oni volas nun renkonti la vivo de la universo parolinte de la pli valorata modelo. \v Cio komencis en la \fremd{big bang}, la vera singulareco de la denseco de energio en \v cio punkto de la spaco. Oni povas renkonti la vivo de la universo de tiu momento \v car oni ne povas diri ion anta\u u tiu evento. Oni montros en logaritmika skalo la evolvo de la parametroj, la temperaturo kaj la energio malgrandi\v gis kaj permetas la komponon de pli grandaj strukturoj, la spaco, kiu oni jam scias ke tiu estas mizurebla per la roza traslado $z$, grandi\v gis.\par
Supren la energio $10^{19}[GeV]$, \eroh{Plank}{Maso}, probable la kvar forcoj uni\v gas kaj oni devas trakti unifikan teorion ke en tiu momento ne eksistas kaj pro tiu oni povas diri nenion de tiu epoko. Poste la temperaturo de $10^{16}[Gev]$ anstata\u u la forta dekupli\v gas de la elektromalforta forcoj kaj la universo estas komponita de \fremd{quark} [gluon]-a plasmo. Por malpli de $1[TeV]$ anka\u la malforta forco dekupli\v gas de la elektromagnetika. Malsupre la temperaturo de $1[GeV]$ la \fremd{quark} legi\v gas kaj formas la pli stabilaj particeloj el \v ciuj, la ne\u utroj kaj la protonoj. \v Cirka\u ue $1[MeV]$ la malforto forco komenci havi malgrandan interadan radion kaj la ne\u utrinoj dekupli\v gas formante la pli trea\v ga informo sur la \fremd{big bang} \v car la nedekuplitaj particeloj kontin\u ue intera\v gigas inter ilin kaj ne povas alveni al ni. Sine la kupla\v go de la ne\u trinoj la reakcioj $n + {\nu_e} \to p^+ + e^-$, $n+e^-\to p^+ + \bar{\nu_e}$ estas sfavoritaj kaj oni povas formi la unua nukleoj ($D$, $He$, $Li$) anka\u u se la presenco de la fotonoj kontinue fotodetruas la $D$euterion kaj la nukleoj kontinue reformi\v gas. Preska\u u [$1eV$] finfine la radiado dekupli\v gas de la materio kaj konstituas, poste la malvarmo de la espansio, la \ero{CMB Kosma Mikroonda Fondo}. Al tiu tempo la nukleoj povas formi\v gi kaj oni havis la materion kiu povas formi la astronomikaj strukturoj.\par
Oni nun volas motri iom da kalkuloj kiu permetas al ni de kompreni la abundanco de la elementoj kaj la mekanismoj kiu reglas tiu tre intera\v ganta fluido. \par
Sekvinte \homo{Boltzmann} oni definas la distribua funkcio per \noto{$c=\hbar=k_B=1$} \noto{$g$ de\v genero de la statoj, elikeco. $\pm 1$ la\u ue Fermi-Dirac a\u u Bose-Einstein} \dm{f(\E,\T) = \frac1{e^{\frac{\E-\mu}{\T}}\pm 1} \qquad n(\T) = g\int\di\E f(\E,\T) \qquad \E = \sqrt{p^2+m^2} } Oni povas poni du limitojn por kalkuli tiun integralon, la ultra relativista $\E - \mu\simeq p$ kaj la nerelativista $\E \simeq m + p^2/2m$. Por la unua \dm{ n(\T) = g\frac{g}{(2\pi)^3}\int\frac{\di\Omega\di pp^2}{e^{\frac{p}{\T}}\pm 1} = \frac{g\T^3}{2\pi^2}\int_0^\infty\di x\Big(e^x\pm 1)^{-1} } kaj estas solvebla per la \homo{Euler}-a $\zeta$. 
