Fizikaj Eroj

Sabeiro

2005-2010

Fizikaj Eroj fare de sabeiro estas disponebla laŭ la permesilo Krea Komunaǰo Atribuite-Nekomerce-Samkondiče 3.0 Neadaptita. Bazita sur verko je www.inventati.org/kotoba

Celo

0.1 Antaŭparolo

La celo de tiu eldono estas precipe skribi noton pri la pli gravaj aferoj kiuj mi dekovris studinte la fizikon. Tiuj notoj devas helpi memoriǧi čiujn teoremojn, leǧojn, ilojn … kiuj farigas la fizikon tiel vasta. Oni volas marki la |Ero|jn kiuj estas ia utila kielo pro malkovri en la eldono la difinon de grandecojn, operaǰojn, sistemojn ktp. Si oni trovas parolon ne konita eblas serci en la indekso tiu parolo kaj vidi si estas difinita en sia propra sekcio.

Estas ankaŭ grava diri ke tiu noto estas ne kompleta kaj ne organika sed utilas pro rigardi la objektojn jam studitajn.

Tiu eldono havas ankaŭ aliujn temojn kiuj ne estas spece fizikaj kaj oni volas paroli pri kelkaj elektoj de naturo empirika aŭ lingvaǰa.

0.2 Tiuj Lingvaj

La scienca vortaro samas preskaŭ čie^{1} ^{2}. Oni povas marki, en tiu senso ke, en Esperanto, estante la sintakso ne definita, oni unuagas kaj ponas al la antencio la plej gravajn vortojn. Čiu vorto havas čian gramatik formon. Facilas [riconoscere] la vortan funkcion gramatikan kaj kompreni la dependon inter la vortoj kaj inter la konceptoj, precipe per la funkcio de la akusativo kaj per la uzo de por, pro kaj per.

0.3 Why not in English?

La angla ligvo estas la pli parolita ligvo en la sciencaj grupoj kaj ofte ne estas petita alian lingvon ekstere la anglan. Mi kreas ke la Esperanto havas grandaj posiblecoj de priskribi sistemon kun sia flekseco kaj clareco. Oni povas eksprimi ion kun la preciseco dezirita kun la uzo de la partikloj -il-, -em-, -ar-, -aǰ- … kiu faciligas la komprenon de la objekto (modelo) al kiu oni riferas sine nomigi nenion en partikle. Pluen, mi kreas en la Interna Ideo pensinte ke estas pli rekta doni al čiuj la sam posiblecojn sine diferencoj de naska.

0.4 Tiuj Epmirikaj

Laŭ mi, la beleco de la fiziko estas en la proceso konstrui pensaron kiu povas esti utila al la dekovro de la naturaj fenomenoj. La Fiziko estas materio mem estanta kun siaj propraj objektoj sed la metodo pensi kaj analizi la problemojn estas utila en diversaj kampoj. Do oni volas marki, en la solvo de la problemoj, kiel oni povas elekti la ipotesojn kaj la ilojn kiuj al ni utilas.

1Tia tempo mi ne konis la Alemanon

2kaj la Grekon

0.5 Notacioj

Oni volas en tiu eldono difini la grandecoj univoke. Oni volas uzi la samajn leterojn kun la samajn grandecoj kiam eblo. Čiu notacio estas diversa L^{A}TEX-a komando. Oni montras la pli gravaj konvencioj:

\underline{x} = \{x_{1}, x_{2}, …, x_{N}\}  \underline{x}_{i} = \{x_{1}, x_{2}, …, x_{i}, …, x_{N}\}  \underline{x}_{i}^{N} = \{x_{1}, x_{2}, …, x_{i}, …, x_{N}\}

\underline{ϕ}_{i}(x) = ϕ_{1}(x_{1})ϕ_{2}(x_{2}) … ϕ_{i}(x_{i}) … ϕ_{N}(x_{N}) ϕ(\underline{x}) = ϕ(x_{1}, x_{2}, …, x_{N})

x = x^{1}ê_{x} + x^{2}ê_{y} + x^{3}ê_{z} ^{t}⟨x| = |x⟩

Kaj grandecoj: ℰ energio, 𝔲 denseco de energio, 𝒱 potenciala energio (foje potencialo), 𝒜 libera energio aŭ Helmoltz-a, 𝒯 Temperaturo, 𝒮 Entropio, 𝒰 interna energio, 𝒬 kaloro, 𝕀 identeco, I intenso, 𝒫 probableco, c kostanto, 𝔫 denseco, n intera numero, i intera numero, i semi intera numero ∈ ℤ/2, x semi reala numero ∈ ℝ/2 z kompleksa mumero,(r, ϕ, θ) polaraj koordinatoj,d diferencialo,Ô operator, 𝒢 grupo, 𝔊 algebro,

Indice

0.1 Antaŭparolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii 0.2 Tiuj Lingvaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii 0.3 Why not in English? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii 0.4 Tiuj Epmirikaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii 0.5 Notacioj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

1 Elektromagnetismo 1

1.1 Difinoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Coulomb-a Forco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Lorentz-a Forco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.3 Mova Kuranto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.4 Denseca Kuranto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Maxwell-aj Ekvacioj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 En la materio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Forcoj kaj Derivoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Sarǧa Partiklaro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.6 Inonizaǰo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.6.1 Difusio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.6.2 Mat: Divergaǰo en cilindraj koordinatoj . . . . . . . . . . . . . . 7 1.6.3 Mat: Sferikaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.7 Elmito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.8 Magnet Idr Dinamiko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Ondoj 10

2.1 Ǧeneralecoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.1 Mat: Fourier-a Bazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.2 Elek: Fourier-a Transformo Uzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Oscilanta Sistemo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.1 Mat: Solvadoj per Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2.2 Elek: Gajno Kalkulita per Poloj . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Onda Formo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4 Ondaj Parametroj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.5 Ondaj Ecoj de la Lumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5.1 Mat: Nedermineco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.6 Muziko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Analiza Mekaniko 19 3.1 Aroj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Kvalitaj Solvadoj de Diferenciala Ekvacio . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2.1 Flukso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.2.2 Unua Integralo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.2.3 Klasado de la proksimecoj ekvilibraj laŭ la aŭtovaloroj: . . . . . 20

3.2.4 Metodoj Lyapunov-a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2.5 Frenet-a Bazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.3 Lagrange-a Priskribo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3.1 Linearigo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4 Variacionalaj ecoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.5 Hamilton-a Mekaniko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.5.1 Funkio Ǧenerila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.6 Perturbata Metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Malvasta Relativeco 26

4.1 Geometrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.1.1 Mat: Metriko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.1.2 Grupo Lorentz Poincaré-a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.1.3 Mat: Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2 Procesoj en Relativeca Mekaniko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2.1 Kvar impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.3 Maxwell Lorentz-aj Ekvacioj en Kovarianta Formo al Vido . . . . . . . . 32

4.3.1 Maxwell-aj Ekvacioj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.3.2 Mat: Distribuoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.3.3 Lorentz-aj Ekvacioj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.3.4 Trasformaǰo de la Kampo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.4 Ekzercoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5 Kvantuma Fenomenologio 36 5.1 Luma Elmito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.2 Fotoelektrika Efekto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.3 Compton Efekto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6 Kvantuma Mekaniko 38 6.1 Malsamaǰoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 6.2 Ekvacio laŭ la memvaloroj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.2.1 Mat: Vektoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 6.2.2 Mat: Operatoroj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.3 Potenciala Kavo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.3.1 Faktoriǧo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 6.4 Armonika Oscilatoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 6.5 Angulaj Momantoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.5.1 Mat: Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 6.5.2 Mat: Lie-a Algebro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 6.5.3 Angulaj Momentoj Sumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 6.5.4 Mat: Tensora Produkto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.6 Angula Kompleta Bazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.6.1 Prezento Matrica de la Lie-a Algebro de la Angul Momantoj . . 46 6.7 Ond funkcioj normaligitaj por idroǧena atomo . . . . . . . . . . . . . . 47

6.7.1 Libera Partiklo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6.8 Kaŭza Evoluo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.8.1 Schrödinger-a Vidado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6.8.2 Heisenberg-a Vidado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6.8.3 Interad Vidado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6.8.4 Matsubara Vidado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6.8.5 Fermi-a Aurea Reglo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.9 Perturbadoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6.10 Variacioj Linearaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6.11 Kampa Kvantigo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.11.1 Mat: Green-a Funkcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6.11.2 Mat: Wick-a Teoremo, Dyson-a Ekvacio . . . . . . . . . . . . . . 56

6.12 Ringa Proksimado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 7 Statistika Mekaniko 61

7.1 Distribua Funkcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 7.1.1 Funkcio Partaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 7.1.2 Mat: Kombinatoriko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 7.1.3 Mat: Euler-a Gamma kaj Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7.2 Kvantuma Statistiko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 7.3 Ekzercoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 7.4 Kampa Priskribo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.5 Faza Transiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 7.6 Ising-a Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

8 Procesoj Stokastikaj 75

8.0.1 Mat: Asioma Difino de la Probabla Mizuro . . . . . . . . . . . . 75 8.1 Distribuoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

8.1.1 Difinoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 8.1.2 Gauss-a, normala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 8.1.3 Binomiala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 8.1.4 Poisson-a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 8.1.5 Mann-Withney Pruvo, sumo de la rangoj . . . . . . . . . . . . . 77 8.1.6 Mediana Pruvo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 8.1.7 Wilcoxon Pruvo, signa pruvo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

8.2 Bruoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

9 Materia Strukturo 79 9.1 Notacioj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 9.2 Korektantaj Termoj (Maldisa Strukturo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

9.2.1 Spin-orbito interacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 9.2.2 Relativeca Unua Korektado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

9.3 Atoma Vektora Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 9.3.1 Parigo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 9.3.2 Sub Magnetika Kampo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

9.4 Interadoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 9.4.1 Elektromagnetika Ondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 9.4.2 Magnetika Interado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 9.4.3 Interado kun Libera Partiklo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

10 Stato Solida 84 10.1 Ligoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 10.2 Retiklo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 10.3 Fononoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 10.4 Dielektrika Solido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 10.5 Movaj Elektronoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 10.6 Bandaj Strukturoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 10.7 Kuranto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

11 Nukleara Strukturo 93 11.1 Atoma Potencialo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 11.2 Šela Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 11.3 Kolektivaj Modeloj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 11.4 Gamma Defalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 11.5 Reakcioj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

11.5.1 Urta Sekcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 11.5.2 Kvantuma Interado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

12 Subnukleara 98 12.1 Simetrioj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 13 Kosmologio 101

13.0.1 Ecoj de la Universoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 13.0.2 Mat: Euler-a ζ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

13.1 Jeans Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 13.2 Astrofiziko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

A Computacionala Metodo 108 A.1 Difinoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 A.2 [Codice] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

A.2.1 Memsimileco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

B Tabeloj 111 B.1 Kostantoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Capitolo 1

Elektromagnetismo

1.1 Difinoj

La |Kampo| estas la akcio de masa partiklo en la spaco. La maso estas forco ǧenerilo kiel la (Gravita Maso) ǧeneras la gravita forco F = Gm_{1}m_{2}/r^{2} aŭ la (Elektrika Maso) ◁Gravita Maso ǧeneras la Coulomb-a forco F = q_{1}q_{2}/(4πϵ) · 1/r^{2}. B estas kampo sed ne čeestas ◁Elektrika Maso magnetika maso čar či tiu kampo estas ǧenerita por la cirkla movado de la šarǧoj kaj sia depeno el elektrika kampo estas bone priskribita por la malvasta relativeco. La depeno de la kampo el la forco estas E = F /m. Sub certaj kondicoj oni povas trovi formon nomatan |Potencialo|n kiu estas la difereciala formo laŭ kiu E := −∇ϕ aŭ ϕ := ∫_{s} Ed^{3}x.

1.1.1 Coulomb-a Forco

F = \frac{q_{1}q_{2}}{4πϵ_{0}ϵ_{r}} \frac{1}{r^{2}}

Forco kiu depenas de la šargo de la partiklaj q_{1}, q_{2}, sia distanco 1/r^{2} kaj la medio ϵ_{r}.

1.1.2 Lorentz-a Forco

F = qv × B F = I ∮ dl × B

Kiu diras ke la movo de la šarǧo q agas forcon se oni havas rapidec komponon v_{⊥} perpendikla al magnetik kampo B. Tia forco neniam agas laboron. ∫ qv × Bd^{3}x = dx = vdt q ∫ v × B · vdt = q ∫ det(v, B, v)dt = 0

1.1.3 Mova Kuranto

La mova kuranto estas la tempa variacio de la šarǧo čeesta en la Gauss-a surfaco.

I_{d} = ϵ_{0}d_{t}Φ(E)

Tia Gauss-a surfaco povas esti la surfaco čirkaŭe kondensatora armaturo kaj oni havas mova kuranto se la tensio varias en la tempo čar la elektrik nesoleinoidaleco indukas magnetik kampo kaj sekve kuranto.

1.1.4 Denseca Kuranto

J = i/S · n̂_{S} estas la kuranto ǧenerita pro la elektrik kaj magnetik kampo laŭe

Maxwell-aj Ekvacioj  Elektromagnetismo

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; J; B; J × B; ∝ E; +; -; v]

J = e𝔫(E + v × B) e𝔫 = ρ

kie ρ estas la denseco de šarǧoj kaj 𝔫 la denseco de partikloj. La denseca kuranto estas la sumo de la derivo de la šaǧoj pro elektrik kampo kaj |Hall-a Efekto| Kiu priskribas la potencialo ǧenerita por kontraŭiri al la movo de šarǧoj pro la Lorentza forco.

1.2 Maxwell-aj Ekvacioj

La elektrik kampo ne estas solenoidala se čeestas šarǧojn ene la Gauss-a surfaco čar la kampo elmetita de tiu šarǧoj elfluas sole.

∇ · E = \frac{ρ}{ϵ_{0}}  ∫_{S} E · n dS = \frac{Q}{ϵ_{0}}  (1.1)

De la Faraday-Neumann leǧo sur la indukado, la variacio de la magnetika flukso naskas potencialon.

∇ × E = −∂_{t}B  v = ∮_{γ} Edl = −∂_{t}Φ_{B} = −∂_{t} ∫_{S} BdS  (1.2)

La magnetika kampo estas čiam solenoidala, prefere ne eksistas monopoloj magnetikaj.

∇ · B = 0  ∫_{S} B · n dS = 0  (1.3)

La magnetika kampo estas generita pro la kurantoj kunkatenigitaj (Leǧo de Biot-Savart) kaj por la mova kuranto.

∇ × B = μ_{0}j + μ_{0}ϵ_{0}∂_{t}E  ∮_{γ} Bdl = μ_{0}i + μ_{0}ϵ_{0}∂_{t}Φ_{E}  (1.4)

Potencialoj

Eksistas potencialon de kiu oni povas deduki la kampojn E kaj B. Oni povas defini du diversaj potencialojn per la du diversaj kampoj sed kiel oni povas didi en la malvasta relativeco sekcio oni povas uzi unu solan kvar potencialon.

Helmoltz-a \underline{Th:}

Si oni konas la diverǧenco kaj la rotoro de iu kampo kaj tiuj estas limitaj de 1/r^{2} ((∇F)r^{2} → 0, (∇ × F)r^{2} → 0) al la senfino oni povas skribi la kampon kiel

F (r) = −\frac{1}{4π} ∇ ∫ \frac{∇F (r′)}{|r − r′|}dr′ − \frac{1}{4π} ∇ × ∫ \frac{∇ × F (r′)}{|r − r′|}dr′

⊗

Oni konas pluen ekvalencon kun la Poisson-a ekvacio

∇^{2}𝒱 = −\frac{ρ}{ϵ_{0}} ⇒ V (r) = \frac{1}{4πϵ_{0}} ∫ \frac{ρ(r)}{|r − r′|}

Do la nerotacionalaj kampoj ∇ × E = 0 estas čiam skribeblaj kiel gradianto de potencialo.

∇ × E = 0 ⇒ E = −∇𝒱

Maxwell-aj Ekvacioj  Elektromagnetismo

dume, čiam per la Helmoltz-a teoremo oni povas skribi la solenoidalan kampon kiel

∇B = 0 ⇒ B = ∇ × A

∇ × B = μ_{0}J Oni havas ankaŭ ekvalenta Poisson-a ekvacio

(∇×)^{2}A = ∇^{2}A − ∇(∇A) = −μ_{0}J − 0 ⇒ A(r) = \frac{μ_{0}}{4π} ∫ \frac{J(r)}{|r − r′|}dr′

En la nestaciona kazo oni devas konsideri ankaŭ la temp variacio de la potencialo kiel priskribita el la Maxwell-a ekvacioj

E = −∇𝒱 − ∂_{t}A B = ∇ × A

La relacio ∇ · ∇× = 0 montras ke la difino de la vektora potencialo A ne estas univoka sed oni povas elekti gauge-an kampon Λ kiu plitenas tiun kondicon, prefere estas nevariantaj per la Maxwell-aj ekvacioj.

A = A′ + ∇Λ ⇒ ∇ × A = ∇ × A′ = B

Se

A ↦ A + α 𝒱 ↦ 𝒱 + β

oni devas demandi ke por la magnetika kampo ∇ × α =^{!} 0 ⇒ α = ∇Λ dume per la elektrika ∇β + ∂_{t}α =^{!} 0 ⇒ ∇(β + ∂_{t}Λ) = 0.

Ekzistas diversaj gauge-aj kampoj kiel pro ekzemplo la |Lorentz-a gauge| kiu estas definita per □ := ∇^{2} − \frac{1}{c^{2}} ∂_{t}^{2}

∇A = −μ_{0}ϵ_{0}∂_{t}𝒱  □A = μ_{0}J  □𝒱 = −\frac{ρ}{ϵ_{0}}

En la |Coulomb-a gauge|

∇ · A = 0 ∇^{2}𝒱 = −\frac{ρ}{ϵ_{0}}

Povo kaj Energio

La energia denseco de la elektr magnetik ondoj estas donitaj por

u = u_{m} + u_{e} = \frac{1}{2}B · H + \frac{1}{2}ED

Oni povas ankaŭ difini la |Pointyng-a Vektoro| kiel vakue

Y := \frac{E × B}{μ_{0}} |Y | = cϵ_{0}E^{2} = cu = \frac{c}{μ_{0}} B^{2}

kiu estas kunigita kun la energia denseco u kaj kun la inteso, la presiono kaj la potenco per

I = ⟨s⟩  𝒫 = \frac{F}{S} = 2\frac{⟨Y ⟩}{c} = 2⟨u⟩ = 2\frac{I}{c}  ⟨d𝒲⟩ = r^{2}dΩ⟨Y ⟩r̂

Oni povas nun enkonduki la |Poynting-a Teoremo| laŭ kiu oni povas eksprimi la potenco de la elektromagnetik kampo per

𝒲 = ∫_{V} EJd^{3}x = −d_{t}𝒰 − ∮ Y dS

En la materio  Elektromagnetismo

1.3 En la materio

La elektronoj kiuj moviǧas čirkaŭe la nukleo havas sian propran |Dipola Magnetik Momanto| kiu enkondukas la magnetikaǰo de la materialo de 𝔫 denseco de elektronoj

m := iS M := 𝔫m =^{aŭ} ∫ m(r)d^{3}x

La vektora potencialo estas do

A(r) = \frac{μ_{0}}{4π} \frac{m × r}{r^{2}} = \frac{μ_{0}}{4π} ∫ \frac{M × x}{r^{2}}d^{3}x = \frac{μ_{0}}{4π} ∫ M(x) × ∇\frac{1}{r}d^{3}x

∫ ∇vd^{3}x = ∮ vdS oni volas uzi la teoremo de la diverǧenco

A(r) = \frac{μ_{0}}{aπ} ∫ \frac{1}{r}∇′ × M(x′) − ∇′ × \frac{M(x)}{r}d^{3}x

kiu montras du diversaj kurantoj, la unua de surfaco J_{B} kaj la dua lineara J_{lin}. Oni povas pluen vidi

∇ × B = μ_{0}J B = μ_{0}(H + M) ∇ × H = J_{lib} ∇ × M = J_{B} M × n̂ = J_{lin}

La induka kampo estas tre utila čar oni povas trovi la alian kampoj sciante sole la kurantojn kunkatenitajn. Fakte

∮ Hdl = ni H_{1}l + H_{2}l = i_{kunk}

kie (1) kaj (2) estas du diversaj medioj. Inter du medio oni devas pluteni la [kontorn] kondicoj

H_{1}^{//} − H_{2}^{//} = J_{lin}n̂  \frac{B_{1}^{//}}{μ_{1}} − \frac{B_{2}^{//}}{μ_{2}} = J_{lin}n̂  B_{1}^{⊥} − B_{2}^{⊥} = 0

Oni volas konsideri nun la efekto de la elektrika kampo sur la dielektrikaj materialoj čar la konduktoroj havas liberaj šarǧoj kaj ne gajnas |Polarizaǧo|n P. Si oni havas eksterna elektika kampo la molekuloj de la materialo se havas momanto dipola povas orintiǧi laŭe la kampo, se ne la dipola momanto p kreiǧas

p := qx = αE P := 𝔫p = ∫ ρ(x)p(x)d^{3}x

La polarizaǧo estas ankaŭ la surfaca denseco de la šarǧoj en la materialo P · n̂ = σ_{E}. Eksistas alia grava kampo kiu nomiǧas induktado D kaj estas tia relacio inter tiuj kampoj

D = ϵ_{0}E + P ∇E = \frac{ρ}{ϵ_{0}} ∇D = ρ_{lib} ∇P = −ρ_{lig}

kie lib čeestas per liberaj dume lig per ligitaj. Oni povas ankaŭ trovi la kuranton del la ligitaj šarǧoj kalkulinte la divergencon de la polarizaǧo.