\begin{mat}{Euler-a $\zeta$} La \homo{Euler}-a $\zeta$ estas difinita per \dm{\zeta(\real x) \EDef \sum_{\nat i} \frac1{{\real x}^{\nat i}} } Tiu funkcio ne estas analiza sed oni povas facile numerike kalkuli \v gin. Tiu funkcio aperas tre ofte (anka\u u rilate la unuaj numeroj) sed oni volas difini \v gin por la numerik valoroj de sia integral formo \ldots \end{mat}
\dm{n(\T) \qquad \stackrel{FD}=\frac34\frac{\zeta(3)}{\pi^2}g\T^3 \qquad \stackrel{BE}=\frac{\zeta(3)}{\pi^2}g\T^3 } Si oni anstata\u ue volas kalkuli la denseco de energio oni obtenus \noto{$g_* \EDef \sum_{i\in FD}g_i^{spin}(\frac{\T_i}{\T}\Big)^3+\sum_{i\in{BE}}g_i^{s}\Big(\frac{\T_i}{\T}\Big)^3$}\dm{\rho(\T) = \frac{g}{(2\pi)^3}\int\frac{\di^3p p}{e^{\frac p\T}\pm 1} = \frac{\pi^2}{30} g_*(\T) \T^4} Por la ne relativeca proksimado la kalkulo estas \dm{n(\T) = \frac{g}{(2\pi)^3}\int\di^3p\frac{e^{-\frac{m-\mu}\T}e^{-\frac{p^2}{2m\T}}}{1\pm e^{-\frac{m-\mu}\T}e^{-\frac{p^2}{2m\T}}}\simeq\frac g{(2\pi)^3}e^{-\frac{m-\mu}\T}\int\di^3p\frac{e^{-\frac{p^2}{2m\T}}}{1\pm0} = g\Big(\frac{m\T}{2\pi}\Big)^{\frac32}e^{-\frac{m-\mu}{\T}} } kiu ne montras diferencoj inter \homo{Fermi}-aj kaj \homo{Bose}-aj. Oni do povas defini la \erof{Dekuplagxo}{Dekupla\v go} kiam la tempo de kolizo $t_{k}=\Gamma^{-1}$ estas pli granda de la tempo de espansio $t_e=H^{-1}$, prefere $\Gamma&lt; H$. $\Gamma$ estas la bone notita largeco de interado $\Gamma \EDef \no\mez{\sigma v}$. Oni vidis ke $H$ estas skribebla per \noto{$m_P\EDef \frac1{\sqrt{P}}$ Plank-a maso} \dm{H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho=\frac{8\pi^3}{90}Gg^*(\T)\T^4 \qquad H=\sqrt{\frac{8\pi^2}{90}g^*(\T)}\frac{\T^2}{m_P} } Oni scias ke la interadoj meditaj per diversaj \homo{Bose}-aj havas diversan urtan sekcion $\sigma$\noto{$G_X$ Fermi-a kostanto} \dm{\sigma_{em} \propto \frac\alpha{\T^2} \qquad \sigma_{masa}\propto G_X \T^2 \propto \frac\alpha{m_X}^2\T^2 } De tiu oni povas trovi la tempo de dekupla\v go de la malforta interado \dm{\Gamma_X \propto \T^3 G_X\T^2 \qquad \frac{\Gamma}{H}=G_X^2m_P\T^3&lt;1\qquad \T&lt;G_X^{-2/3}m_P^{-1/3} } kaj de la elektromagnetika \dm{\Gamma \propto \T^{\frac32}\frac{\alpha^2}\T\frac\Gamma H=\alpha^2\frac{m_P}{\T}\qquad \frac\Gamma H\propto \frac{\alpha^2 m_P}{\T^{\frac12}} } Oni nomi\v gas \ero{Relikto Kosmiko} la tipo de particelo kiu dekupli\v gas kaj {\it varma} a\u u {\it malvarma} la relikto kiu dekupli\v gas anta\u ue a\u u poste la derelativistikeco. Poste \v cio dekupla\v go oni devas \v san\v gi la valore de de\v genero de la specoj $g^*$.\par
Oni konsideras gason de elektronoj kaj protonoj kiuj trovi\v gas en la sama spaco. Se oni volas koni la temperaturo kiu permetas la deioniza\v gon de la idro\v geno. La kimikaj potencialoj egalu $\mu_p+\mu_e=\mu_H+\mu_\gamma$. Oni ponas $\mu_\gamma\simeq 0$ \v car la numero de fotonoj [ne \v san\v gas la energio de la sistemo]. Se la denseco de elktronoj kaj protonoj estas \dm{\no_e=g_e\Big(\frac{m_e\T}{2\pi}\Big)^{\frac32}e^{\frac{\mu_e-m_e}{\T}} \qquad \no_p=g_p\Big(\frac{m_p\T}{2\pi}\Big)^{\frac32}e^{\frac{\mu_p-m_p}{\T}} } oni havus ke \noto{$B\EDef m_p+m_e-m_H$} \dm{\no_H=\frac{g_H}{g_eg_p}\no_p\no_e\Big(\frac{m_e\T}{2\pi}\Big)^{-\frac32}e^{\frac B\T} } Si oni difinas $\Xi_e\EDef \no_p/\no_B=\no_e/\no_B$ kaj $\Xi_e=0.1$ oni trovas la \eroh{Saha}{Ekvacio} \noto{$\eta$ frakciono de barionoj sur