∇P = J_{lig} ∇D = J_{lib}

La [kontorn] kondicoj estas

E_{1}^{//} = E_{2}^{//} D_{1} − D_{2} = σ_{lib} ϵ_{1}E_{1} − ϵ_{2}E_{2} = σ_{lib}

Ekzistas aliajn relaciojn inter tiuj kampoj difinitaj per la grandecoj |Dielektrika Kostanto| rilativa ϵ_{r} kaj [Suscettività] Ξ kiuj ǧenere ne estas ne kostantoj ϵ_{r} = ϵ_{r}(r, ω) ne skalaraj Ξ = Ξ^{<>}

D = ϵ_{0}E + P = ϵ_{0}(1 + ϵ_{r})E ϵ_{r} := 1 + Ξ

Forcoj kaj Derivoj  Elektromagnetismo

1.4 Forcoj kaj Derivoj

mv̇ = q(E + v × B + F /q)

Si oni ponas

v = v′ + v_{dE} + v_{dF}  v_{dE} = \frac{E_{⊥} × B}{B^{2}}  v_{dF} = \frac{F_{⊥} × B}{qB^{2}}

do

mv̇ = mv̇′+ mv̇_{dF}^{=0} + mv̇_{dE}^{=0} mv̇′ = qv′ × B

kiu priskribas la cirklan movadon čirkaŭe la magnetik kampo traslata per la direkciono de la ekstera forco de la elektrika kampo. La signo de la šarǧo šanǧas la verson de la rotado kaj la direkcion de la derivo por la kostanta forco. La orbitoj estas diferentaj čar la Larmor-a radio estas minusa por la ionoj ol elektronoj. La sama efekto estas ǧenerita pro la divergaǰo de B kiu estas ortogonala al B kaj

agas kiel kostanta forco.

1.5 Sarǧa Partiklaro

𝔫 =^{n} 10^{20}[m^{−3}] 𝒯 =^{n} 20[KeV] τ_{ℰ} =^{n} 1[s]. Ario densecas 2.7 · 10^{25}[m^{−3}]. Se la gaso estas plene ionizita tiu numero duoblas 𝔫_{e} = 𝔫_{i}, elektronoj kaj ionoj.

1.6 Inonizaǰo

Pro ionizigi gazon oni devas aldoni energion al atomoj pligranda de la nivelaj energioj de la elektronoj. Oni povas doni tiun energion a) per fotonoj kiu elmetas la elektronoj se hν ≥ ℰ_{ligo} aŭ se b) aliaj partikloj (e^{−}, ionoj) havas kinetika energio pli granda ol liga energio 1/2mv^{2} ≥ ℰ_{ligo} kiu sekvas sia propra rapideca distribuo al la donita temperaturo 𝒯. La temperaturo kreskas por la Joule-a efekto ǧenerita pro la kuranto de movaj šarǧoj. Oni havas elmito akaŭ pro c) kampa efekto prefere por la pasaǧo de la ligo bariero per tunela efekto. En ia urto oni devas konsideri ke oni povas gajni internan energion de partiklo kiu pasas en alian energian staton. Do la energio de la proceso donas aŭ prenas pli energion. 1/2m_{1}v_{1}^{2} = 1/2mv′_{1}^{2} + 1/2m_{2}v_{2}^{2} + Δ𝒰. La partiklo povas doni čian sian energion al la alia partiklo pliteni ǧin en ekcita stato perdiginte sia rapideco.

dN = σ𝔫Ndx N = N_{0}e^{−𝔫σx}

estas la variacio de la numero de la partikloj interacie. Oni do difinas la

λ := \frac{1}{𝔫σ}

Inonizaǰo  Elektromagnetismo

la |Pado libera media|, la mez distanco inter du urtoj kaj σ la kostanto de proporcionaleco inter la inicialaj kaj finalaj partikloj. Ǧenere σ depenas de la temperaturo 𝒯.

Oni povas difini distancon pro kiu la elektrono ne reiras al la atomo kiu estas la diferanco inter sia kinetika kaj potenciala energio.

ℰ = −\frac{e^{2}}{4πϵ_{0}r} + k𝒯

Se la energio estas nea la elektrono estas ligita, la kontraŭo kontraŭe. Oni povas difini la distancon kritikan inter či tiu du kondicoj.

d_{0} := \frac{e^{2}}{4πϵ_{0}r} \frac{2}{3k𝒯} =^{n} \frac{1.1 · 10^{−5}[m]}{𝒯[K]}

La partikloj estas distribuita en mez radio a_{0} ≃ 1/\sqrt{𝔫} =^{n} 300[nm] do 𝔫 iniciala partikloj

uze: 𝔫_{i} = 𝔫_{e} povas rekombini laŭe d𝔫 = −rek𝔫_{i}𝔫_{e}dt kie rek depenas de (d_{0}(𝒯), a_{o}(𝔫)), d𝔫/𝔫^{2} = −rekdt 𝔫(t) = 𝔫_{0}/(1 + 𝔫_{0} · rek · t).

1.6.1 Difusio

Oni volas konsideri du diversaj aroj de partikloj A kaj B. La mez valoro de la terma rapideco kaj aliaj parametroj estas

⟨v_{B}⟩ = ⟨v_{A}⟩ = \sqrt{\frac{8k𝒯_{A}}{mπ}}  λ_{A} = \frac{1}{σ_{AB}𝔫_{B}}  t_{kolizo} = \frac{λ_{A}}{v}

1/6 de la partikloj moviǧas versen la ê_{x} akso. Oni konsideras stacionarian leǧon por la difusio tipe

𝔫_{A}(x) = 𝔫_{0} + ∂_{x}𝔫x

Do la numero de partikloj kiuj difusigas tra la jesa akso inter media pado estas Δ𝔫_{ê_{x}+} = 1/6 ∫_{−λ}^{0} 𝔫_{A}(x)dx = 1/6 ∫_{−λ}^{0} 𝔫_{0} + ∂_{x}𝔫 · xdx

Δ𝔫ê_{x} = Δ𝔫_{ê_{x}+} − Δ𝔫_{ê_{x}−} = −\frac{1}{6}∂_{x}𝔫λ^{2}

La flukso denseco estas priskribita per la numero de partikloj sur la eneca tempo kaj surfaco Φ = Δ𝔫/t.

[figure: 𝔫; 𝔫_{0}; 𝔫_{0} + ∂x𝔫λ; Δ𝔫_{+}; Δ𝔫_{−}; êx; −λ; λ]

Φ(0) = −\frac{1}{6}λv∂_{x}𝔫 = −D∂_{𝔫} D = \frac{1}{6}λv ğenere Φ∇(D𝔫)

Kalkuloj pli kurigitaj montras D = 1/3 · λv por obteni la |Flick-a Relacio| Φ = −D∇𝔫. Dum la tempo kreskas la flukso šanǧas ∂_{t}𝔫(x)dx = Φ(x) − Φ(x + dx)

∂_{t}𝔫(x)dx = −Dd_{x}𝔫|_{x} − ( − D∂_{x}𝔫|_{x+dx})

disvolvigante ∂_{x}𝔫|_{x+dx} = ∂_{x}𝔫|_{x} + ∂_{x}(∂_{x}𝔫|_{x})dx … = ∂_{x}𝔫|_{n} + ∂_{x}^{2}𝔫|_{x}dx . . ..

∂_{t}𝔫(x)dx = −D(∂_{x}𝔫|_{x} − (∂_{x}𝔫|_{x} + ∂_{x}^{2}𝔫|_{x}dx)) = D∂_{x}^{2}𝔫|_{x}dx

∂_{t}𝔫(x) = D∂_{x}^{2}𝔫|_{x} aŭ en tri dimensioj ∂_{t}𝔫 = D∇^{2}𝔫

∂_{t}𝔫 = D∇^{2}𝔫 = −∇Φ

Lastro Unudimensionala

Oni povas vidi ke la du membroj estas dipenantaj de diversaj variabloj, prefere estas unu kostanta en la tempo la alia en la spaco. La solvado estos la faktoriǧo de la termo temp dipenda kaj tia spaca.

∂_{t}𝔫 = D∇^{2}𝔫  𝔫(a, t) = 𝔫_{t}(t) · 𝔫_{x}(x)  \frac{d_{t}𝔫_{t}(t)}{𝔫_{t}(t)} = D \frac{∇^{2}𝔫_{x}x}{𝔫_{x}(x)}

se oni ponas D∇^{2}𝔫_{x}/𝔫_{x}|_{t_{0}} = −ω kaj k = \sqrt{1/Dτ} oni obtenas la ekvacio de viskosa [smorcado] kaj de la armonika oskilatoro

𝔫(x, t) = 𝔫_{x}(x) · 𝔫_{t}(t) = t_{0}e^{−ωt}(𝔫_{0} cos(kx) + 𝔫′_{0} sin(kx))

Tia funkcio ne povas esti nea do en la intervalo [−L = −π/2k, L = π/2k] čeestas sole la cos termo.

𝔫(x, t) = 𝔫_{0}e^{−ωt} cos (\frac{πx}{2L})

1.6.2 Mat: Divergaǰo en cilindraj koordinatoj

\underline{Mat}

La divergaǰo ∇ = ∂_{x} + ∂_{y} + ∂_{z} fariǧas

∇E = \frac{1}{r}∂_{r}(r · E_{r}) + \frac{1}{r}∂_{ϕ}E_{ϕ} + ∂_{z}E_{z}

dume la gradianto

∇𝒰 = ∂_{r}𝒰ê_{r} + \frac{1}{r}∂_{ϕ}𝒰ê_{θ} + ∂_{z}𝒰ê_{z}

la rotoro

∇ × E = (\frac{1}{r}∂_{ϕ}E_{z} − ∂_{z}E_{ϕ})r̂ + (∂_{z}E_{r} − ∂_{r}E_{z})ϕ̂ + \frac{1}{r}(∂_{r}(rE_{ϕ}) − ∂_{ϕ}E_{r})ẑ

do la Laplace-a

∇^{2}𝒰 = \frac{1}{r}∂_{r}(r∂_{r}𝒰) + \frac{1}{r}∂_{ϕ}(\frac{1}{r}∂_{ϕ}𝒰) + ∂_{z}(∂_{z}𝒰) = \frac{1}{r}∂_{r}(r∂_{r}𝒰) + \frac{1}{r^{2}} ∂_{ϕ}^{2}𝒰 + ∂_{z}^{2}𝒰

√

1.6.3 Mat: Sferikaj

\underline{Mat}

En la sferikaj koordinatoj

∇ = r̂∂_{r} + θ̂\frac{1}{r}∂_{θ} + ϕ̂\frac{1}{r sin θ} ∂_{ϕ}

∇· = r̂\frac{1}{r^{2}} ∂_{r}r^{2} + θ̂\frac{1}{r sin θ} ∂_{θ} sin θ + ϕ̂\frac{1}{r sin θ} ∂_{ϕ}

\frac{1}{r^{2}} ∂_{r}(r^{2}∂_{r}) + \frac{1}{r^{2} sin θ} ∂_{θ}(θ∂_{θ}) + \frac{1}{r^{2} sin^{2} θ} ∂_{ϕ}^{2}

La solvado de la ekvacio radia en sferikaj koordinatoj

∂_{ρ}^{2}ψ(ρ) + \frac{1}{ρ}d_{ρ}ψ(ρ) + (k^{2} + \frac{ν^{2}}{ρ^{2}} )ψ(ρ) = 0

estas prezentitaj de la |Bessel-a Ekvacioj|

J_{±ν}(x) = (\frac{x}{2})^{±ν} ∑_{j=0}^{∞} \frac{(−1)^{j}}{j!Γ(j + ν + 1)}(\frac{x}{2})^{2j}

√

Elmito  Elektromagnetismo

1.7 Elmito

Oni volas priskribi la potencialon en la kaso de sola mova šarǧo aŭ de multipola elmito

Mova Šarǧo

Si oni havas la potencialoj en la gauge

□𝒱 = −\frac{ρ}{ϵ_{0}} □A = −μ_{0}J

kaj oni volas solvi tiun diferencialan ekvacion laŭe la spaca variablo. Oni konsideras iu funkcio f(r, t) kaj kiel oni povas vidi en la sekvanta čapitro ia funkcio estas

δ(t − t′) = \frac{1}{2π} ∫ dωe^{ıω(t−t′)} prezentigebla kiel sumo de siaj armonikaj komponantoj en la Fourier-a bazo.

□f(r, t) = −s(r, t) ˆ→ (∇^{2} + k^{2})f̂(r, ω) = −ŝ(r, ω)

Oni povas vidi ke exp(±ıkr)/r estas solvado de la diferenziala ekvacio kiu estinte de dua grado havos kiel solvado la sumo de du esponenciala termoj

(∇_{r}^{2} + k^{2})g(r) = 0 (∇_{r}^{2} + k^{2})\frac{e^{ıkr}}{r} = −4πδ(r) ⇒ g(r) = C_{1} \frac{e^{ıkr}}{r} + c_{2} \frac{e^{−ıkr}}{r}

oni povas nun la neomoǧena solvinte

f̂(r, ω) = ∫ d^{3}r \frac{C_{1}e^{ıkr} + C_{2}e^{−ıkr}}{4πr} ⇒
⇒ f(r, t) = ∫ dω \frac{e^{−ıωt}}{2π} ∫ d^{3}r′ \frac{C_{1}e^{ıkr} + C_{2}e^{−ıkr}}{4πr} ∫ dt′e^{ıωt′}s(r, t′)

t_{a} := t − \frac{r}{c} t_{a} := t + \frac{r}{c} Reskribinte kr = ωr/c oni povas do trovi por la ecoj de la Dirac-a δ

f(r, t) = ∫ d^{3}r′ \frac{C_{1}s(r′, t_{r}) + C_{2}s(r′, t_{a})}{4πr}

oni havas tempon r[itardato]n kaj a[vanzato] kiu ne estas fizika. C_{1} povas sole esti egala al 1 do nia solvado estas finfine

f(r, t) = ∫ d^{3}r′ \frac{s(r′, t_{r})}{4πr}

Se oni uzas la armonika proksimaǰo oni skribos la fluktuado de la denseco de la

R := |r − r′| šarǧoj kiel

ρ(r′, t_{r}) = ρ(r′)e^{ıkR}e^{−ıωt} J(r′, t_{r}) = J(r′)e^{−ıωt}e^{ıkR}

de kiuj

E(r, t) = B(r) = \frac{μ_{0}}{4π} ık \frac{e^{ıkr}}{r} r̂ × ∫ J(r′)e^{ıkr′}d^{3}r′

Dupola Proksimaǰo

1.8 Magnet Idr Dinamiko

La Magnet idr dinamiko kombinas la ekvaciojn de la fluantojn aŭ gasojn (kiel la kontinueco de la materio aŭ la leǧo de la ideala gasoj) kun tiujn de la elektromagnetikaj kampoj (Maxwell-aj). Ǧenere oni trovas ekvacioj de la formo

∇E = \frac{ρ}{ϵ_{0}}  ∇ · B = 0  ∇ × E = −∂_{t}B  ∇ × B = μ_{0}(J + ϵ_{0}∂_{t}E)
∂_{t}ρ_{m} = −∇(ρ_{m}v)  ρ_{m}d_{t}v = −∇𝒫 + J × B + ρE

tiu sistemo havas 12 ekvacioj kaj 14 nekonatoj do ne estas malferma. Tiu signifas ke oni devas poni eksterne aliaj kondicoj kiuj povas solvi la sistemon

Magnet Idr Dinamiko  Elektromagnetismo

Ondaj Magneto Idr Dinamikaj

Oni volas kombini la leǧo de Faraday, Ampere kaj Ohm pro priskribi la movo de la šarǧo en konduktora fluado

J = σ(E + v × B) ∂_{t}B =^{∂_{t}E=^{?}0} ∇ × (v × B) + \frac{1}{μσ} ∇^{2}B

kaj kun la konservo de la maso kaj de la momanto

∂_{t}ρ + ∇(ρv) = 0 ρ∂_{t}v + ρ(v∇)v = −d_{𝒫} − \frac{1}{μ}B × (∇ × B)

A× (B× C) = B(AC) − C(AB)
(A× B) × C = B(AB) − A(BC)

Ondoj

2.1 Ǧeneralecoj

La |Ondo| estas la solvado de la eliksa diferenciala ekvacio □ψ(x, t) = 0 kie □ estas la |D’Alambert □| ke oni povas konstrui sekvinte la priskribo de la ondo sur kordo. La tensio al la du kapoj de la kordo estas egala, se oni volas koni la vertikalan komponanton ẑ ene intervalo z, z + Δz oni scias ke la diferenco inter la forcoj estas

ΔF = T sin θ − T sin θ′ ≃ T (∂_{z}ψ|_{z+Δz} − ∂_{z}|_{z}) ≃ T ∂_{z}^{2}ψΔz F =^{?} mψ̈

m = μΔz de tiu oni povas solvi separe la ekvacio laŭe la tempo kaj laŭe la spaco.

∂_{t}^{2}ψ = \frac{T Δz}{m} ∂_{x}^{2}ψ □ψ = (∂_{t}^{2} − \frac{1}{v^{2}} ∂_{x}^{2})ψ = 0

μ estas la denseco lienara de la kordo kaj v la rapideco de la propagado. Anakŭ la presiona kaj la elektromagnetika ondo havas la saman [comportamento] dume la Schrödinger-a ond ekvacio solvas la parabolan diferencialan ekvacion. La ond ekvacio □ψ = 0 estas solvita de čiuj ondoj de la formo ψ(x, t) = ψ(kx ± ωt) kie ω estas la |Pulsado| kaj k la |Numero Onda|

ω := \frac{2π}{T} |k| := \frac{2π}{λ}

kie T estas la periodo de la ondo kaj λ la ond longeco. Oni ǧenere dividas la ondojn per siaj frekvencaj komponantoj. Sekvinte la Fourier-a priskribo oni konstruas ia ondo per lineara kombino de sia armonik komponantoj

ψ(x, t) = ∫ Â(k)e^{kx−ωt}d^{3}k

nomante A(x) la amplitudo de la ondo.

2.1.1 Mat: Fourier-a Bazo

\underline{Mat} La |Fourier-a Sistemo| en ℒ^{2}(0, 1) estas komponita da la funkcioj

η_{k}(x) = e^{2πıkx} = cos(2πkx) + ısen(2πkx), k = 0, ±1, ±2, …

Či tiu sistemo estas totalo, nomiǧas bazo trigonometrika pro tiu ia funkcio iǧas priskribita en armonika sistemo. Per tiu bazo oni povas malkomponi ia funkcio ∈ ℒ^{2}(ℝ), aŭ se perioda (ϕ(t + T) = ϕ(t)), ∈ ℒ^{2}(0, T), per la skalara produkto en |Fourier-a Bazo|

η_{k}(x) = T^{− \frac{1}{2}} e^{2πıω_{k}x}ω_{k} = k/t_{0}, k ∈ ℤ

Ǧeneralecoj  Ondoj

ϕ(x) = ∑_{k=−∞}^{∞}(η_{k}, ϕ)η_{k}(x), (η_{k}, ϕ) = ∫_{0}^{T} e^{−2πıω_{k}x}ϕ(x)dx

La |Fourier-a Transformata| de ia funkcio ϕ ∈ ℒ^{2}(𝕋^{n}) estas la vektoro ϕ̂ ∈ ℒ^{2}(𝕋^{n}) difinita per:

ϕ̂(k) = (η_{k}, ϕ) = ∫_{𝕋^{n}} ϕ(x)e^{−2πıkx}dx.

Ecoj

La sekvantaj ecoj valoras nediferencie por la trasformo kaj la funkcio.

- Simetrio koniuga:Se Im[x(t)] = 0 do x̂(ω) = x̂^{∗}(−ω)

- Simetrio para: Se x(t) = x(−t) do x̂(ω) = x̂(−ω)

- Simetrio nepara: Se x(t) = −x(−t) do x̂(ω) = −x̂(−ω)

- Lineareco: ax_{1}(t) + bx_{2}(t) ˆ=ax̂_{1}(ω) + bx̂_{2}(ω)

- Dualeco: x̂(t) ˆ=x(ω)

- Skala šanǧo: x(at) ˆ=\frac{1}{|a|} x̂(ω/a)

- Tempa malfruo: x(t − t_{0}) ˆ=e^{−ıωt}x̂(ω)

- Diferencialo: d_{t}x(t) ˆ=ıωx̂(ω)

- Konvoluo: ∫ x(τ)y(t − τ)dτ ˆ=x̂(ω)ŷ(ω)

- Integracio [−∞, t]: ∫_{−∞}^{t} x(τ)dτ ˆ=\frac{x̂(ω)}{ıω} + \frac{x̂(0)δ(ω)}{2}

- Integracio [−∞, ∞]: ∫_{−∞}^{∞} x(τ)dτ = x̂(0)

- Norma konservo: ∫_{−∞}^{∞} |x(t)|^{2}dt = ∫_{−∞}^{∞} |x̂(ω)|^{2}dω |Parseval-a Teoremo|

- Operacia traslado: ∫_{−∞}^{∞} x(t) ˆŷ(ω)dt = ∫_{−∞}^{∞} { \atop x̂(ω)}y(t)dt

√

2.1.2 Elek: Fourier-a Transformo Uzo

ElektronikMet

La distribuo de la intenso rilate la frekvenco estas esprimita por el kvadrato de la modulo de la Fourier-a trasformata de f(t): |Spektro Potenca| ρ(ν) = |ϕ̂(ν)|^{2}. Per la spektro potenca oni kiras la |Autokorelacio| de la signalo

Corr[ϕ, ϕ](t) = ∫_{ℝ} ϕ(τ + t)ϕ(τ)dτ

aŭ la grado de aŭto simileco de la signalo.

Wiener-Khinchin

\underline{Th:}

Se ϕ ∈ ℒ estas realo, sekvas

{ \atop [Corr[ϕ, ϕ]]}(ν) = |ϕ̂(ν)|^{2}.

⊗

Oscilanta Sistemo  Ondoj

Por la numerika kalkulo oni uzas nur la |Fourier-a Trasformo Diskreta|

ϕ^{k} = \frac{1}{\sqrt{n}} ∑_{j=0}^{n−1} ϕe^{−ı2πjk/n} k = 0, , n − 1.

Oni akiras al |Speciamento| kiu epikas la solaj frekvencoj ν_{j} = \frac{j}{nδ} per j = −\frac{n}{2}, , \frac{n}{2}. La maksima, ν_{c}, nomiǧas |Nyquist-a Frekvenco Kritika| kaj estas inverse proporcia al la intervalo de speciamento. Se la potenca spetro havas maksima frenkvenco ν_{maks} oni eletki ν_{c} ≅ ν_{maks} por havi nenian perdon de informo. |Aliaso| Se estas frekvenco ekster la intervalo [−ν_{c}, ν_{c}] lia komponantoj estas reflektitaj kaj sumitaj al la propraj kun la efekto ke la trasformo en la domajno de la frekvenco havas pli grande intenso por la termoj al la ekstremaǰoj. Estante la Fourier-a trasformo globala eco, oni enkondukas la |Fourier-a Lokata Trasformo| kiu estas la ϕ̂(ν, t) de ia ℒ^{2} ϶ ϕ(x, t) = ψ^{∗}(x−t)ϕ(x) kun ψ ∈ ℒ^{2} difinita per

ϕ̂(ν, t) = ∫_{ℝ} ψ^{∗}(x − t)ϕ(x)e^{−2πıνx}dx.

Estas la “versio loka” de ϕ(x) en la subtenanto de ψ kiu estu kompakta kaj egala al [−τ, 0] intevalo pro kaŭzeca kondico. ψ nomiǧas |Funkcio Lokanta| aŭ Fenestro kiu agas kiel ia noto al la frekvenco ν en iu momento. Inverse:

ϕ(x) = \frac{1}{∥ψ∥^{2}} ∫ ψ_{ν,t}dνdt.

Oni konsideras daŭrige diversaj momentoj aŭ frekvencoj čar ne povas šanǧiǧi la precizeco de informo. Per čiu fenestro oni akiras gǐa

baricentro : t_{0} = ∫_{ℝ} t|ψ(t)|^{2}dt nu_{0} = ∫_{ℝ} ν|ϕ̂(ν)|^{2}dν

normadevio : τ^{2} = ∫_{ℝ}(t − t_{0})^{2}|ψ(t)|^{2}dt ν^{2} = ∫_{ℝ}(ν − ν_{0})^{2}|ψ̂(ν)|^{2}dν

Se ψ(t) = \sqrt[4]{2a}e^{−πat^{2}}, do ψ̂(ν) = \sqrt[4]{2a}e^{−πν^{2}/a} kun t_{0} = ν_{0} = 0 sekvas

τ = \sqrt{1/4πa} ν = \sqrt{a/4π} τν = \frac{1}{4π}

kaj ǧenere oni esprimas la |Nedetermina Principo|

τν ⩾ \frac{1}{4π} .  (2.1)

⊙

2.2 Oscilanta Sistemo

Oni volas montri la solvadon de du-grada diferenciala ekvacio kiu priskribas la solvon de iu sistemo oscilanta. Tiu sistemo estas priskribita per la ekvacio ẍ + γẋ + ω_{0}^{2}x = \frac{f(t)}{m} kie γ, \frac{1}{CL} en la elekrtonika kazo, nomiǧas |Atenua Faktoro|, kaj ω_{0}, difinita kiel

\frac{k}{m} en la mekanika kazo a u \sqrt{\frac{R}{L}}, nomiǧas |Propra Frekvenco|. La solvado de la

omoǧena asociita estas x(t) = c_{1}e^{− \frac{γ}{2} t+\sqrt{( \frac{γ}{2} )^{2}−ω_{0}^{2}}t} + c_{2}e^{− \frac{γ}{2} t−\sqrt{( \frac{γ}{2} )^{2}−ω_{0}^{2}}t}. La solvado kiu

nin interesas, de malgranda atenuo pro \frac{γ}{2} < ω_{0}, havas termon elipsan ω = \sqrt{ω_{0}^{2} − (\frac{γ}{2} )^{2}} kaj iperbolan \frac{γ}{2} , prefere

x = c_{1}e^{\frac{γ}{2} t}e^{iωt} + c_{2}e^{\frac{γ}{2} t}e^{−iωt}  (2.2)

aŭ x = e^{γt} ( \begin{matrix}c_{1}e^{ωit} \\ c_{2}e^{−ωit} \end{matrix} ) per ẋ = ( ẋ ; v̇ ), ẋ = v.

2.2.1 Mat: Solvadoj per Laplace

\underline{Mat}

Pro la rilato

ℒ[ ∫_{0}^{t} f(τ)dτ](s) = \frac{1}{s}[ℒ(f)](s) ⇒ [ℒ(f′)](s) = sℒ(f) − f(0)

sekvas ke, por la du grada sistemo aÿ + bẏ + cy = f(t) oni akiras

a(s^{2}ℒ(y) − sy(0) − y(0)) + b(sℒ(y) + y(0)) + cℒ(y) = ℒf(t)

ℒ(y) = \frac{ay_{0}s + ay_{1} + by_{0}}{as^{2} + bs + c} + \frac{ℒf(t)}{as^{2} + bs + c}

aŭ ℒ[y] = ℒ[h] + ℒ[f]ℒ[g] per ia funkcio h kaj g. y estas do

y = h + f ∗ g.

Pro la ecoj de la trasformo de Laplace oni obtenas h per ℒ(h) = \frac{A}{s−s_{1}} + \frac{B}{s−s_{2}} kie s_{1}, s_{2} estas la nuloj de as^{2} + bs + c = 0 kaj A, B parametroj dekovrintaj. Nia solvo estas sekve:

h(t) = Ae^{s_{1}t} + Be^{s_{2}t}

aŭ ℒ(h) = \frac{M}{s−s_{1}} + \frac{N}{(s−s_{1})^{2}} , h(t) = Me^{s_{1}t} + Nte^{s_{1}t} se la nulo estas duobla. Ni do kondukas la kalkulojn al la faktoriǧo de la denominatoro. Estas tre utila skribi la problemon per sumo de denominatoroj separitaj en ilin faktoriǧoj. Per la resiuduoj oni povas dekomponi la denominatoron. Por ekzemplo si oni havas funkcion kun du poloj oni povas reskribi

F (s) = \frac{1}{(s + 1)(s + 2)^{2}} = \frac{1}{(s + 2)}|_{s=−1} \frac{1}{(s + 1)} + \frac{2}{(2 − 1)!}d_{s}(\frac{1}{s + 1})|_{s=−2} \frac{1}{s + 2} +

+\frac{1}{(2 − 2)!} \frac{d^{0}}{ds} \frac{1}{s + 1}|_{s=−2} \frac{1}{(s + 2)^{2}} = \frac{1}{(s + 1)} − \frac{1}{(s + 2)} − \frac{1}{(s + 2)^{2}}

Si oni volas do kalkuli la Laplace trasformav̌o oni obtenas

f(t) = e^{−t}u(t) − e^{−2t}u(t) − te^{−2t}u(t)

Simile

\frac{1}{s(s^{2} + 1)} = \frac{1}{s} − \frac{1}{2(s + ı)} − \frac{1}{2(s − ı)} →^{ℒ} u(t) − \frac{1}{2}(e^{ıt} + e^{−ıt}) = u(t) − cos t

√

2.2.2 Elek: Gajno Kalkulita per Poloj

ElektronikMet

En Elekrtoniko oni konsideras la funkcion transiran pro ia cirkvito estas A_{v}(ν) = \frac{v_{for}}{v_{en}} = \frac{Z_{Δv_{for}}}{Z_{Δven}}, kie Z_{C} = \frac{1}{sC} estas la kondensatora impedanco kaj Z_{L} = Ls^{2} la

indukta, A_{v}(ν) = \frac{Z_{Δv_{for}}}{Z_{Δven}} = \frac{Z_{1}}{Z_{1}+Z_{2}} = \frac{1}{1+Z_{2}/Z_{1}} = en la kazo de [pasa] basa filtrilo = \frac{1}{1+1/ı2πνRC} = \frac{1}{1−ıν_{suba}/ν} kie ν_{suba} = \frac{1}{2πRC} estas la frekvenco je 3Db suba čar |A_{v}(ν_{suba})| = \frac{1}{\sqrt{1+(ν_{suba}/ν)^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}. Pri sola stadio al la altaj frekvencoj agas nur unu

[figure: Z_{1}; Z_{2}; v_{en}; v_{for}]

polo.

lim_{ν→∞} A(ν) = \frac{A_{0}}{1 + ıν/ν_{polo}} = \frac{A_{0}}{1 + ı\frac{2πν}{2πν_{polo}}} = \frac{A_{0}}{1 + \frac{s}{2πν_{polo}}}

do

A(s) = \frac{A_{0}2πν_{polo}}{s − (−2πν_{polo})} = \frac{A_{0}}{s − s_{p_{0}}}

Onda Formo  Ondoj

kie ν_{polo} = \frac{|s_{p_{0}} |}{2π} nomiǧas |Frekvenco pola|. Aŭ ǧenere por pli stadoj

A(s) = k \frac{(s − s_{n_{1}}) … (s − s_{n_{i}})}{(s − s_{p_{1}}) … (s − s_{p_{j}})}

kun s_{n_{·}} nuloj de la funkcio kaj s_{p_{·}} poloj. Se ν_{p_{i}} > 4ν_{p_{j}} pro iu i, j ν_{p_{i}} nomiǧas |Polo

⊙ Dominanta|. Ni reskribas la (??) trigonometre kun frekvenca kaj faza termo.

x = Ae^{−(γ/2)t} cos(ωt + ϕ) =^{aŭ} ℜ(Ae^{ıϕ}e^{ıωt}e^{− \frac{γ}{2} t}).

Por kalkuli la mezuma energio, sciante ke la energio sin disipa termo γ estas konserva, oni obtenas

ℰ = \frac{1}{2}mẋ^{2} + \frac{1}{2}mω_{0}^{2}x^{2} = \frac{1}{2}mω_{0}^{2}A^{2}(sen^{2}(ω_{0}t + ϕ) + cos^{2}(ω_{0}t + ϕ)) = \frac{1}{2}mω_{0}^{2}A^{2}

ne dependa de t. Se la disipa termo estas γ << ω_{0} valoras malmulto en la periodo do ⟨U(t)⟩ = \frac{1}{2}mω_{0}^{2}A^{2}e^{−γt}. γ estas la frakcio de energio staplita kiu perdiǧas en la tepunuo −d_{t}⟨U⟩\frac{1}{⟨U⟩} = γ kaj τ = \frac{1}{γ} estas |Tempo Defala| de la oscilatoro, tempo en kiu la energio malkreskas de τ faktoro.

Resonanco

La resonanco montriǧas kiam eksterna periodika forco F = F (ω) agas sur armonika sistemon

ẍ = −γẋ − ω_{0}^{2}x + F cos(ωt)

kie γ estas la atenua faktoro kaj ω_{0} la propra frekvenco de la sistemo.

Resonanca Kesto▷ Ia (Resonanca Kesto) aŭ sonkesto valoras pro tiu longeco nature pluroba de la ondofrekvenco laŭ la rilato d = (2ℕ + 1)\frac{λ}{4} tial ia ondo necesas de nodo, kiu estas la fundo de la kesto, kaj ia kavito tam longe konteni kresto aŭ gorǧo ke previgas la termo \frac{1}{4}.

2.3 Onda Formo

Normaj Modoj

Oni uzas la scion pri la solvado de diferencialaj ekvacioj por priskribi kompleksaj sistemoj. Se oni havas du oscilatoroj parigitaj oni povas priskribi la sistemo se libera kaj ne estingita) per

( ẍ_{1} ; ẍ_{2} ) = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) = Ax

kun a_{21}, a_{12} parigaj termoj, kiu provizi solvadojn trigonometrajn

2.4 Ondaj Parametroj

Nun oni priskribas la parametrojn kiuj difinas la ecojn kaj la formon de la ondoj

Osciloj:

Oni konsideras omoǧena šnuro ligata je la ekstremoj, ni priskribas la funkcion ψ(z, t), lokmovo del la šnuro transverse čar ǧia laŭlonga kompono nulas. La koordinato w priskribas la ago de (x, y) la du komponantoj de la polarizo.

Ondaj Ecoj de la Lumo  Ondoj

Figura 2.1: Batado

Disuzaj:

|Ondo Disusa| kiam la rilato inter onda nombro k kaj pulsado ω estas ne proporcia. Ia Ondo formata de du komponantoj de sama fazo kaj sama amplitudo kies formo estas ψ(z, t) = A cos(ω_{1}t − k_{1}z) + A cos(ω_{2}t − k_{2}z) aŭ ω_{0} = \frac{ω_{2}+ω_{1}}{2} , ω = \frac{ω_{2}−ω_{1}}{2} , k_{0} = \frac{k_{2}+k_{1}}{2} , k = \frac{k_{2}−k_{1}}{2} do ψ(z, t) = 2Acos(ωt−xz)cos(ω_{0}t−k_{0}z). Tiu ondo estas preskaŭ armonika en la termo de la dua faktoro ω_{0} kiu estas la pli granda kaj nomiǧas portanto, propagas kun |Rapideco Faza| v − f = ω_{0}/k_{0}, rapideco de la malgrandaj krestoj kiuj aperas al la komenco de la paketo kaj malaperas fine. La |Rapideco Grupa| estas la rapideco de la pli granda amplitudo tiu ke d(ωt − kz) = 0 kaj sekvas

v_{g} = d_{t}z = \frac{ω}{k} = \frac{ω_{2} − ω_{1}}{k_{2} − k_{1}} aŭ ĝenere v_{g} = d_{k}ω.

(akvo disiganta) en la akvo la disiga relacio estas ω^{2} = kg tanh(kh) kie h estas la ◁akvo disiganta profundeco. Pro profunda akvo la proksimuma rilato ω^{2} = kg montras ke la faza

rapideco v_{f} = \frac{ω}{k} = \sqrt{\frac{gλ}{2π}} rilatas kun la grupa rapideco per v_{g} = d_{k}ω = \frac{1}{2}v_{t} tial la akvo estas tre disiga medio. Finfine oni difinas la faza rapideco kiel la rapideco de iu frekvenco v_{f} = \frac{ω}{k} = λν kaj la grupa rapideco per v_{g} = d_{k}ω. Oni difinas |Indico Rifrakta| la rejšo inter la rapideco en la vakuo kaj medie ν(ω) = \frac{c}{v_{f} (ω)}. Sekvas:

Leǧo de Snell-Descartes: La surfac tanǧa komponanto koserviǧas en la transiro inter du medioj n_{1} sin θ_{1} = n_{2} sin θ_{2}

Indico rifrakta dependas far la ondfrekvenco do travidebla medio disigas la lumon en ǧiaj komponantoj.

Ondo inter du medioj reflektiǧas kaj rifraktiǧas

Reflekto kaj Refrakto

Iu ondo incidanta sur ia medio, priskribita per E_{i}(r, t) = E_{0i}e^{ı(ω_{i}t−k_{i}·r)}, trasformiǧas en du komponantoj, rifrakta (aŭ transira) kaj refleksa kiuj havas la saman ekvacion.

E_{0i}^{∥}e^{ı(ω_{i}t−k_{i}·r_{i})} + E_{0r}^{∥}e^{ı(ω_{r}t−k_{i}·r_{i})} = E_{0t}^{∥}e^{ı(ω_{t}t−k_{i}·r_{i})}

La projekcio sur la surfaco samu čie kaj čiam do: per r = 0 čiuj pulsacioj samu, per t = 0 ia kompono nuliǧas (ekz : k_{rx}x + k_{tx}x = 0) kaj alia samiǧas (ekz : k_{ty} = k_{ry} = k_{iy}). |k_{i}| sin(θ_{i}) = |k_{t}| sin(θ_{t}) = |k_{r}| sin(θ_{r}), |k_{i}| = \frac{n_{1}}{c} ω, |k_{t}| = \frac{n_{2}}{c} ω. k^{2} = k_{⊥}^{2} + k_{∥}^{2}, k_{t⊥}^{2} =

\frac{ω^{2}}{c^{2}} (n_{2}^{2} − n_{1}^{2} sin^{2} θ_{i}) ke per totala reflekso (θ_{i} > arcsin \frac{n_{2}}{n_{1}} |n_{2} > n_{1}) estas imaǧa do: E = E_{0}e^{ı(ωt−k_{ty}r_{y}−ık_{tz}r_{z})} = E_{0}e^{−|k_{tz}|r_{z}}e^{ı(ωt−k_{ty}r_{y})} tio estas la amplidudo malaperas kun eksponenciala leǧo tial ke se ni metas alia medio de pli granda indico oni reprenas ia amplitudo.