fotonoj} \dm{\frac{1-\Xi_e}{\Xi^2}=\no_B\Big(\frac{m_e\T}{2\pi}\Big)^{-\frac32}e^{\frac B\T}\qquad \no_B\EDef \eta\no_\gamma = \eta\frac{2\zeta(3)}{2\pi}\T^3 } Oni povas vidi ke la \homo{Saha} ekvacio ne donas la korektan temperaturon de deinoni\v ga\v go kiam la sistemo ne estas en ekvilibrio \v car oni havas multaj fotonoj kiuj ankora\u u perturbas la sistemon. Si oni volas trovi la temperaturo de la primodiala nukleosintekso oni uzos \dm{\frac{\no_p}{\no_n}\simeq\Big(\frac{m_n}{m_p}\Big)^{3/2}e^{-\frac{Q}\T} \qquad Q\EDef m_n-m_p\ENum 1.3[MeV] } 
\section{Jeans Modelo} Sekvinte la \homo{Boltzmann} ekvacio oni volas trovi la distribua funkcio $f(\vet \Gamma,t)$ kiu solvas \noto{$\op L$ Liuville-a operatoro, $\op C$ koliza operatoro}\dm{\op L[f]=\op C[f] \qquad \op L\EDef \partial_t+\di_t\vet x\nabla_{\vet x}+\di_t\vet v\nabla_{\vet v} = \partial_t+\vet v\nabla_{\vet x}+\frac{\vet F}m\nabla_{\vet v} } Se \dm{\no(t) = \frac{g}{(2\pi)^3}\int \di^3pf(\vet\Gamma,t) \qquad \frac{g}{(2\pi)^3}\int\frac{\di^3 p}{\E} \op L[f] = \frac{g}{(2\pi)^3}\int\frac{\di^3 p}{\E} \op C[f] } kiu estas solvebla en \dm{\frac{g}{(2\pi)^3}\int\frac{\di^3p}\E\Big(\E\partial_tf-\frac{\dot a}{a}|\vet p^2|\partial_\E f\Big) = \dot \no + 2\int\di^3p p\di_pf=2\int\di\Omega\int\di p p^2 p \partial_p f } kiu integrinte por partoj oni donas \dm{\dot \no + 3\frac{\dot\no}{\no}=\frac{g}{(2\pi)^3}\int\frac{\di^3p}{\E}\op C[f] = -\mez{\sigma v}\no^2+C=\mez{\sigma v}(\no_{eq}^2-\no^2) } Do la metrika denseco kunmova $\no_c\simeq\no_0(a/a_0)^3$ valoras \dm{\dot \no = \dot \no_c \Big(\frac{a_0}{a}\Big)^3 \qquad \dot \no_c -\Big(\frac{a_0}{a}\Big)^3\no_{c,eq}\mez{\sigma v}\Big(\Big(\frac{\no_c}{\no_{c,eq}}\Big)^2-1\Big) }
\section{Astrofiziko}
Si oni prenas sferika distribuo de partikloj oni havas du opozitaj forcoj, la gravitazionala kaj la presiona gradianto. Por kalkuli la kampo valoras la \homo{Gauss}-a teoremo kaj la kampo depenas de la maso ene la sfero konsiderita. \dm{-\dot \ra^2 = \frac{Gm(\ra)}{\ra^2} + \frac1{\rho(\ra)}\di_\ra\Pre } Se oni enmetas al la ekvilibrio oni devas solvi \dm{\int_0^R4\pi r^3\di_\ra \Pre\di \ra = \Pre(\ra)4\pi\ra^3\Big|_0^R-3\int_0^R\frac{Gm(\ra)}{\ra}\di m = -\int_0^R\frac{Gm(\ra)\rho(\ra)4\pi \ra^2}{\ra^2} = \E_{gravita} } Do oni formulas $\mez\Pre = -\E_{gr}/3V$. Per la dekompono de la movo en isotropa spaco la presiono estas la media valoro de la produkto $\vet v\vet p$ \dm{\Pre=\frac{\no}3\mez{\vet p\vet v} \qquad \stackrel{NR}= \frac23\no\mez{\frac12mv^2}=\frac23\E_k \qquad \stackrel{R}= \frac13\no\mez{pc}=\frac13\E_k } Tiu estas la \ero{Virialo Teoremo} kaj oni povas formuli al la ekvilibrio $2\E_k+\E_{p}=0$ kiu eksprima la relacio inter la kinetika kaj potenciala energio por ne relativecaj partikloj. Kun la konservo de la energio $\E_k+\E_p=\E_{tot}$ oni diros ke $\E_{tot}=\E_{gr}/2$. Tiu teoremo estas grava en la konsidero ke se oni havas gason kiu perdas energion sur la surfaco la gravita energio povas malkreksi dume la kinetika kreskas altiginte la temperaturon, se anstata\u ue la kinetika energio malkreskas per la radiado la gravita energio altigas la energion de la nuklearaj interadoj. Se la gaso estas en relativeca proksimado la sistemo estas en nestabila ekvilibrio \v car la du forcoj havas la saman grandeco. La masa limito por la nestabileco estas la \eroh{Chandrasekhar}{Maso} $M=1.4M_\odot$, la steloj kun maso malpli de la \homo{Chandrasekhar}-a maso devenas blankaj nanoj dume la alia povas elmeti grandan parton de sia maso en ia  \fremd{supernova} a\u u kolapsi en {\it ne\u utrona stelo} a\u u {\it nigra truo}\par