2.5 Ondaj Ecoj de la Lumo

Interfero

Oni volas konsideri la amplitudo de lumo, kiu pasas inter du fendoj, sur l’ekrano E.

Ǧia formo estas sur la punkto P, E(P) = \frac{A_{1}}{r_{1}} cos(ωt−kr_{1} +ϕ_{1})+ \frac{A_{2}}{r_{2}} cos(ωt−kr_{2} +ϕ_{2})

tiu ke E^{2}(P) = (\frac{A_{1}^{2}}{r_{1}^{2}} + \frac{A_{2}^{2}}{r_{2}^{2}} + 2\frac{A_{1}}{r_{1}} \frac{A_{2}}{r_{2}} cos(ϕ_{2} − ϕ_{1} − k(r_{2} − r_{1}))) cos^{2}(ωt + α) dume

⟨E^{2}(P)⟩ = \frac{A_{1}^{2}}{r_{1}^{2}} + \frac{A_{2}^{2}}{r_{2}^{2}} + 2\frac{A_{1}}{r_{1}} \frac{A_{2}}{r_{2}} cos(ϕ_{2} − ϕ_{1} − k(r_{2} − r_{1})) prefere: [figure: θ; d; E; .; .; .; .; .; .; O; P; x; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .]

I = I_{1} + I_{2} + 2\sqrt{I_{1}I_{2}} cos(ϕ_{2} − ϕ_{1} − k(r_{2} − r_{1})).

Se la faza termo konstantas (ekz: se la fonto estas la sama per ambaŭ la lumoj) la

Figura 2.2: Paketo

termo (r_{2} − r_{1}) determinas la maksimumojn kaj minimumojn de la amplitudo. Simple (ϕ_{2} − ϕ_{1}) = 0 do I_{maks} = {I(r_{2}, r_{1})|r_{2} − r_{1} = 2ℤπ} kaj I_{min} = {I(r_{2}, r_{1})|r_{2} − r_{1} = (2ℤ + 1)π}. Pli simple se la ekrano longas (kiel se oni interponas lenson) oni povas konfuzi la sinuso kun la tanǧanto. La antaŭa rilato iǧas \frac{x}{l}d = 2n\frac{λ}{2} aŭ n = \frac{x}{lλ}. Čeestas kondičoj en kiu, pli simple, oni vidas interferajn fenomenojn tiu estas kiam la lumo renkontas ian medion kun indico pli granda čar refraktiǧas kaj refleksiǧas. La koeficiento de reflekso estas ǧenere malgranda (ekz: 0.04 aere) kaj estas ǧenere du aŭ tri la termoj kiuj interferiǧas. La vojo de la dua radio rilate la unuan estas pli granda

[figure: .; .; .; .; .; .; (2); (1); i; r; d; A; B; C]

de \overline{ABC} = 2d tan(r) sin(i) kaj la faza malfruo \overline{ABC} − \overline{AC} = 2d tan(r)n_{2}/n_{1} sin(r) − nd/ cos(r). Do se tia vojo estas λ/2(2ℕ) oni obtenas nove la detruan interferencon kaj se λ/2(2ℕ + 1) la deviga (čar en la pasaǧo inter medio de grand rifracia indico kaj malgranda la redio faziǧas de π, Δ = 2dkn_{2}/n_{1} cos(r) + π). Oni vidas ke la relacio dependas de λ kaj i čar r = i arcsin(n_{1}/n_{2}). Tial:

2d\frac{n_{2}}{n_{1}} cos(r) = ( \begin{matrix}(ℕ + 1/2)λ \\ (ℕ)λ \end{matrix} ) \begin{matrix}maks \\ min \end{matrix}  (2.3)

Paketo

La interferenco estas uzata ankaŭ por mezuri la frekvencon kaj la koheran tempon. Čiu ondo, nature, estas produkta en finita tempo (ekz: pro la transiro inter du atomaj niveloj) kaj devas formi |Paketo|n, konsistanta el diversaj frekvencaj (Δν bando de frakvencoj) kaj amplitudoj tion akiras la Fourier-a malkompono. La tempo en kiu la paketo estas formata nomiǧas |Tempo Kohera| kaj la rilato ku la bando de frekvecoj estas ΔT Δν = 1 aŭ ΔkΔx = 2π = ΔωΔt kiel rezulto de ψ̂(x) = Ψ(k).

2.5.1 Mat: Nedermineco

\underline{Mat} ψ(x) estas la onda paketo difinita per ψ(x) = ψ_{0} cos(k_{0}x) kun −\frac{Δx}{2} ⩽ x ⩽ \frac{Δx}{2} kaj ψ(x) = 0 per |x| > \frac{Δx}{2}. La ondo estas terma kosinusa kaj per la ortonormaleco de la Fourier-a bazo

Ψ(k) = \frac{1}{π} ∫_{−∞}^{∞} ψ(x) cos(kx)dx = \frac{ψ_{0}}{2π} ∫_{−Δx/2}^{Δx/2} cos(k_{0}x) cos(kx)dx

Ψ(k) = \frac{ψ_{0}Δx}{2π} \frac{sin(k − k_{0})Δx/2}{(k − k_{0})Δx/2}

ke pro k ≃ k_{0} kaj \frac{−π}{2} < (k − k_{0})\frac{Δx}{2} < \frac{π}{2} sekvas ??.

√

Figura 2.3: sinc(x) Nu, oni povas aŭtointerferi ia ondo ǧin farinta perkuri du diversajn vojojn, ia pli longe de la alia. Oni povas malkovri maksimumaj kaj minumaj de la amplitudo ǧis vidi la du ondojn disigiataj al la fino de la tempo aŭ spaco kohera.

Difrakto

P \underline{Th:}

rincipo de Huygens-Fresnell: oni povas konsideri čiu ponkton de la radio kiel fonto kaj akiri al la onda fronto per envolviǧo de čiuj fontoj ⊗

Kiam ia eletktomagneta ondo E = e^{ı(ωt−xk)} enkontras fendon longan kelkajn multoblojn entierajn de sia ond longeco lumas ankaŭ la zono de geometria ombro čar oni devas konsideri sian ondan konduton. Oni kalkulas la kampo pluen:

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; d; θ; L; ξ]
E(θ) = Ae^{iωt} ∫_{−d/2}^{d/2} e^{−ıkx sin(θ)}dx = dAe^{ıωt}sinc(k · d/2 sin(θ)).

Prenante la realan parton E(θ) = Adsinc(k · d/2 sin(θ)) cos(ωt) oni kvadratigas kaj mezumigas sur la periodo por akiri la intenso

I = A^{2}d^{2}/2sinc^{2}(k · d/2 sin(θ))  (2.4)

En aproksimo de granda longeco sin(θ) = ξ/L kie L estas la distanco de la fendo kaj ξ la distanco de la piedo de ortanto. La difrakto per cirkla fendo estas priskribita per la Bessel-aj funkcioj. Kiam ia ondo enkontas korpoj kun dimensioj kompareblaj kun sia ond longeco vibrigas ǧin kiel agas ia fortanto sur oscilanta sistemo de propra frekvenco ω_{0}. Tiu či korpoj agas kiel resonataj fontoj kaj elmetas siavice kun la sama frekvenco ω_{0} nedipenda de la ondo frekvenco ω. ω_{0} dipenas do de la dimensioj kaj interdistanco de la korpoj. Fakte la čielo estas lazura tage kaj ruǧa sunsubire čar altaǰe la particeloj estas pli distancataj kaj la amplitudo de la elektrik kampo estas proporcia al ω^{2}, kiel estas la akcelo (ẍ(t) ∝ D^{2}(cos(ωt))) ∝ ω^{2}, tial la intenso al ω^{2}. La termoj

[figure: a]

ruǧaj estas preskaŭ dek fojoj munusaj krom al la sunsubiron kiam la lumo pasas pli da tempo en la densa atmosfero. La difrakto de tioma da incoheraj fontoj estas nomata |Difuzo| dume oni povas konsideri la kazo pli priskriebla de N koheraj fendoj. La rezulta kampo estas la sumo de la termoj de čiu fonto ∑_{i=1}^{N−1} E_{f}(θ)e^{iıϕ}, kie ϕ estas ϕ = ka sin(θ) = 2π/λ sin θ diferenco de optik vojo, kiu oni povas esprimi

E = E_{f} \frac{e^{ıNϕ} − 1}{e^{ıϕ−1}} = Adsinc(k · d/2 sin(θ))\frac{sin(Nϕ/2)}{ϕ/2}e^{ı(ωt+(N−1)ϕ)}.

Oni akiras la intenson per

⟨ℜ(E)^{2}⟩ = I(θ) = I_{f}(θ)\frac{sin^{2}(Nka sin θ/2)}{sin^{2}(ka sin θ/2)}  (2.5)

dependo de la elmeta intenso pro la angulo. Laŭe la antaŭa rilato, la maksimo

\overline{} ; ϕ_{maks}

[figure: ϕ_{ajn}]

[figure: ϕ_{min}]

kongruas al la valoroj de ϕ = 2πn aŭ a sin(θ) = nλ per kiuj I = N^{2}I_{f}(θ) kiam la I_{f} estas faze. ϕ_{maks} estas 2πn kaj ϕ_{min} = 2π/N. La diferenco inter maksimumo kaj minimumo estas Δϕ = 2πa/λ(sin θ_{min} − sin θ_{maks}) = 2π/N aŭ sin(θ_{maks} + Δθ) − sin(θ_{maks}) = λ/Na do Δθ ≃ λ/Na. Oni volas akiri al |Distinga Kapablo| serčante ia diferenco de ond longeco δλ. θ ≃ sin θ = nλ/a do δθ = δλn/a, (n/a)δλ ⩾ λ/(Na) kie δλ estas la pli malgranda diferenco videbla kaj

\frac{λ}{δλ} = nN

estas la distinga kapablo de la difrakt reto.

Muziko  Ondoj

2.6 Muziko

Oni difinas la |Tono| la frekvenco de la noto kaj |Timbro| la sono karakteriza de čio strumento. Oni scias ke la frekvenco de srumento estas ν = vl kie l estas la lungeco de la kordo aŭ de resonanta [tubo] kaj v estas la rapideco kiu por la kord strumentoj depenas de la lineare denseco μ = m/Δz kaj de la tensio de la kordo ρ sekvante la leǧo v = \sqrt{T/μ}. Por la aer strumentoj la rapideco depenas de la presiono kaj de la denseco de la medio v = \sqrt{∂𝒫/∂ρ}. Fakte la presiono ne estas grava kiel la tensio čar la resonanta kavo de la strumento ampligas la fundamenta frekvenco kaj ǧiaj armonikaj sur čiuj.

Poste la noto oni parolas pri la [akordo] kiu estas la superpono de du, tri aŭ pli notoj. La superpono de du notoj donas diversan efekton al la [askolto], si la du frekvencoj havas interan [rapporto]n inter ilin n/m ciu n osciloj de la unua noto la dua faros m osciloj kaj la amplitudo de la sumo estas periodika kaj donas sono de frekvenco ν∑ = nν_{1} = mν_{2} plue la frekvenco de la aliaj notoj. Si la frekvencoj ne havas interan [rapporto] la sono estas neperiodika kaj male šatas al la [askolto]. Pli la rapporto havas malgrand interajn numerojn pli la suma sono donas [sensazione]

Diada Akordo▷ de stabileco. La (Diada Akordo) kiu havas [rapporto]n pli malgrandan el čiuj estas 2/3, prefere čiu du osciloj de la |Fundamenta La| 440[Hz] oni havas noto pli alta 3/2·440[Hz] ǧin faris tri foje. La Grekoj inventis modon por konstrui notojn irante de la raportoj kun la fondamentalo. La akordado estas la defino de frkvencoj kiu elektas la notojn [do re mi fa sol la si do] |Pitagora-a Akordado| konstrui la sekvencon de notoj laŭe [1 … 2/3 … 2] čar laŭe Pitagora la numero kvin ne estas perfekto kial la perfektaj numeroj staras en la dek pukntaj triangulo. Eksistos ankaŭ la |Tolomeoa Akordado| kiu elektis la [raportoj] [1 … 2/3 … 7/8 2]. En la fino de la barok-a periodo oni inventis la |Akordo Temperata| kiu elektas dekdu fiks intervalojn inter la notojn [1 13/12 7/6 5/4 4/3 17/12 3/2 19/12 5/3 7/6 11/6 23/12 2]

Analiza Mekaniko

Oni volas nu enkonduki al la bazoj de la Lagrange-a kaj Hamilton-a priskribo kaj marki iliajn malsamaǰojn. La unua havas sian kialon en la priskribo de la aro kaj koordinataj de la posicio kiu estas kunigitas kun la rapideco, sian unua derivaǰo. Pri la Hamilton-a priskribo oni uzas du variabloj kunigitas kiel momanto unu de la alia. Ofte la variablo estas de posicio sed ne čiam. Oni devas konsideri la mekanika problemo kiel iu formulita de Newton, la forco estas F = mẍ kaj ne depenas de pluajn derivaǰ gradoj. Iu akcelo depenas sole de potencoj de \underline{x}, ˙ \underline{x}.

3.1 Aroj

Oni nomiǧas |Konfigura| čio kiu rilatas al la posicio. La |Konfiguracia Spaco| estas la aro en kiu \underline{x} valoras. Kial \underline{x} estas ia sistemo de koordinatoj kiel ∑_{i}(r, ϕ, θ)_{i} aŭ la anguloj de armonikaj oscilatoroj la konfiguracia spaco estas la Cartesio-a produkto de la intervaloj en kiu estas difinita, ekz: (0, ∞) × 𝕊^{1} × 𝕊^{1}/2 aŭ 𝕊^{1} × 𝕊^{1}. Oni pensas al čio koordinato kiel temp dipenda kaj sercas la derivaǰon ˙ \underline{x} de čiu posicio \underline{x}. La aro de \underline{x}_{t} estas kurbo (unu dimensio) kaj la mapo t ↦ x̂ estas la |Orbito|. La |Faza Spaco| estas la spaco en kiu estas difinitas (\underline{x}, ˙ \underline{x}) kaj la |Faza Portreto| estas sia prezento en Cartesio-a aksoj kunigitas en kuploj (x, ẋ). Si la posicio estas difinita en iu varieco sia derivaǰo devas esti tanǧa al tiu varieco. Do oni povas imagini la varieca surfaco malkomponita per fibroj (ekz: secante la aroj de la varieco kiuj depenas de unu sole koordinato foje) kaj poni en čiu punkto tanǧan kurbon. Oni do kreas la |Tanǧa Fibrato|

T Q := \{(x_{1}, x_{2}, , x_{N}, ẋ_{1}, ẋ_{2}, , ẋ_{N}) ∈ ℝ^{6N}|\underline{x} ∈ Q, ˙ \underline{x} ∈ V ∈ T\underline{x}Q\}

\underline{x}(x_{1}, x_{2}, , x_{N}) estas loka sistemo de koordinatoj aŭ loka imersio de U ∈ ℝ^{N}.

Oni nomiǧas la varieco (ankaŭ temp dipenda) ke ligas la posicio sur unu surfaco, la |Ligilo Olonoma|, kiu povas esti imaginita kiel forcoj (Φ⃗ = (Φ_{γ}, Φ_{n}, Φ_{b}) sur kurbo kiel la Frenet-a bazo) kiuj čie nuligas čian eksteran forcon normalan al la varieco. La prezento de la ˙ \underline{x} en tiu senco estas univoke difinita de la aparteno al la tanǧa fibrato. La ligilo estas ideala si Φ⃗ · ˙ \underline{x} = 0 prefere la rapidoj estas ortogonala al čiuj vinklaj reacioj mode ke la vinklaj reacioj ne agas laboron per t fiksa.

3.2 Kvalitaj Solvadoj de Diferenciala Ekvacio

Pro la Cauchy-a teoremo de ekzisto kaj unikeco oni povas fari simple konsideroj pri la ecoj de tiuj orbitoj. La Newton-a formulo F = mẍ estas prezentigebla per v = ẋ v̇ = F (x, v) aŭ

X(x, ẋ) = ( \begin{matrix}v \\ F (x, v) \end{matrix} )

Kvalitaj Solvadoj de Diferenciala Ekvacio  Analiza Mekaniko

Kie X(x, v) estas la |Kampo|.

Por koni la disvolviǧo de la sistemo oni devas studi la ecoj de la ekvilibroj kaj disigiloj. Si oni volas scii kiam la sistemo hatiǧas oni nulas la rapidon kaj sercas la korespondajn valorojn \underline{x}^{∗} de X(x, v) = 0 kiu nomiǧos |Ekvilibra Konfigurado|. La |Ekvilibra Punkto| estas do (x^{∗}, 0). Čirkaŭe la ekvilibro oni linearigas la kampon en potenca serio fine al la unua termo. Do

˙\underline{x} = A_{ij}(\underline{x} − \underline{x}^{∗}) + O(\underline{x}^{2}) A_{ij} = ∂_{x^{j}}X_{i}(\underline{x})|_{\underline{x}=\underline{x}^{∗}}

A_{i}j Jacobi-a matrico kiu oni bone priskribas la iradon de la ekvilibra čirkaŭo. La |Disigilo| estas la kurbo kiu kunigas du ekvilibroj sine neniam kunligi ilin sed disas la orbitojn inter du diversaj iradoj. Oni akiras al la orbit ekvacion forigante la tempon. La solvadoj de Cauchy-a problemo \underline{x}(t; \underline{x}_{0}) : \underline{x} + 0 ↦ \underline{x}(t; \underline{x}_{0}) teniǧas en ia proksimiǧo |\underline{x}(t; \underline{x}′_{0}) − \underline{x}(t; \underline{x}_{0})| ⩽ e^{ωt}|\underline{x}_{0} − \underline{x}′_{0}| ke, kaze, povas esti plibonigita.

Kiam la forco ne depenas pro la tempo la orbitoj ne intersekas kaj havas temp traslacian invariantecon. Či tiu permatas de difini specialan ecojn de la flukso.

3.2.1 Flukso:

|Flukso| Φ^{X} : ℝ × ℝ^{n} → ℝ^{n}, (t, x_{0}) ↦ Φ^{X}(t; x_{0}) := x(t; x_{0}) o Φ_{t}^{X}. La flukso agas sur la aro de inicialaj datoj. Ecoj: I) Φ_{0}^{X} identeco II) Φ_{t}^{X} ∘ Φ_{s}^{X} = Φ_{t+s}^{X}, III) (Φ_{t}^{X})^{−1} = Φ_{−t}^{X}, IV) Φ_{t}^{X} : ℝ^{n} → ℝ^{n} estas difeomorfismo. La aro de difeomorfismoj Φ_{t}^{X} formas grupon rilate la kompono kaj estas omomorfa al la adiktiva grupo in ℝ. Pro la ne-aŭtonomaj ekvacioj oni devas indiki la iniciala tempo čar oni perdas la traslacieco Φ_{t;t_{0}}^{X}(x_{0}). Ne-aŭtonoma ekvacio rekundukiǧas al aŭtonoma ekvacio en sistemo de ℝ^{n+1} sed ne eksistos plu ekvilibroj.

3.2.2 Unua Integralo:

La |Unua integralo| de ẋ = X(x) se estas senšanǧa laŭlonge la solvado de la ekvacio f(x, t; x_{0}) aŭ f ∘ Φ_{t}^{X} = f, ∀t f(x, ẋ) = cost ⇒ \frac{d}{dt}f = 0. Per tia valoro de la unua integralo la solvadoj devas resti sur nivelaj aroj de tiu či funkcio. La faza spaco estas malkomponas laŭ nešanǧema subvarieco de unu dimensio minusa. Se estas pli integraloj la solvadoj teniǧas en la intersecio de tiuj či. Estas f_{1}, , f_{k}, funcionale sendependa se lia Jacobi-a matrico havas la maksiman rangon. Unua integralo havas lia gradienton normalan al la sistemo de diferenciala ekvacio kaj solvas X(x) · ∇x = 0. De tio, oni konstruas la derivaǰo de Lie: ℒ̂_{X}f : ℝ^{n} → ℝ definita laŭ ℒ̂_{X}f := x · ∇f = ∑_{1=i}^{n} X_{i} \frac{∂}{∂x_{i}} f = X · ∇f = ẋ · ∇f = d_{t}f. Se f estas unua integralo

{f, H} = 0

3.2.3 Klasado de la proksimecoj ekvilibraj laŭ la aŭtovaloroj:

Reala Aŭtovaloroj: la armonika repušilo stabila pro λ > 0 instabila pro λ < 0. Oni povas elekti baza šaniǧo ke eblas diagonaligi A pro la matrico P

y(t) = P^{−1}e^{At}y_{0} = ( \begin{matrix}c_{1}e^{λ_{1}t} \\ c_{2}e^{λ_{2}t} \end{matrix} )

Oni akiras la sekvanta iperbola fasko kiu donas y_{2} = cost|y_{1}|^{\frac{λ_{2}}{λ_{1}}} λ_{2} < λ_{1} < 0 ekvilibrio stabila, λ_{1} < 0 < λ_{2} |Selo|, 0 < λ_{1} < λ_{2} ekvilibrio instabila. Se aŭtovaloro nulas solvadoj rektas. Oni kunigas al la solvado iperbola al la parto reala kaj al tiu imaǧa la rotacia solvado. Matrico kun koniuga duopo de aŭtovaloroj kompleksaj esprimiǧas per

( \begin{matrix}ℜ𝔢(λ) & ℑ𝔪(λ) \\ −ℑ𝔪(λ) & ℜ𝔢(λ) \end{matrix} )

Lagrange-a Priskribo  Analiza Mekaniko

Se la reala parto estas nula la faza portreto nomiǧas |Centro|. La solvadoj kun kompleksaj aŭtovaloroj rapresentiǧas per e^{At}x_{0} = e^{αt}P R(βt)P^{−1}x_{0}. La ekvilibro diriǧas iperbola se ℜ𝔢(λ) ≠ 0 aŭ elipsa se ℜ𝔢(λ) = 0 kaj ℑ𝔪(λ) ≠ 0. En la mekanika šanco la unua integralo konsistas el kinetika termo 1/2mv^{2} kaj potenciala 𝒱(x) do studinte la formo de 𝒱(x) oni akiras al la orbo de la faza portreto, kiu estinta senšanǧa, valoras la rilato ℰ = 1/2mv^{2} + 𝒱(x) = cost. Oni studas nu la aron 𝒥_{e} = {x ∈ ℝ^{n}|V (x) < e}. ∂_{x}ℰ = V ′(x),∂_{x}ℰ = mv. La singolaraj punktoj de ℰ estas sekve ekvilibroj. La faza portreto akiriǧas per v(x; e) = ±\sqrt{2/m(e − 𝒱(x))}. Eskludita maksimume la punkto v = 0 kiu povas estis tre neregulara. Oni kunigas do la kompono +a kun tiu -a kiuj estas simetriaj al la abscison. Laŭe e, 𝒥_{e} kluas, aperas aŭ estas punkton. La rapidoj povus atingi aŭ ne la absciso. d_{t}x_{t} = \sqrt{2/m(e − 𝒱(x))} \sqrt{2/m}· dx/\sqrt{e − 𝒱(x)} = dt t(x) = t_{0} + \sqrt{2m} ∫_{x_{0}}^{x} dx/\sqrt{e − 𝒱(x)}: hora leǧo, ripetinte kun čiuj inversio-punktoj pro kiuj t ↦ x_{t} perdas la monotonon. |Periodo|

T (l) = \sqrt{2m} ∫_{x_{+}(e)}^{x_{−}(e)} \frac{dx}{\sqrt{e − 𝒱(x)}}

Oni devas kalkuli la inversa de la potencialo e ↦ x(e). |Ekvilibro Firma| se per čiuj proksimaǰo U de \underline{x} ∃U_{0} de \underline{x}|x_{0} ∈ U ⇒ x(t; x_{0}) ∈ U ∀t > 0. |Ekvilibro Nefirma| se ne estas firma kaj |Ekvilibro Asintota Firma| se lim_{t↦∞} x(t; x_{0}) = \underline{x}. Asintota firmeco kutimiǧas en disipaj sistemoj neeble por tiuj konservaj.

3.2.4 Metodoj Lyapunov-a

Oni utiligas funkcion, Lyapunov-an nomatan, por studi la ecoj de la ekvilibra proksimeco. Se L_{X} · 𝒲(x) = 0 x_{0} firmas, se L_{X} · 𝒲(x) < 0 do asintote firmas. La aroj de subniveloj {𝒲(x) < c} = 𝒲_{c} formiǧas bazo de proksimaǰoj. Spektrala metodo: Oni šercas la aŭtovaloroj de la Jacobi-a de X ẋ = Xx ∂_{x}X(\underline{x}). Se čiuj aŭtovaloroj havas parto reala nea x estas nefirma, se aŭtovaloro estas nula oni devas konsideri ankaŭ la termoj de pli grandaj gradoj.

3.2.5 Frenet-a Bazo

Arka parametro s ↦ γ(s) γ : ℝ → ℝ^{n} |d_{t}γ(s)| = 1 ∀s ∈ ℝ. |Frenet-a Bazo|: e_{τ} = d_{s}γ,e_{𝔫} = ρd_{s}e_{τ} per ρ := |d_{s}e_{τ} (s)| kaj e_{b} = e_{τ} × e_{𝔫}. ρ(s) normaligas d_{s}e_{τ} kaj nomiǧas radio de čefa kurvado. ẋ = s̈e_{τ} + ṡd_{t}e_{τ} = s̈e_{τ} + ṡ^{2}d_{s}e_{τ} = s̈e_{τ} + ṡ^{2}d_{ρ}e_{𝔫}. Newtown-a ekvacio ms̈ = f_{τ} (s, ṡ) + Φ_{t}, mṡ/ρ(s) = f_{n}(s, ṡ) + Φ_{𝔫} 0 = f_{b}(s, ṡ) + Φ_{b}. |Glata Ligilo| ⇔ Φ_{t} = 0.

3.3 Lagrange-a Priskribo

Oni imaginas movantaj partikloj sur ligilo. La koordiantoj de la posicio kaj rapido sur la varieco estu

\begin{aligned}\underline{g} :(x̃_{1}, , x̃_{N})^{∈ℝ^{N}} & ↦ (x_{1}, , x_{n}) = \underline{x} \\ & = (f_{1}(x_{1}, , x_{n}), , f_{n}(x_{1}, , x_{n})) \end{aligned}  ˙  \underline{g} = ∑_{i} ∑_{j} \frac{∂f_{i}(x_{1}, , x_{n})}{∂x_{j}} · ẋ_{j}

kie n estas la dimensio de la varieco, minusa de N. La kinetika energio, kiu oni difinas kiel sole definika de kvara termoj de ˙ \underline{x} čar la aliaj partas al la |Potencialo Generaligita| 𝒰(\underline{x}, ˙ \underline{x}) :== U_{0}(\underline{x}) + U_{1}(\underline{x}, ˙ \underline{x}) + U_{2}(\underline{x}, ˙ \underline{x}^{2}), estas do

T̃ = \frac{1}{2}\underline{m} ^{t}\underline{˙ ; x̃}_{i} · \underline{˙ ; x̃}_{i} T = \frac{1}{2}\underline{m} ˙ \underline{g} · ˙ \underline{g} = \frac{1}{2}(\underline{m} ∑_{i} ∑_{j} \frac{∂f_{i}}{∂x^{j}} \frac{∂f_{j}}{∂x^{i}} )ẋ_{i}ẋ_{j} = \frac{1}{2}^{t} ˙\underline{x}A ˙\underline{x}

◁Sfera Koordinatoj

x̃ = (x, y, z) x = (r, ϕ, θ) g = (r cos ϕ sin θ, r sin ϕ sin θ, r cos θ)

ġ = ( \begin{matrix}cos ϕ sin θ & −r sin ϕ sin θ & r cos ϕ cos θ \\ sin ϕ sin θ & r cos ϕ sin θ & r sin ϕ cos θ \\ sin θ & 0 & −r cos θ \end{matrix} ) ( ṙ ; ϕ̇ ; θ̇ )

La determinato de la Jakobi-a esta |J| = r^{2} sin θ. T̃ = 1/2m(ẋ^{2} + ẏ^{2} + ż^{2}) T = 1/2^{t}ẋAẋ

A = m ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & r^{2} sin^{2} θ & 0 \\ 0 & 0 & r^{2} \end{matrix} )  ẋ = ( ṙ ; ϕ̇ ; θ̇ )

△ T = 1/2m(ṙ^{2} +r^{2} sin^{2} θϕ̇^{2} +r^{2}θ̇^{2}) ke priviǧas la ortogonaleco de la polaraj koordinatoj. Oni introdukas la |Lagrange-a Kompono de la Ekscito|

\underline{𝔏}(\underline{x}, ˙ \underline{x}, t) := \underline{F} (\underline{g}(\underline{x}), ˙ \underline{g}( ˙\underline{x}), t)\frac{∂\underline{g}}{∂\underline{x}}

Centra Kampo▷ |Akcelo| a = (r̈−rϕ̇^{2})ê_{r}+(2ṙϕ̇+rϕ̈)ê_{ϕ}. (Centra Kampo) m(2ṙϕ̇)−rϕ̇^{2}) = −k/r^{2},m(2ṙϕ̇+ rϕ̈) = 0. Energio kinetika T (q, q̇) = \frac{1}{2}M𝒲̃(q, q̇)𝒲̃(q, q̇) Komponoj Lagrange-a de la ekscito T (q, q̇) = \frac{1}{2} q̇A(q)q̇ a_{i,j} = M∂_{q_{i}} X̃∂_{q_{j}}X 𝔏_{i}(q, q̇, t) = F (X̃(q), 𝒲̃(q, q̇), t) · ∂_{q_{i}} X̃(q) d_{t}∂q̇T −∂_{q}T = 𝔏_{i} 𝔏_{i} = −∂_{q_{i}}V L(q, q̇, t) := T (q, q̇, t). Se la Lagrange-a ne sekvas de iu koordinato lia konjugita momento estas unua integrala. ṗ_{i} = ∂_{q}L, ∂_{q}L = 0, p_{i} = cost. Oni finfine akiras la |Lagrange Euler-a Ekvacio|

d_{t}∂q̇L − ∂_{q}L = 0  (3.1)

Lagrange-a ekvivalenta L(q, q̇, t) + ∑_{i=1}^{N} ∂_{q_{i}}F (q, t)q̇_{i} + ∂_{t}F (q, t) kondukas al la sama Lagrange-a ekvacio kaj lia imaǧa kurbo t ↦ q(γ(t)) estas solvado de la Lagrange-a ekvacio. Ia ekvilibra ekvacio estas pro ∂_{q}𝒱_{0} = 0.

Th de Lagrange-Dirichlet:

\underline{Th:} Per L(q, q̇) = T_{2}(q, q̇) − V_{0}(q) − V_{1}(q, q̇) temp-sendipenda, se V_{0} havas ia stringa minimo en punkto q^{∗}, do q^{∗} estas firma ekvilibra konfiguracio.

⊗ Se L estas temp-sendipenda la asintota firmeco estas neebla

3.3.1 Linearigo:

A(q^{∗}) + V′′(q^{∗})(q − q^{∗}) = 0. Laŭ ia Lagrange-a kiu havas en q^{∗} punkto de stringa ekvilibrio de V kaj sekve la Hesse-a V′′(q^{∗}) plusa definita do la linearigaj aŭtovaloroj Λq^{∗} estas pure imaǧaj kaj ne nulaj kaj la linearigaj ekvacioj havas ǧenerala integralo q(t; c, δ) = q^{∗} +∑_{i} c_{i}cos(ω_{i}t+δ_{i})u_{i} nomiǧas normala aŭtovaloro de Λ(q^{∗}) = V′′ −AΛ. L = \frac{1}{2} q̇ A q̇ − V (q). Linearige

A(q^{∗})q̈ + V′′(q^{∗})(q − q^{∗}) = 0 Λ = ( \begin{matrix}0_{n} & 𝕀_{n} \\ −A^{−1}V′′ & 0_{n} \end{matrix} )

pro λ_{1}, , λ_{n} aŭtovaloroj de A_{−1}V′′. La aŭtovaloroj de Λ estas

ω_{1}± = \sqrt{±(−λ_{i})} ( q̇ ; v̇ ) = Λ(q^{∗})( \begin{matrix}q − q^{∗} \\ v \end{matrix} )

Čar la Hesse-a estas plusa definita ω_{1} = ±\sqrt{−λ_{1}}, , ω_{n} = ±\sqrt{−λ_{n}} q(t; c, δ) = q^{∗} + ∑_{i} c_{i} cos(ω_{i}t + δ_{i})u_{i} pro u_{i} aŭ tovektoroj de A_{−1}(q^{∗})V′′(q^{∗}). V′′ − λA oni permesas ne kalkoli la inversa de A. Ia Lagrange-a pro n = 2: se ω_{1}/ω_{2} estas racionala lia movoj estas periodaj se neracionala neniu movo estas perioda. Se ω_{1}/ω_{2} ∈ ℚ nomiǧas resonanta. Se la oscilatoro estas ne risonanta la nivelaj aroj de la dua funkcionoj E_{1}(q_{1}, q̇_{1}) = \frac{1}{2}(q̇_{1} + ω_{1}^{2}q_{1}^{2}) E_{2}(q_{2}, q̇_{2}) = \frac{1}{2}(q̇_{2} + ω_{2}^{2}q_{2}^{2}) estas densaj en la toro.

Variacionalaj ecoj  Analiza Mekaniko

3.4 Variacionalaj ecoj

|Akcio| oni diras ke ia diferenciala mapo ϕ : ℝ^{n} ×ℝ → ℝ^{n} (q, α) ↦ ϕ(q, α) := ϕ_{α}(q) estas akciono de ℝ sur ℝ^{n} se I) ϕ_{0} : ℝ^{n} → ℝ^{n} estas identeco II) ∀α ∈ ℝϕ_{α} : ℝ^{n} → ℝ^{n} estas difeomora III) ∀α, β ϕ_{α,β} = ϕ_{α} ∘ ϕ_{β}. Generatoro infinitezima de la akcio ξ(q) := ∂_{α}ϕ(q, 0). La akcioj estas ekzemple la rototraslacioj kaj la fluksoj. Ia Lagrange-a estas invarianta sub la akcio de L(ϕ_{α}(q), ∂_{q}ϕ_{α})(q)q̇) = L(q, q̇) kie (q, q̇) ↦ (ϕ_{α}(q), ∂_{q}ϕ_{α}(q)q̇) estas la levo de la akcio al la tanǧa fibro.

Noether-a

\underline{Th:}

Nöther-a Se la Lagrange-a L(q, q̇) estas nevarianta sub la akcio de ϕ nu la Lagrange-a ekvacioj havas unua integralo I(q, q̇) := ∑_{n}^{j=i} ξ_{j}(q)p_{j}(q, q̇) kie ξ estas la infinitezima generatoro kaj p_{j} = ∂q̇_{j}L estas la momento koniugata al q_{j}. ⊗

La ignorebla koordinato estas longe la orbitoj de la akcio. Rouht-a ridukcio ∂ξ̇π = ∂ξ̇∂ξ̇L ≠ 0 ⇒ π(Q, Q̇, ξ̇) = c ξ̇ = u(Q, Q̇, π)

L_{c}^{R}(Q, Q̇) := (L(Q, Q̇, ξ̇) − cξ̇)|_{ξ̇=u(Q,Q̇,c)}

Ia funkcionalo de nefina dimensionala spaco estas derivebla laŭ Gateaux en ia punkto γ ∈ Γ se la derivaǰo d_{λ}J[γ +λη] ∈ ℝ ekzistas ∀η ∈ Γ_{0}. Tia derivaǰo nomiǧas |Variacio| aŭ |Gateaux Derivaǰo| de J en γ en la direkcio de η. γ estas stacionara se la variaǰo de J[γ] nulas. Hamilton-a principo: estas L : ℝ^{n} × ℝ^{n} × ℝ → ℝ diferenciebla funkcio, γ igas stacionara la funkcionala J_{L} sse estas solukcio de la ekvacioj d_{t}∂q̇L − ∂_{q}L = 0 de Euler-Lagrange. |Akcia Funkcionala| asociita al L

J_{L}[γ] = ∫_{t_{0}}^{t_{1}} L(γ(t), γ̇(t), t)dt

Longeco de ia kurbo: l[γ̃] = ∫_{t_{0}}^{t_{1}} |d_{t}γ̃(t)|dt. Ia geodetiko igas stacionara la longenco inter du punktoj. |Metrika Matrico| g_{ij} = ∂_{q_{i}} X̃(q)∂_{q_{j}} X̃(q). G(q) plusa definita. |Geodetiko| τ(q, q̇) = q̇G(q)q̇. Nečeeste aktivaj forcoj la movoj de ia punkto ligata sekvas la geodetiko.

3.5 Hamilton-a Mekaniko

U aperto de ℝ^{n} de koordinatoj (\underline{p}, \underline{q}) funkcias regole u → ℝ^{n}. La |Hamilton-a Sistemo| de Hamilton-a H de 2n ordinaraj ekvacioj diferencialaj

˙\underline{p} = −∂\underline{q}H  ˙  \underline{q} = ∂\underline{q}H  (3.2)

\underline{q} estas la koordinato posicio dume \underline{p} estas tia impulso. n numeras de la gradoj de libero dume U estas la faza spaco, la flukso Φ grupas en aŭtonoma sistemo. Se x̆(t) estas parta solvado de la ekvacio x̆(t + s) = x̆′(t).

Liouville-a

\underline{Th:}

La flukso plitenas la mizuro de Lebesgue en la faza spaco. Se la sistemo estas aŭtonoma konserviǧas la energio d_{t}H = 0

H(Φ_{H}^{t}(\underline{p}, \underline{q})) = H(\underline{p}, \underline{q})  (3.3)

kaj energaj surfacoj estas nevariantaj S_{ℰ} = \{(\underline{p}, \underline{q}) ∈ U|H(\underline{p}, \underline{q}) = ℰ\} ⊗

ǧenere

d_{t}H = ∂_{t}H  (3.4)

Hamilton-a Mekaniko  Analiza Mekaniko

Sistemo na aŭtonoma prezentigebla per sistemo aŭtonoma de n + 1 gradoj de libero enponi variablon kiu parigi la koordinata numero.

|Legendre-a Trasformaǰoj|

\underline{p}(\underline{q}, ˙ \underline{q}) = ∂˙\underline{q}L  H(\underline{p}, \underline{q}) = \underline{p} · ˙ \underline{q}(\underline{p}, \underline{q}) − L( ˙\underline{q}(\underline{p}, \underline{q}), \underline{p})  (3.5)

En la Hamilton-a mekaniko

ḟ = \{f, H\} = d_{t}Φ_{H}^{t}(\underline{p}, \underline{q})|_{t=0} = ∂\underline{p} ˙\underline{p} + ∂\underline{q} ˙\underline{q}

aŭ ǧenere ḟ = {f, H} + ∂_{t}f|Lie-a Derivaǰo|

ℒ̂_{X,f} = { , f}

Trasformaǰoj Kanonikaj

En Lagrange-a mekaniko trasformaǰoj estas punktualaj q_{i} = q_{i}(˜\underline{q}, t) dume q^{i} = ∂_{}_{q̃^{i}}q^{i} · ˙q̃ + ∂_{t}q^{i} L̃(q̃, ˙ q̃, t) = L(q(q̃, t), q̇( ˙q̃)). Trasformaǰoj de koordinatoj: (\underline{p}, \underline{q}) = w(˜\underline{p}, ˜ \underline{q}) w : Ũ → U. X_{H} vektora kampo asociita al Hamilton-a H

X_{H} = (−∂\underline{q}H, ∂\underline{p}H) = 𝔼∂_{x}H

tie x = (\underline{p}, \underline{q}), 𝔼 = ( \begin{matrix}0 & −𝕀 \\ 𝕀 & 0 \end{matrix} )

H̃ = H ∘ w  H̃(˜\underline{p}, ˜ \underline{q}) = H(w(˜\underline{p}, ˜ \underline{q}))

Trasformigas oni H kaj sekve trasformagas funkcioj trasformataj. Do Φ_{H}^{t} ∘w = w∘Φt ; H̃ ΦH̃ : Ũ → Ũ. Ekzistas diversaj modoj de verifiki kiam trasformo estas strekte kanona aŭ Hamilton-a feras al saman ekvacion.