En la adiabatika proksimado $\Pre V^\gamma=\konst$ la variablo de la interna energio depenas sole de la laboro farita de la sistemo \dm{\gamma\frac{\di V}V+\frac{\di\Pre}\Pre=0 \qquad \di \U = -\Pre\di V=\frac1{\gamma-1}\di(\Pre V) \qquad \mez\Pre=(\gamma-1)\frac\U V=-\frac13\frac{\E_g}V } Si la partikloj ne havas ekscititaj gradoj de liberaleco $\U=\E_{k}$ kaj $\E_{tot}=-(3\gamma-4)\E_{in}$ kaj eksprimas la liga stato de la sistemo por $\gamma&gt;4/3$. La energio de la sistemo per partiklo estas $\E_k=3/2Nk_B\T$ kie $N$ estas preska\u u donita de la maso de la hidro\v geno $N\simeq M/m_H$. Si oni volas ke la sistemo kuntrahi\v gas $|\E_g|&gt;\E_k$ kaj oni trovos la \eroh{Jeans}{Denseco} kaj maso kiu donas la limito por havi gravitacionala kontrahi\v go \dm{M_J=\frac{3k_B\T}{2G\bar m}R \qquad \rho_J=\frac{3}{4\pi M^2}\Big(\frac{3k_B \T}{2G\bar m}\Big)^3 } \v Ci tiu al ni diras ke oni bezonas de nebulozo de preska\u u 1000 sunaj masoj kaj densecoj de $10^5$ molekuloj per $[m^3]$ al la $20[K]$ temperaturo por havi gravitacionalan kuntrahi\v gon kaj la formado de amason de steloj. Oni havas protostelo kiam la temperaturo superas la energio de deasocieco de la hidro\v gena molekuloj $\E_D\ENum 4.5[eV]$ kaj la ioni\v go de de la $H$ molekulo $\E_I\ENum 13.6[eV]$. De la viriala teoremo oni havos ke \dm{\E_g\simeq -\frac{GM^2}{R}\simeq \frac12\frac{M}{m_h}\E_D+\frac{M}{m_H}\E_I=2\cdot2\frac{M}{m_H}\frac32k\T \qquad k\T \simeq\frac{1}{12}(\E_D+2\E_I) } Oni havas \homo{Pauli} repulsio kiu povas malebligi la formado de stelo per \homo{Fermi}-a gaso. La partikloj havas \homo{De Broglie}-a ond longeco kiu devas esti pli granda de la media longeco per partiklo por havi la kondicon de stelemo \dm{\lambda\simeq\frac{\hbar}{\sqrt{m_e\T}} \qquad \rho &lt; \bar m \frac{(m_ek_B\T)^{\frac32}}{\hbar^2} } Se oni ne havas stelemo $M&lt;0.08M_\odot$ la de\v genera elektronoj estas gravaj kaj la protostelo devenas {\it nano bruna}. \par 
La formado de la steloj permetas la kreo de la elementoj kiuj trovi\v gas  sur la tero. Uzinte la \homo{Weizs\"aker}-a masa formulo oni vidass ke de la $H$ al la $Fe$ (la pli stabila) la reakcio estas esotermaj kaj oni gajnas energion trasforminte la elementoj en la pli pezaj se la temperaturo permetas al la reakcio de okazi. Foje kiam la temperaturo estas tre alta la fotonoj povas esti kaptitaj en la endoterma reakcioj kiuj permetas de malaltigi la kinetikan energion kaj altigi la gravitan. La alia elementoj eblas formi ilin per ne\u utrona kapturo kaj $\beta$ defalo kiu oni povas fari rigardinte la nuklida tabelo. \par
Oni havas intereza relacio inter la maso, la lumeco kaj la durado de la steloj. La lumeco kaj la maso havas proporcio $L\propto M^{\simeq3}$ dume la temp vivo $t\propto M^{\simeq-2.5}$, inverse proporcionala! Oni havas anka\u u la bone notita \eroh{Hertzsprung-Russel}{Diagramo} kiu eksprimas la grafo de la lumeco $L$ kontra\u u la surfaca temperaturo $\T$: $(\T_{maks}-\T,L)$. La diagonalo prezentas la {\it principalan sekvencon} kiu difinas la steloj kiel la suno, bas maldektre oni havas la {\it blankaj nanoj}, varmaj sed malmulte lumaj dume alt dekstre la {\it roza gigantaj}. </pre></body></html>