I X_{H} ∘ w = JXH̃

II Trasformaǰoj simplektikaj J^{−1}𝔼J = 𝔼

III Konservu la [parentesi] Poison-a {u_{i}, v_{j}} = δ_{ij}

IV Lie-a kondico pdq = p̃dq̃ + df kiam la unuformo de Liuville pdqestas ekzakta.

I)H̃ = H ∘ w ∂_{x} = J∂x̃ ∂|_{x}H̃ = ∂_{x} = H ∘ w X_{H} ∘ w = JXH̃.II)X̃_{H} = XH̃ X_{H} = 𝔼∂_{x}H ∂x̃H̃ = ^{t}J∂_{x}H J^{−1}X_{H} ∘w = 𝔼∂)x̃H̃ = 𝔼^{t}J∂_{x}H∘w. La trasformaǰoj ne strkte kanonaj havas la samaj Hamilton-aj ekvacioj sed ne plu valoras H̃(˜\underline{p}, ˜ \underline{q}) =

Polaraj Koordinatoj H(\underline{p}, \underline{q}) ∘ w.

La trasformaǰo (\underline{p}, \underline{q}) ↦ (\underline{r} cos ϕ, \underline{r} sin ϕ) ne estas kanona čar ne respondas al la kondicon supre. Oni do konstruas kanonan ian (\underline{p}, \underline{q}) ↦ (\sqrt{2\underline{I}ω} cos ϕ, \sqrt{2\underline{I}/ω} sin ϕ). En la armonika oscilatoro la Hamilton-a simpligaǧas H̃ = I kaj la elikso de la faza

△ spaco fariǧas cirklon.

3.5.1 Funkio Ǧenerila

Oni uzas metodo pli simple por akiri la ecojn de la trasformzǰoj; tiu metodo simplifikas la kalkuloj čar ne uzas la trasformaǰ funkcio de koordinatoj.

Oni povas uzi iu fukcio S(q, q̃) per kiu se valoras la invertebleca kondico ∂_{q}∂q̃S ≠ 0 kaj p = ∂_{q}S p̃ = −∂q̃S definas trasformaǰon loka w : (p, q) ↦ (p̃, q̃).

Perturbata Metodo  Analiza Mekaniko

Simile valoras S(p̃, q) kiu defininas iu trasformaǰo kanona w : (p, q) ↦ (p̃, q̃). La probo de la kanoneco estas pravita de la kondico Lie-a montrita per la identeco

Funkcio Gxenerila ∂_{q}S(q, q̃)dq + ∂q̃S(q, q̃)dq̃ = dS(q, q̃) sciante ke q = v(p̃, q̃).

\underline{q} = A(q̃) \underline{p} = u(˜\underline{p}, ˜ \underline{q}) u(\underline{p}, \underline{q})A(q̃)dq̃−p̃dq̃ =^{!} df (^{t}Au−p̃) =^{!} df ^{t}Ap−p̃ = △ a(q̃) p = ^{t}A^{−1}(p̃ + a(q̃))

Al oni graviǧas la trasformaǰoj kiuj estas proksime al la identeco aŭ la identeco pli perturbacio S(p̃, q̃) = p̃q̃ + ϵS(p̃, p̃, ϵ)

3.6 Perturbata Metodo

En la Hamilton-a kazo

Malvasta Relativeco

4.1 Geometrio

Poste la dekovro de Michelson-Morley [1887] ke la lumo havas la saman rapidecon en čiuj refer rilatoj la concepto de geometrio šanǧis čar estis grava korektigi la leǧojn pro rapidecoj kiu estas afektiǧitaj pro tiu korektado: v > c/7(10%).

Oni devas konsideri kiu la spaco kaj la tempo ne estas la samaj por čiuj observatoroj sed la unika grandeco konserviganta estas la spac tempa intervalo. Oni plitenas la postulo de omoǧena kaj isotropa spaco kaj oni volas pliteni la Newton-a leǧoj sed en tiuj kondicoj la fizikaj leǧoj trasformiǧas per diversaj trasformaǧoj.

Oni devas nun defini ia laŭcela metriko.

4.1.1 Mat: Metriko

\underline{Mat} La skalara produkto inter du vektoroj estas la produkto de la komponoj |kontraŭvarianta|j de la bazo {x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}} kaj tiuj |kovarianta|j de la reciproka bazo {x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3}}. La vektoroj kontraŭvariantaj trasformiǧas en kovariantaj laŭe la relacio

v^{i} = g^{ij}v_{j}

kie kiam du simbolik indicoj (unu konvarianta, la alia kontraŭvarianta) estas repetitaj oni intendas la sumo de čiuj komponoj fine la saturigo de indico. Ia matrico estas prezentita per Λ_{ν}^{μ} kie la proksima indico μ estas la numero de la rigo dume la malproksima ν la kolono M · N = M_{ν}^{μ}N_{ρ}^{ν} = O_{ρ}^{μ}. La indicoj repetitaj saturigas: Λ_{ν}^{μ}v^{μ} = ∑_{ν=0}^{3} Λ^{μ}νv^{μ} = v^{ν}. Či tiu eksprimas la |Einstein-a Konvencio|n. Kie oni skribas Λ_{μ}^{ν} oni intendas ke la indekso maldekstre referas la rigoj kiam tiu dekstre referas la kolonoj. Ia ǧenera metriko estas prezentita per:

G = g_{μν} G^{−1} = g^{μν} (GG^{−1})_{ν}^{μ} g^{μρ}g_{ρν} = ∑_{ρ} g^{μρ}g_{νρ} = δ_{ν}^{μ}

|Matrica Notacio|

g_{μν} = G x^{μ} = ( \begin{matrix}x^{0} \\ x^{1} \\ x^{2} \\ x^{3} \end{matrix} ) ^{t}x^{μ} = (x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3}) Λ = Λ_{ν}^{μ} = \binom{Λ_{0}^{0} Λ_{1}^{0} …}{⋮ ...}

Geometrio  Malvasta Relativeco

La termoj g_{μν} estas la aplikaǰo bilineara asociita al ia metriko. En la ordinara vektora spaco la metriko estas difinita g_{il} = δ_{il} |Kroneker-a δ| aŭ la identeco 𝕀. La tensora produkto konsdideras la trasformaǰojn laŭ la propra metriko. La distanco segmeto estas \sqrt{ds^{2}} aŭ

|ds|^{2} = ds^{μ} · ds_{μ} = ( ds^{0} ds^{1} ds^{2} ds^{3} ) · ( \begin{matrix}g_{00} & g_{01} & g_{02} & g_{03} \\ g_{01} & g_{11} & g_{12} & g_{13} \\ g_{02} & g_{12} & g_{22} & g_{23} \\ g_{03} & g_{13} & g_{23} & g_{33} \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}ds^{0} \\ ds^{1} \\ ds^{2} \\ ds^{3} \end{matrix} )

kie g_{12} = g_{21} = a_{1} · a_{2} = a_{2} · a_{1}. Se cos(a_{1}, a_{2}) = (a_{1} · a_{2})/|a_{1}||a_{2}| = 0 g_{i≠j} = 0. Se a_{i} estas la bazo per la ordinaraj vektoroj kun x^{i} siaj komponoj tiele ke x = a_{i}x^{i} kaj u^{i} sistemo de koordinatoj, ia bazo povas esti prezentita per

a_{i} = \frac{∂x_{l}}{∂u^{i}} x_{l} g_{ij} = g_{ji} = a_{i} · a_{j} = \frac{∂x^{l}}{∂u^{i}} \frac{∂x^{m}}{∂u^{j}} x_{l}x_{m} = \frac{∂x^{l}}{∂u^{i}} \frac{∂x^{l}}{∂u^{j}}

kie g_{il} estas la |Gram-a Koeficento|. La Gram-a koeficento povas esti vidita kiel

g_{21} = g_{12} = \sqrt{g_{11}g_{22}} cos(a_{1}, a_{2}) g_{11} = (\frac{|dr_{u_{1},u_{1}+du_{1}}|}{du^{i}}) = |a_{1}|^{2}

√

ds nomiǧas |Intervalo Spac Tempa| kaj estas la mizuro inter du |Evento|j: fenomenoj kiuj alvenas en certa punkto de la spaco en la rilato S de koordinatoj (x^{1}, x^{2}, x^{3}) = x^{i} en ia tempo en la spaco (x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3}) = x^{μ}. La intervalo de la luma radio estas la unika isotropa vektoro (ds)^{2} = 0. Radio kiu moviǧas tra ê_{x} havas dx^{2} = dx^{3} = 0 (ds)^{2} = 0 = g_{00}(dx^{0})^{2} +2g_{01}dx^{0}dx^{1} +g_{11}(dx^{1})^{2}. c = dx^{0}/dt (g_{00} + Aldone: dx^{0} = cdt = dx^{1} 2g_{01}+g_{11})dx^{0} = 0. Se la lumo propadiǧas kontraŭe (tra −ê_{x}) (g_{00}−2g_{01}+g_{11})dx^{0} = 0. Suminte kaj subtrahinte la du ekvacioj oni obetenas g_{00} = −g_{01} g_{01} = 0.

- Pro isotropio de la spaco g_{00} = −g_{11} = −g_{22} = −g_{33} kaj g_{01} = g_{02} = g_{03} = 0.
- Pro ortogonaleco de la spaca bazo g_{12} = g_{13} = g_{23} = 0

Ǧenera lum radio havas

(ds′)^{2} = 0 = ∑_{μν=0}^{3} g_{μν}dx^{μ}dx^{ν} = g_{00}ds^{2} + ∑_{μ≠ν}^{3} g_{μν}dx^{μ}dx^{ν} = g_{00}(ds)^{2}

g_{00} pro la omoǧeno de la spac tempo depenas de la rapideco inter du rilatoj sed pro isotropio ne dipendas de x sekve, de la direcio de la rapideco, sole |v^{μ}|. (ds′)^{2} = g_{00}(|v^{μ}|)(ds)^{2} kontraŭe (ds′)^{2}g_{00} = (|v^{μ}|)(ds)^{2} do g_{00} unuas.

Spac Tempa Intervalo

\underline{Th:}

La spac tempa intervalo nevariantas por trasformaǰoj inter rilatoj inerciaj (ds′)^{2} = (ds)^{2}. ⊗

Nun oni povas defini la |Minkovskij-a Metriko|

G = g_{μν} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −1 \end{matrix} )

Inter du rilatoj S kaj S′ (ds)^{2} = (ds′)^{2}. La spaca trasformaǰo ∈ SO_{2} estas

( \begin{matrix}cos ϕ & sin ϕ \\ − sin ϕ & cos ϕ \end{matrix} )

si oni ponas x^{0} = ıx^{4} kaj (ds)^{2} = − ∑_{i=1}^{4}(dx^{i})^{2} la lineara trasformaȷjo tra ê_{x} per fiksa tempo kaj spaco

x^{1} = cos ϕx^{4} + sin ϕx^{1}  x^{0} = − sin ϕx^{4} + cos ϕx^{1}  (x′^{0})^{2} − (x′^{1})^{2} = (x^{0})^{2} − (x^{1})^{2}

Per la relacioj cos ϕ = Chıϕ sin ϕ = ıShıϕ. Nun ıx′^{0} = Chθıx^{0} + ıShθx^{1} x′ = θ = ıϕ

ıShθıx^{0} + Chθx^{1}. Uzinte x^{1} = βx^{0} x^{1}/x^{0} = −β = Shθ/Chθ. Per Ch^{2}θ − Sh^{2}θ = 1 Per cx^{1} = −vx^{0} β = \frac{v}{c}

1 − T h^{2}θ = 1/Chθ

Chθ = γ Shθ = T hθShθ = −βγ

do la |Lorentz-aj Trasformaǰoj| estas

x^{2} = c^{2}t^{2} − 1

lumo ct

ct′

x

tempo

x^{2} = c^{2}t^{2} + 1 spaco

[figure] [figure]

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

[figure] [figure]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

[figure] [figure] [figure]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

[figure] [figure] [figure] [figure] [figure] [figure] [figure]

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

[figure]

x′

Λ_{ν}^{μ} = ( \begin{matrix}γ & −βγ & 0 & 0 \\ −βγ & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} )  β = \frac{v}{c}  γ = \frac{1}{\sqrt{1 − β^{2}}}

Trasformaǰoj inter du movaj rilatoj estas priskribita en iperbola spaco dume en statikaj laŭe la bone notita trasformaǰo cirkla.

4.1.2 Grupo Lorentz Poincaré-a

4.1.3 Mat: Grupo

\underline{Mat} La |Grupo| estas ia aro 𝒢 donita de

- Leǧo de interna asocia kompono: ⋄

- Malfermeco: se g_{1}, g^{2} ∈ 𝒢 ⇒ g_{1} ⋄ g_{2} ∈ 𝒢

- Identeco: 𝕀 ∈ 𝒢

- Inversa ene en 𝒢 por čiu elemento de G: g, g^{−1} ∈ G g ⋄ g^{−1} = 𝕀 ∈ G √

La Poincaré-a grupo trasformigas vektoron por traslacioj kaj rotacioj aplikante la Lorentz-aj trasformaǰoj kaj traslacio.

x̂^{μ} = Λ_{ν}^{μ}x^{ν} + a^{μ}

Oni povas fari ion da alǧebro kun la Lorentz-aj matricoj

Λ̂ = GΛG_{1} = g_{μρ}Λ_{σ}^{ρ}g^{σν} = Λ_{μ}^{ν} = Λ̂_{ν}^{μ} Λ_{ν}^{μ}Λ_{σ}^{ν} = δ_{μσ}
Λ̃GΛ = G = Λ_{μ}^{ν}g_{ρσ}Λ_{μ}^{σ} = g_{μν} (Λ_{ν}^{μ})^{−1} = Λ_{ν}^{μ}

Procesoj en Relativeca Mekaniko  Malvasta Relativeco

La duplo {Λ, a} difinas la grupon kiu havas sian komponan leǧon {Λ_{1}, a_{1}} ∘ {Λ_{2}, a_{2}} = {Λ_{1}Λ_{2}, Λ_{1}a_{1} + a_{2}} kaj sian neŭtran eron {𝕀, 0}. Si oni ponas a^{μ} = 0 oni havas la Lorentz-an grupon. De la relacio det G′ = det(^{t}ΛGΛ) = det^{2} Λ det G oni havas det^{2} Λ = 1 ⇒ det Λ = ±1. Oni vastigas la Lorentz-an grupon en kvar komponoj konektitaj laŭ I) ℒ_{+}^{↑} := {Λ| det Λ = 1, g_{0}0 = 1} (nomata la Lorentz-a propra grupo II) ℒ_{+}^{↓} := {Λ| det Λ = 1, g_{0}0 = −1} III) ℒ_{−}^{↑} := {Λ| det Λ = −1, g_{0}0 = 1} IV)

Pareco▷ ℒ_{−}^{↓} := {Λ| det Λ = −1, g_{0}0 = −1}. Por ekzemplo estas gravaj la matricoj de (Pareco) ∈ ℒ_{−}^{↑} kaj de (Tempa Nevariacio) ∈ ℒ_{−}^{↓} Tempa Nevariacio▷

P = ( \begin{matrix}1 \\ & −1 \\ & & −1 \\ & & & −1 \end{matrix} ) T = ( \begin{matrix}−1 \\ & 1 \\ & & 1 \\ & & & 1 \end{matrix} )

tiu ke P T = −𝕀 Empirike eksistas sole la konservo de CP T čar la fizik leǧoj ne estas nevariantaj por tempa traslacio kaj pareco (violacio de Lee-Young [1957]). La fizik leǧoj estas nevariantaj sole per la Poincare-a propra grupo.

Kvargrandecoj

Kvarskalara: ϕ′(x′) = ϕ(x) ϕ(Λ^{−1}(x′ − a)).La kvarvektoro A^{′μ} = λ_{ν}^{μ}A^{ν} povas esti kontraŭvarianta kaj kovarianta A′_{μ} = Λ̂_{μ}^{ν}A_{ν} Λ̂_{μ}^{ν} = g_{μρ}Λ_{σ}^{ρ}g^{σν}. A′^{μ}(x) = Λ_{ν}^{μ}A^{ν}(Λ^{−1}(x − a)). Iu kvarskalara ne šanǧas sub Poincaré-a trasformaǰoj. Pseŭd tensoro de unua speco T ↦ det(Λ)Λ_{ρ}^{μ}Λ_{σ}^{ν}T^{ρσ} Pseŭdo tensoroj de dua speco T ↦ sgn(Λ_{ρ}^{μ})sgm(Λ_{σ}^{ν})Λ_{ρ}^{μ}Λ_{σ}^{ν}T^{ρσ} A_{μ}B^{μ} = A^{μ}B_{μ} kvar skalara ∂_{μ} kvargradianto kovarianta ∂′_{i}ϕ′(x′) = Λ̂_{i}^{j}∂_{j}ϕ(x) La ekvacioj en la tensora [formalismo] diriǧas kontraŭvariantaj al vido.

Spac Tempa Ecoj

La trajektoro en la spaca tempo estas x^{μ}(τ) kie τ estas la propra tempo de la sistemo. ds = \sqrt{1 − β^{2}} estas nevarianta per traslacioj. Oni volas obteni la rapideco u^{μ} = d_{s}x^{μ} = (c, v_{x}, v_{y}, v_{z})γ kiu estas kvar veltoro čar ds estas nevarianta kaj x^{μ} kvarvektoro. De la relacio cdt = x oni trovos čiam komponanton depenan. Si oni volas trovi la kvar akcelerado

c^{2}a^{μ} = d_{s}u^{μ} = \frac{d^{2}}{ds^{2}} x^{μ} = γd_{t}((c, v_{x}, v_{y}, v_{z})γ)

Pluen u^{ν}u_{μ} = d_{s}x^{μ}d_{s}x_{ν} = d_{s}s = 1 d_{s}(u^{μ}u_{μ}) = d_{s}1 = 0 = d_{s}u^{μ}u_{μ} + u^{μ}d_{s}u_{μ} ⇒ a^{μ}u_{μ} + u^{μ}a_{μ} = 0. La kvarimpulso p^{μ} = cmu^{μ}

p^{0} = mγc = \frac{mc}{\sqrt{1 − β^{2}}} =^{Taylor} mc(1 + \frac{1}{2} \frac{v^{2}}{c^{2}} + O(\frac{v^{4}}{c^{4}} )) = \frac{mc^{2}}{c} + \frac{1}{2}m\frac{v^{2}}{c}

p^{0}c estas malegala al la kinetika energio per mc^{2} kiu ne povas elmeti čar tiu komponanto devas esti ne variata per Poincaré-a trasformaǰoj kaj en la procesoj inter izolitaj sistemoj la relativeca energio čiam konserviǧas. mc^{2} povas trasformiǧi en energio. Kvarforco F^{μ} = mc^{2}a^{μ}. Oni povas vidi ke F^{μ}u_{μ} = 0 do la energio konserviǧas se la eksternaj forcoj estas nulaj. d_{t}ℰ = F v F^{0} = F^{i}v_{i} F^{0} = 0sseF^{i} = 0.

4.2 Procesoj en Relativeca Mekaniko

4.2.1 Kvar impulso

Defalo

m → m_{1} + m_{2}

kvar impulso p^{μ}. Oni povas konstrui ian nevarianton: p^{μ}p_{μ} = m^{2}c^{2} ṗ_{1}^{μ}p_{2μ} =

[figure: m; m_{1}; m_{2}; θ]

ℰ_{1}ℰ_{2}/c^{2} = p_{1}p_{2} nevarianta. En la rilato en kiu m_{1} estas ferma ℰ = \sqrt{m^{2}c^{4} + c^{2}p^{2}} p_{1}^{μ}p_{2μ} = 1/c^{2} · m_{1}c^{2}\sqrt{m_{2}^{2}c^{4} + p_{2}^{2}c^{2}} =p_{1}^{μ}p_{2μ} = m_{1}\sqrt{m_{2}^{2}c^{4} + c^{2}p^{2}} ⩾ m_{1}m_{2}c^{2}. La masa A^{μ}B_{μ} = AB centro estas laŭ difino la rilato pro kiu p_{1} + p_{2} = 0. Či tiu rilato estas čiam alirebla. Se V^{μ} kun la eco V^{μ}V_{μ} ⩾ 0∃S|V = 0. Oni orietntas la aksoj pro ke V = (V_{x}, 0, 0) ⇒ V_{0}^{2}−V_{x}^{2} = 0 ⇒ |v_{x}/v_{0}| = 1. Oni realigas Lorentz-a trasformo ξ = v_{x}/v_{0} v′ = (v_{0}, 0) γ = 0 (p_{1} + p_{2})_{∗}^{2} =∤* rilate la masa centro∤= 1/c^{2}(ℰ_{1} + ℰ_{2})_{∗}^{2} − (ζ_{1} + ζ_{2})_{∗}^{2}c^{2}. Čar la sistemo estas izolita

p^{μ} = p_{1}^{μ} + p_{2}^{μ},  (4.1)

0 = g^{μ} = d_{t}p^{μ} = 0 \sqrt{(p_{1} + p_{2})^{2}} moniǧas nevarianta maso. (p_{1} + p_{2})_{∗}^{2} = 1/c(ℰ_{1} + ℰ_{2})_{∗}^{2} ℰ_{1∗} = \sqrt{c^{2}p_{1∗}^{2} + m^{2}/_{1}c^{4}} (p_{1}^{2} +p_{2}^{2})^{2} = (m_{1} +m_{2})^{2}c^{4} p^{2} = m^{2}c^{2} ⇒ m ⩾ m_{1} + m_{2}. Partiklaj energio en la masa centro. mc = 1/c(ℰ_{1} + ℰ_{2})_{∗} = 1/c(\sqrt{m_{1}^{2}c^{4} + p_{1}^{2}c^{2}} + \sqrt{m_{2}^{2}c^{4} + p_{2}^{2}c^{2}})_{∗} = (mc − \sqrt{p_{1}^{2} + m_{1}^{2}c^{2}})^{2} = (m_{2}^{2}c^{2} + p_{1}^{2}) m^{2}c^{2} − 2mcℰ_{1}/c + p^{2} + m_{1}^{2}c^{2} + p^{2} + m_{1}^{2}c^{2} + p^{2} ⇒

ℰ_{1} = c^{2} \frac{m^{2} + m_{1}^{2} − m_{2}^{2}}{2m} ,  (4.2)

ℰ_{2} = c^{2}(m^{2} + m_{2}^{2} − m_{1}^{2})/2m, |p|_{∗} = 1/c\sqrt{ℰ_{∗α}^{2} − m_{α}^{2}c^{4}} = c^{2}/4m((m^{2} + m_{1}^{2} − m_{2}^{2}) − 4m_{1}m_{2}). Ne eblas determini la valoro θ. Rilato en la laboratorio S, en la masa centro S_{∗}. ℰ_{∗α} = c^{2}(M + m_{2}^{2} − m_{1}^{2})/2m |p|_{∗} = \sqrt{ℰ_{∗α}^{2} − m_{α}^{2}c^{2}}. En la laboartorio la eblaj valoroj de la impulso estas denterminonta. M moviǧas kun rapideco v

ℰ_{m} = γmc^{2}.  (4.3)

Oni orientas la aksojn (x, y) en kiuj plano iǧas la defalo tra v. La laboratorio moviǧas kun rapideco −v rilate la masa centro. p_{∗c} p_{∗αx} = p_{∗} cos(θ_{∗α}) p_{∗αy} = p_{∗} sin(θ_{∗α}) ℰ_{α} = γ(ℰ_{∗α} + V/p_{∗αx}) = γ(ℰ_{∗x} + V p_{∗} cos(θ_{∗α})) p_{αx} = γ(p_{∗αx} + β/cℰ_{∗α}) = γ(p_{∗} cos θ_{∗α}) + β/cℰ_{∗α} p_{αy} = p_{∗αy} = p_{∗} sin θ_{∗α} p_{αz} = p_{∗αz} = 0. La unika nekonata estas θ′_{α}. Por determini la relazion inter θ′_{α} kaj konataǰoj uziǧas

(\frac{p_{αx}}{γ} − \frac{β}{c} ℰ_{∗α})^{2} = p_{∗α}^{2} cos^{2} θ_{∗}  p_{αy} = p_{∗} sin θ_{∗}  (4.4)

do oni akiras al ekvacio de la elikso per la variantaj (p_{x}, p_{y}) p_{αx}/γ − β/cℰ)∗α^{2} + p_{αy}^{2} = p_{∗α}^{2} aŭ

\frac{1}{γ^{2}p_{∗}^{2}} (p_{αx} − γ \frac{β}{c} ℰ_{∗α})^{2} + (\frac{p_{αy}^{2}}{p_{∗}} )^{2} = 1  (4.5)

kiu provizas la valoron de la centro (d = β/cℰ_{∗α}γ, 0) kaj la maksimuma angulo pro kiu la partikloj ne povas pluiri

d = \frac{β}{c} γℰ_{∗α} > s_{x} = γp_{∗}  β > \frac{cp_{∗}}{ℰ_{∗α}} = \frac{v_{∗α}}{c} .  (4.6)

Angulo

Distribuo de Energio por la Partiklo de Defalo

N Partikloj, defalas ΔN por energioj inter ℰ kaj ℰ + Δℰ. dN → ℰ, ℰ + dℰ havas sia funkcio relativa dN/N(ℰ) = dχ(ℰ) ρ(ℰ) = d_{ℰ} χ(ℰ) ρℰdℰ frakcio de la partikloj kun origino en la laboratorio inter ℰ, ℰ + dℰ. En la masa centro la probablo de transigo dΩ ϕ_{∗}, ϕ_{∗} + dϕ_{∗} θ_{∗}, θ_{∗} + dθ_{∗} estas nedipenda de θ_{∗} kaj ϕ_{∗} dχ = dΩ/Ω_{tot} = dΩ/4π. dχ = q/4πdϕ_{∗}d cos θ_{∗} dχ = \frac{1}{2}d cos θ_{∗} θ_{∗}(ℰ) ℰ = γ(ℰ_{∗} + cβp_{∗} cos θ_{∗}) ℰ_{∗}, p_{∗}, β kostanta. Diferenciante dℰ = cβγp_{∗} cos θ_{∗} ρ(ℰ) = d_{ℰ} χ = dcos θ_{∗}χ(θ_{∗})1/(cβγp_{∗}) per rotacia nevarianco oni povas integigas en ϕ_{∗}. En tiu či kazo estas nedipenda de ℰ. Čar

∫_{ℰ_{min}}^{ℰ_{maks}} ρ(ℰ)dℰ = 1

se ρ(ℰ) ne dipendas de ℰ

ℰ_{maks} = γ(ℰ_{∗α} + V · p_{∗α})  ℰ_{min} = γ(ℰ_{∗α} − V · p_{∗α}) = \frac{1}{γ2vp_{∗}}  (4.7)

Kolizio Elastika

c = 1

Konservo de la kvar impulso. Estas nevariantaj relativecaj I) La skalaraj produktoj p_{1}^{2} = p_{1}^{′2} p_{1}^{2} = p_{1}^{′2} = m_{1}^{2}, p_{2}^{2} = p_{2}^{′2} = m_{2}^{2} p_{1}p_{2} p′_{1}p′_{2} p_{1}p′_{1} … Sek variablo kaj kvar konservoj kial du nedipenda variabloj p_{1} +p_{2} = p′_{1} +p′_{2}. |Mandelstam-aj Variabloj|

s = (p_{1} + p_{2})_{∗}^{2} p_{1}^{2} + p_{2}^{2} + 2p_{1}p_{2} = p_{1}^{′2} + p_{2}^{′2} + 2p′_{1}p′_{2} m_{1}^{2} + m_{2}^{2} + 2p′_{1}p′_{2}
t = (p_{1} − p′_{1})^{2} = (p_{2} − p′_{2})^{2} Transfero de la kvar impulso p′_{1}p_{1} = p′_{2}p_{2}
n = (p_{2} − p′_{1})^{2} = (p_{1} − p′_{2})^{2} p_{2}p′_{1} = p_{1}p_{2}
[figure: m_{1}; m_{2}; m′_{1}; m′_{2}; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; θ_{1}; θ_{2}; θ′_{1}; θ′_{2}]

Oni postulas (2) senmova en la rilato de la masa centro |p_{∗1}| = |p_{∗2}| ℰ_{1∗} + ℰ_{1∗} = ℰ′_{1∗} + ℰ′_{1∗} ko varianta en p_{∗} ⇒ p_{∗} = p′_{∗}

s = (p_{1} + p_{2})^{2} = m_{1}^{2} + m_{2}^{2} + 2\sqrt{p_{∗}^{2} + m_{1}^{2}}\sqrt{p_{∗}^{2} + m_{2}^{2}} = p_{∗}^{2}

(ℰ_{1} + ℰ_{2})^{2} = (\sqrt{p_{∗}^{2} + m_{2}^{2}} + \sqrt{p_{∗}^{2} + m_{1}^{2}})^{2} ⩾ (m_{1} + m_{2})^{2}

t = (p_{1} − p′_{1})^{2} = (ℰ_{1∗} − ℰ′_{1∗})^{2} − (p_{1∗} − p′_{1∗})^{2} = −2p_{∗}^{2}(1 − cos χ) ⩽ 0

. Kalkulo de s kaj t en la laboratorio. La impulso de la partiklo (2) estas 0 p_{2} = 0 ℰ_{2} = m_{2}. Pro la energia konservado: ℰ_{1} + m_{2} = ℰ′_{1} + ℰ′_{2} ⇒ m_{2} − ℰ′_{2} = ℰ′_{1} − ℰ_{1} s = (p_{1} + p_{2})^{2} = m_{1}^{2} + m_{2}^{2} + 2ℰ_{1}m_{2}

t = (p_{1} − p′_{1})^{2} = (p_{2} − p′_{2})^{2} = 2m_{2}^{2} − ℰ′_{2}m_{2} p_{∗}^{2}(m_{1}^{2} + m_{2}^{2} − 2ℰ_{1}m_{2}) = m_{2}^{2}(ℰ_{1}^{2}m_{1}^{2})

p_{∗}^{@} = (m_{1}^{2}(ℰ_{1}^{2}−m_{2}^{2}))/(m_{1}^{2}+m_{2}^{2}−2ℰ_{1}m_{2}), konata p_{1∗} oni eltiras ℰ_{∗1} = ℰ_{1}−p_{∗}^{2}/m_{2}(1− cos χ).

ℰ_{1min} = \frac{ℰ_{1}(m_{1}^{2} + m_{2}^{2}) + 2m_{1}m_{2}}{m_{1}^{2} + m_{2}^{2} + 2ℰ_{1}m_{2}} \frac{ℰ′_{1min} − m_{1}}{ℰ_{1} − m_{1}} = \frac{ℰ′_{1∗}}{ℰ_{1∗}} = (ℰ_{1} − m_{1})(m_{1} − m_{2})^{2}.

En Relativeca kazo ℰ_{1} povas esti arbitre granda. En tiu či esprimo ne aperas m_{2} kaj tial la transigata energio povas esti granda ankaŭ se m_{1} << m_{2}. [...]

Maxwell Lorentz-aj Ekvacioj en Kovarianta Formo al Vido  Malvasta Relativeco

. Trovu la geometera limito korispondanta al čiuj valoroj de p′_{1} p′_{2} en la laboratorio. De la impulsa konservo p = p_{1} + p_{2} analoge al defalo p_{α} α = 1, 2. p_{αx} p_{αy},

1 = \frac{p′_{∗y}}{p_{∗}^{2}} + \frac{1 − v_{∗}^{2}}{p_{α}^{2}} (p′_{αx} − \frac{v_{∗}ℰ_{∗}}{\sqrt{1 − v_{8}^{2}}} )

v_{∗} = |p_{1}+p_{2}|/(ℰ_{1}+ℰ_{2}) = |p_{1}|(ℰ_{1}+m_{2}) = v_{∗} p_{∗}^{2} = (m_{2}^{2}(ℰ_{1}^{2}−m_{1}^{2}))/(m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2ℰ_{1}m_{2})

...

4.3 Maxwell Lorentz-aj Ekvacioj en Kovarianta Formo al Vido

De la nerelativecaj Maxwell-aj ekvacioj oni scias ke E = −∇ϕ B = ∇×A kaj simile al la aliaj kvarvektoroj oni volas krei A^{μ} = ^{t}(ϕ, A) unika potencialo de kiu obteni čiujn kampojn kaj montri kiu estas kvarvektoro. Do oni difinas la |Kvar potencialo| de la elektrik magnetik kampo. Laŭ ∇ × (∇·) = 0 la kvar potencialo estas difinita krom ∇Λ, prefere, A kaj A + ∇Λ aldonas la saman kampon B |Gauge Nevarianteco|. La kampo estas do donita per la relacio

F^{μν} = ∂^{μ}A^{ν} − ∂^{ν}A^{μ}

i = 1, 2, 3 μ = 0, 1, 2, 3 Oni obtenas do E^{i} = F^{0i} = ∂^{0}A^{i} − ∂^{i}A^{0} = ∂^{0}A − ∇ϕ kaj F^{ij} = ∂^{i}A^{j} − ∂^{j}A^{j} = ϵ^{ijkl}∂_{k}A_{l} = ϵ^{ijk}B_{k} do

F = ( \begin{matrix}0 & −E_{x} & −E_{y} & −E_{z} \\ E_{x} & 0 & −B_{z} & B_{y} \\ E_{y} & B_{z} & 0 & −B_{x} \\ E_{z} & −B_{y} & B_{x} & 0 \end{matrix} )

La |Elektromagnetika Tensoro| estas do antisimetrika F^{μν} = −F^{νμ}.

4.3.1 Maxwell-aj Ekvacioj

Oni povas obteni la Maxwell-aj ekvacioj per ϵ_{μνσρ}∂^{μ}F^{νσ} = ϵ_{μνσρ}∂^{μ}(∂^{r}hoA^{σ}−∂^{σ}A^{ρ}) = ϵ_{μνσρ}∂^{μ}∂^{r}hoA^{σ} − ϵ_{μνσρ}∂^{μ}∂^{σ}A^{ρ} = ϵ_{μνσρ}∂^{μ}∂^{r}hoA^{σ} + ϵ_{μνρσ}∂^{μ}∂^{ρ}A^{σ} = 2ϵ_{μνρσ}∂^{μ}∂^{ρ}A^{σ} = 0 čar estas la produkto inter ia tensoro simetrika ∂^{μ}∂^{ν} kaj ia antisimetrika ϵ_{μνσρ}. Devolvinte ϵ^{0ijk}∂_{i}F_{jk} = −2∂_{i}B^{i} = −2∇B = 0 kaj ϵ^{iμνρ}∂_{μ}F_{νρ} == 2(∂_{0}B +∇×E) = 0

4.3.2 Mat: Distribuoj

\underline{Mat}

La distribuoj estas partikla klaso de funkcioj, konstruita por ekzemplo sur C(ℝ), de

distribuo▷ una sukcesio de funkcioj ℒ^{p}(ℝ) (distribuo)

f_{n}(x) = \frac{n}{2}Θ[ − \frac{1}{n}, \frac{1}{n}](x) ∈ ℒ^{q}(ℝ) ⇒ ||f_{n}||_{q} = (\frac{n}{2})^{q− \frac{1}{q}} ||f_{n}||_{∞} = \frac{n}{2}

La f_{n} estas funcionalaj ne limitaj kaj linearaj sur ℒ^{p} kun p koniugo de q. Lineara funcionalo f de 𝒟 estas distribuo sse plitenas unu de tiuj ekvalentaj relacioj: I) La

<, > Skalara produkto sukcesio numerika {< f_{n}, π >} iras al nulon per čiu suksecio {π_{n}} konvergante al la nulon de 𝒟(U) II) Per čiu aro [kompatto] K en U eksista intero s ≥ 0 kaj plusa kostanto α_{k} tiu ke

| < f, π > | ≤ α_{k} ∑_{|\underline{j}|≤s} pk ; \underline{j}(π) ∀π ∈ 𝒟_{k}(U)

Ekzercoj  Malvasta Relativeco

D\underline{j} = ∂\underline{j} = ∂_{x_{1}}^{j_{1}}, ∂_{x_{2}}^{j_{2}}, … kun s ordo de la distribuo kaj p_{k\underline{j}}(ϕ) = sup_{x∈K}|D\underline{j}ϕ(x)|. f nomiǧas distribuo asociita al la funkcio ϕ kiu estas nomata denseco de la distribuo f. Se ϕ eksistas la distribuo estas regolara, sigulara [altrimenti].

De tiu oni povas vidi ke la distribuoj devas havi iu funkcio π kiu estas funkcio de la |Spaco Proba| 𝒮 pro kalkul ilin. La |Funkcio Proba| estas funkcio tre regulara kiu iras al nulon al la senfino pli de iu ajn potenco, prefere siajn derivaǰoj konvergiǧas čiuj.

Pro ekzemplo oni povas kalkuli la derivaǰo de iu distribuo pasinte la derivaǰo sur la proba funkcio

< ∂_{x}f, π > (x) =^{propartoj} fπ|_{−∞}^{∞}− < f, ∂_{x}ϕ > (x) = 0− < f, ∂_{x}ϕ > (x)

La pli uzita distribuo estas la |Dirac-a δ| kiu esta ekstas eksprimebla

- Fourier-a trasformo δ(t − t′) = ∫ dωe^{ıω(t−t′)}

- “Salto” de la polo ∇^{2} \frac{1}{|x−x′|} = −4πδ(x − x′)

- Simbolika funkcio

La Dirac-a δ estas ankaŭ uzita kiel derivaǰo de la karakterika funkcio kaj pro eksprimi la parto principala

√

4.3.3 Lorentz-aj Ekvacioj

4.3.4 Trasformaǰo de la Kampo

4.4 Ekzercoj

◁Reacio

(Reacio) γ + T → p + n + n Oni sercas la energio de sojlo kial la proceso iǧas. T senmova en la laboratorio. p^{μ}p_{μ} estas ne varianta kaj la kvar impulso konserviǧas: (p_{γ} + p_{T})^{2} = (p_{p} + p_{n_{1}} + p_{n_{2}})^{2} = m_{p}^{2} + 2m_{n}^{2} + 2p_{p}p_{n_{2}} + 2p_{p}p_{n_{1}} + 2p_{n1}p_{n_{2}} ⩾⩾ m_{p}^{2} + 2m_{n}^{2} + 2m_{n}^{2} + 2m_{p}m_{n} + 2m_{p}m_{n} = p_{p}p_{n} = ℰ_{p}ℰ_{n} − p_{p}p_{n} ⩾ m_{p}m_{n}

(m_{p} + 2m_{n})^{2} (p_{p} + p_{T})^{2} = (m_{p} + 2m_{n})^{2} + (ℰ_{γ} + ℰ_{T})^{2} − (p_{γ} + p_{T})^{2}|_{lab} == ℰ_{γ}^{2} + ℰ_{T} = \sqrt{p_{T} + m_{T}^{2}}

p_{γ}^{2} = |p_{γ}|^{2} = (ℰ_{T} + m_{T})^{2} 2m_{T} ℰ_{γ} − ℰ_{γ}^{2} + m_{T}^{2}

ℰ_{sojlo} = \frac{(m_{p} + 2m_{n})^{2} − m_{T}^{2}}{2m_{T}}  (4.8)
(Defalo)  π^{+} → μ^{+} + ν_{μ}  ◁Defalo

m_{π} = 140MeV m_{μ} = 106MeV m_{e} = 0, 51MeV. e, ν_{e},μ, ν_{μ}. La π estas formata de e kaj μ du quark.

1) La maksima angulo inter π μ: d = γℰ′_{μ}v v = v_{π} θ_{maks}∃ se s_{x} = γp′_{μ}

v > \frac{p′_{μ}}{ℰ′_{μ}} = v_{μ}  (4.9)

v_{π} = p_{π}/ℰ_{π} = pi_{π}/\sqrt{m_{π}^{2} + p_{π}^{2}} = 1/\sqrt{1 + (m_{π}/p_{π})^{2}} ≃ 1/\sqrt{1 + 1/16} ≃ 1 − \frac{1}{2} · 1/16 ≃ 1 − 0.03 = 0.97.

p^{′2} = c^{2}/4m^{2}((M^{2} + m_{1}^{2} + m_{2}^{2}) − 4M^{2}m_{1}^{2})  (4.10)

, M → m_{1}+m_{2} M −m_{π} m_{1} = m_{γ} = 0 m_{2} = m_{μ} p^{2′} = (m_{π}^{2}−mμ^{2})/4m_{π}^{2}

p′_{μ} = (m_{π}^{2} − m_{m}u^{2})/(2m_{π}) v′_{μ} = p′/\sqrt{p^{2′} + m_{μ}^{2}} = (m_{π}^{2} − m_{μ}^{2})/2m_{π} · ((m_{π}^{2} −

m_{μ}^{2})^{2}+4m_{μ}^{2}m_{π}^{2})^{− \frac{1}{2}} ·2m_{π} = (m_{π}^{2} −m_{μ}^{2})/(m_{π} +m_{μ}) = 0.27 Eksistas la maksimuma angulo v′_{μ} < v sin θ_{maks} = p′_{μ}\sqrt{1 − v^{2}}(vm_{μ}) = (m_{π}^{2} − m_{μ}^{2})/γ(2m_{π}vm_{μ}).

θ_{maks} = arcsin (\frac{p′_{μ}}{γβm_{μ}} ) = arcsin (\frac{m_{π}^{2} − m_{μ}^{2}}{2m_{π}p_{π}} ).  (4.11)

II) La energia intervalo en kiu oni trovas μ: ℰ_{μ} = (ℰ′_{μ} + βp′_{μ} cos θ′)γ ℰ_{maks} = γ(\sqrt{p_{μ}^{2} + m_{μ}^{2}} ± v_{π} · p′) v = p_{μ}/\sqrt{m_{π}^{2} + p_{π}^{2}}

p′_{μ} = (m_{π}^{2} − m_{μ}^{2})/2m_{π} ℰ_{maks,min} = 1/2m_{π}^{2}((m_{π}^{2} + m_{μ}^{2})\sqrt{p_{π}^{2} + m_{π}^{2}} ± p_{π}(m_{π}^{2} − m_{μ}^{2})) (1−v^{2}) = m_{π}^{2}/(m_{π}^{2} +p_{π}^{2}) γ = \sqrt{m_{π}^{2} + p_{π}^{2}}/m_{π} p_{μ}^{2} +m_{μ}^{2} = (m_{π}^{4} +m_{μ}^{4} − 2m_{π}^{2}m_{μ}^{2})/am_{μ}^{2} + m_{μ}^{2} = (m_{π}^{2} + m_{μ}^{2})/4m_{π}^{2}.

ℰ_{maks,min} = \frac{\sqrt{m_{π}^{2} + p_{π}^{2}}}{m_{π}} (\frac{m_{π}^{2} + m_{μ}^{2}}{2m_{π}} ± \frac{p_{π}}{\sqrt{m_{π}^{2} + p_{π}^{2}}} · \frac{m_{π}^{2} − m_{μ}^{2}}{2m_{π}} )  (4.12)

290MeV ⩽ ℰ_{μ} ⩽ 500MeV

III ) la Probableco ke |p_{π}| estas komprena inter 400 − 450MeV/c: La probableco estas kostanta energie

p = \frac{ℰ_{μ}(p_{μ} = 450MeV) − ℰ_{μ}(p_{μ} = 400MeV)}{ℰ_{maks} − ℰ_{min}}.  (4.13)

Reacio▷

(Reacio) I ) π^{0} → γ + γ II ) γ + p → p + π^{0} III ) π^{0} → γ + γ

I ) Determinu la energio minimuma ke havu π^{0} en la reacio I ) en K por ke la defalo

produkto lokagas la duan reacion.

p_{p} = 0 (ℰ_{k} + ℰ_{p})^{2} − (p_{γ} + p_{p})^{2} == ℰ_{γ}^{2} + m_{γ}^{2} + 2ℰ_{γ}m_{γ} − ℰ_{γ} m_{γ} = 0 ⇒ |p_{γ}| = ℰ_{γ} ℰ_{γsojlo} = (m(m_{p} + m_{π})^{2} − m_{p}^{2})/2m_{p}. En la masa centro |p_{∗1γ}| = |p_{∗2γ}|, Per la energia konservo ℰ′_{π} = ℰ′_{1γ} + ℰ_{2γ} ⇒ ℰ′_{γ} m_{π} + 2ℰ_{γ} ℰ − γ en la laboratorio K ℰ_{sojlo} = ℰ_{γ} = γ(ℰ_{∗γ} + vp_{∗}) = ∤ vrapideco en la masa centro ∤ = \frac{1}{2}m_{π}γ(1 + v). γ eligita antaŭen. Oni konas ℰ_{γ} sojlo ℰ_{γs} = ℰ_{γmaks}(v) ⇒ v rapideco de π^{0} en K (1 − v_{6})ℰ_{γs}^{2} = m_{π}^{2}/4 · (1 + v)^{2},

v = \frac{(2ℰ_{γs}/m_{π})^{2} − 1}{(2ℰ_{γs}/m_{π} + 1}

ℰ_{π} = \frac{m_{π}c^{2}}{\sqrt{1 − \frac{v^{2}}{c^{2}}}}

II ) Trovu la minimuman angulon formita de γ en la defalo de π^{0} de la dua produkto en sojlo. Oni kontrolas se esistas la minimuma angulo, prefere v′ < v_{∗γ} = c, sekve eksistas tan(θ_{min}/2) = v_{∗γ}/v′ · \sqrt{1 − v^{′2}} = 1/v′ · \sqrt{1 − v^{′2}}. Čar la reakcio okazas en sojlo v′ estas v_{∗}.

v′ = \frac{|p_{γ} + p_{p}|}{ℰ_{γ} + ℰ_{p}} = \frac{|p_{γ}|}{ℰ_{γ} + ℰ_{p}} = \frac{ℰ_{γ}}{ℰ_{γ} + m_{p}} .

Kiam E_{γ} = ℰ_{γs}.

Angula trasformo▷

(Angula trasformo) En ia sistemo de rilato inercia moviǧas kun rapideco v longe la akso x la angula spegulo kiu facoj havas valoroj egalaj rilate la akso x. Lume fonto, senmova rilate K, eligas

[figure]

fotonoj en x direkcio.

I) Oni determini l’angulo ϕ ke la facoj devas havi kial la fotonoj, eligitaj sur ambaŭ la facoj, movas longe x (en la oposita verso laŭe tiu de incido): La tanǧo de ϕ reprezentas y/x-n. La tan ϕ_{0} representas K_{0}-n, sistemon solidan al spegulo. y = y_{0} x_{x} = x/γ, tan ϕ = y_{0}γ/x_{0} = γ II ) Determinu la angulo θ formita da la radio refleksa la unua fojo kun la faco de la

spegulo en kiu okazis la reflekso. θ = ψ − ϕ tan ψ = v_{y}/v_{x} v rapideco de la fotono poste la reflekso en K.

[figure: ϕ; θ; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .]

v_{0} = (0, 1, 0) v_{0} en K_{0},

v_{x} = \frac{v_{0x} + v}{1 + v_{0x}v}  v_{y} = \frac{v_{0y}\sqrt{1 − v^{2}}}{1 + v_{0x}v}  (4.14)

v_{0x} = 0 v_{x} = V v_{y} = \sqrt{1 − v^{2}} θ = ψ − ϕ = arctan(\sqrt{1 − v^{2}}/v) − arctan(1/\sqrt{1 − v^{2}}).

◁Kampo Elektro Magnetiko

(Kampo Elektro Magnetiko) X → e^{+} + e^{−} La reacio okazas en plano perpendikla al la direkcio de ia kampo magnetiko kostanta kaj uniforma de modulo B. X neŭtra. Oni mizuras la radioj r_{+} kaj r_{−} de la cirkonferencoj kaj la komenca angulo α kaj la distanco L inter la punkto de produkcio kaj neniigo de X.

I) Trovu la maso de la partiklo X:

[figure: X; e^{−}; e^{+}; p_{+}; p_{−}; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; α; B]

Konservo de la kvar impulso m_{X}^{2} = (p_{+}+p_{−})^{2} = (ℰ_{+}+ℰ_{−})^{2}−(p_{+}+p_{−})^{2} = ℰ_{+}^{2}+

ℰ_{−}^{2}+2ℰ_{+}ℰ_{−}−p_{+}^{2}−p_{−}^{2}−2p_{+}p_{−} = m_{e}^{2}+|p_{+}|^{2}+m_{e}^{2}+|p_{−}|^{2}+2\sqrt{(m_{e}^{2} + p_{+}^{2})(m_{e}^{2} + p_{−}^{2})}− |p_{+}|^{2} − |p_{−}|^{2} − 2|p_{+}| · |p_{−}| cos α.

II ) Tempo de vivo de X:

En kampo B ⊥ al la trajektoro |p_{±}| = eBr_{±} τ_{X} = t\sqrt{1 − v^{2}} = l/v\sqrt{1 − v^{2}} kie v estas la rapideco de X en la laboratorio, t la tempo de vivo en la laboratorio. τ = \sqrt{1 − v^{2}}/(m_{X}v) · (m_{X}v) = L|p_{X}| · m_{X},

p_{X} = p_{1} + p_{2}  (4.15)

, |p_{X}|^{2} = p_{+}^{2} + p_{−}^{2} + 2p_{+}p_{−} = (eB)^{2})r_{+}^{2} + R_{−}^{2} + 2r_{+}r_{−} cos α do

τ_{x} = \frac{Lm_{X}}{eB\sqrt{r_{+}^{2} + r_{−}^{2} + 2r_{+}r_{−}}}

Kvantuma Fenomenologio

5.1 Luma Elmito

Por ia šnuro la armonikaj ondoj estas λ = 2L/n_{x}, čiu nomiǧas n_{x}-modo. La kvanteco de tiuj modoj estas priskriebla per 2L/(λ + ΔΛ) = n_{x} − Δn_{x}. Se L >> Δλ Δn_{x} = −2LΔλ/λ^{2}. Tiu valoras ankaŭ por la plano ê_{y} se la šnuro dirigiǧas en la ê_{z} direkcio Δn_{l} = 2Δλ/λ^{2}|ê_{x} + 2Δλ/λ^{2}|ê_{y} = 4Δλ/λ^{2} čar havas du liberaj gradoj. La modoj de vibradoj en kvadrato de lato L estas por elektrmagnetik ondo estas

E_{z} = f(z, L) sin \frac{n_{x}π}{L} q_{x} sin \frac{n_{y}π}{L} q_{y}

prefere, la kvanto por kiu ondo povas reveni al la inicialan punkton en finitaj refleksadoj. La unua armonika modo estas 2L/λ do la oni enponas la kondicon ke n_{x}^{2} +n_{y}^{2} = 4L^{2}/λ aŭ en tri dimensio n_{x}^{2} +n_{y}^{2} +n_{z}^{2} = 4L/λ_{unua}. La sekvantaj armonikaj estas ene. Laŭ supre oni povas vidi ke la numeroj ene al la sfero de radio 2L/λ de sole unu oktanta estas

n = \frac{4}{3} \frac{1}{8} \frac{2L}{λ_{unua}} \frac{4L}{λ_{unua}^{2}} = \frac{4π}{3} \frac{L^{3}}{λ_{unua}^{3}}

do la diferencialo de tiu numero estas dn = 4πdλ/λ^{4}

Oni volas konsideri la elmito de korpo varma. Oni konstruas kavon aŭ fornon de omoǧena materialo de kiu oni elprenas traskura parto per malgranda truo nomiǧita |Korpo Nigra|. Oni povas konsideri ke tiu elmito ne devas depeni por la ȟemia strukturo de tia korpo čar la temperaturo plene difinas la ond longeco de la elktr magnetika ondo elmetita. La propago de tiu ondo devas esti isotropa čar oni ne povas konstrui maşino kiu laboras sur diversaj temperaturaj absorbiloj violinte la dua termodinamik pricipo, prefere, agante laboron sine kaloro. Diversaj fizikistoj devokris empirik leǧojn kiu finfine estos plene priskribita in kohera formo per la Plank-a leǧo. [1879 Stefan: I = σ𝒯^{4} σ = (π^{2}/60)k^{4}/ℏ^{3}c^{2} = 5.670 · 10^{−8}[W/(m^{2}K^{4})]. Wien:

[1893] la unukolora elmita povo por nigra korpo estas I_{λ} := λ^{−5}f(λ𝒯) = 𝒯^{5}f′(λ𝒯) do f(λ𝒯) = λ^{5}𝒯^{5}f′(λ𝒯).

Planck konsideris la atomoj de la korpo nigra kiel aromonikaj osciladoj de propra karaktera frekvenco distribuitaj laŭe la Maxwell-Boltzmann distribuo ja la fiksa

ω = \sqrt{k/m} temperaturo. ℰ = p^{2}/2m + k/2 · x^{2} ΔN = ∑_{n=0}^{∞} τωℏ

5.2 Fotoelektrika Efekto

Inicie estas malkovritaj diversaj efektoj de interacioj inter la lumo kaj kuranto. Hertz [1887] dekovris ke la ultraviolekta lumo ǧenerita per [scintille] de oscilanta cirkuito faciligis la pasado de kuranton inter la platoj de [iato scintillatore]. Hallwacs dokovris ke ia plato negativ polarigita perdis sian šarǧon se lumigita. Stoletow, uzinte du

Compton Efekto  Kvantuma Fenomenologio

kondukt platoj fronte ponitaj, vidis ke la kuranto pasis pli facile se plato estis luminita en la kuranto verso. Elster kaj Geiteldekovris ke tiu efekto depenis por la ȟemia strukturo de la materialoj, fakte la pli elektropositvaj estas la pli fotoelektrikaj kiel la alkalaj.

5.3 Compton Efekto

Compton [1923] montris ke ankaŭ la fotono havas angulan momanton kiu povas transferi al la elektrono laŭe la relacio

\frac{ℏω}{c} = \frac{ℏω_{θ}}{c} cos θ + p cos ϕ|ê_{x} 0 = \frac{ℏω_{θ}}{c} sin θ + p sin ϕ|ê_{y}

por elektrono elmetita de p momanto elmetita al la angulo ϕ en la iniciala nemova elektrona rilato. Do

\frac{h}{λ} − \frac{h cos θ}{λ_{θ}} = \frac{m_{0}v cos ϕ}{\sqrt{1 − v^{2}/c^{2}}} \frac{h}{λ_{θ}} sin θ = −\frac{m_{0}v sin ϕ}{\sqrt{1 − v^{2}/c^{2}}}

suminte kaj kvarinte ℰ)ℏω = ℏω_{θ} + m_{0}(γ − 1)c^{2}

h/λ − h/λ_{θ} + m_{0}c = γm_{0}c

m_{0}cγ =^{2} \frac{h^{2}}{λ^{2}} + \frac{h^{2}}{λ_{θ}^{2}} − \frac{2h^{2}}{λλθ} + 2m_{0}ch · ; ( \frac{1}{λ} − \frac{1}{λ_{θ}} ) + m_{0}^{2}c^{2} \frac{h^{2}}{λ^{2}} + \frac{h^{2}}{λ_{θ}^{2}} − \frac{2h^{2}}{λλ_{θ}} cos θ = m_{0}^{2}c^{2}(γ − 1)^{2}

noi konfrontas la du ekvacioj kaj de 2h^{2}/λλ_{θ} · (1 − cos θ) − 2m_{0}ch(1/λ − 1/λ_{θ}) = 0 oni obtenas finfine.

Δλ = λ_{θ} − λ = \frac{h}{m_{0}c}(1 − cos θ) =^{n} 0.02426(1 − cos θ)[Å]  (5.1)

Kvantuma Mekaniko

6.1 Malsamaǰoj

En la kvantuma mekaniko oni havas gravajn malsamaǰojn rilate la klasikan mekanikon.

La procedo plene šanǧas čar, por la nedermineco, oni ne associigas valoron al la dinamika variablo sed la dinamika variablo havas spektron de valoroj ke la mezuro aliras laŭe sia distribuo. Sole la mezuro povas doni valorojn al la variablo dinamika kaj modifas la staton de la sistemo. La variablo dinamika ne havas valorojn ǧis ne estas mezurita kaj čia antaŭvido estas de probabla tipo. Al čiuj valoroj de la spektro kongruas memstaton de la ond funkcio.

La sola funkcio estas la ond funkcio kies kvadrata modulo priskribas la probabla denso de la partiklo. Čia variablo estas akirita per la akcio de operatoro sur la ond funkcio. La |Operatoro| agas sur vektorajn spacojn tiu ke la ond funkcio devas esti dekompona en otogonala bazo sur senfina vektora spaco. Sercante le solvon de diferenciala ekvacio oni do sercos funkcion ∈ ℒ^{2} kiu estas isomorfa al Hilbert-a spaco. La ond funkcio havu la ecoj de ia ondo, tiel priskribita en la čapitro pri la ondoj; estu funkcio sole de parametro (α · x − βt + ϕ).

Ia ond funkcio estas priskribebla en la formo

Ψ = Ae^{ı \frac{xp−ℰt}{ℏ}}  (6.1)

Oni povas deduki la parametroj ∂_{x}Ψ = ıp_{x}Ψ ∂_{x}^{2}Ψ = −ı/ℏ^{2} · p_{x}^{2}Ψ ∂_{t}Ψ = −ı/ℏ · ℰΨ kaj akiri la |Schroedinger-a Ekvacio|

−\frac{ℏ^{2}}{2m}∂_{x}^{2}Ψ + 𝒱Ψ = −\frac{ℏ}{ı}d_{t}Ψ  (6.2)

Si la potencialo estas temp nedipenda kaj la energio kostanta oni povas faktoriǧi la ond funkcio Ψ(x, t) = ψ(x)f(t). La akcio de la operatora donas al la variablo o valorojn kiu formas aron nomatan |Spektro|-n. La Spektro povas esti diskreta kaj kontinua, la valoroj de o en la vektora prezento estas la memvaloroj kaj la funkcio ke solvas la Schrödinger-an ekvacion estas memvektoroj por diskret spektro aŭ memfunkcioj kontinue. La memvektoroj estas bone priskribita per la lineara alǧebro kun ǧiaj iloj tiel traco, determinanto … La memfunkcioj estas anstataŭe nature definita per la funkcionala priskribo kiu operas de spacoj vektoraj sur kampojn. La numero n kiu determinas univoce iu valoro o_{n} de ǧia spektro estas la |Memstato| kaj ℋ, pro sia diseco, estas dekomponata en siajn |Memspaco|-jn ℋ = ⨁_{a∈Sp(𝒜)} ℋ_{a}.

6.2 Ekvacio laŭ la memvaloroj

En kvantuma mekaniko čia dinamika parametro estas kalkulita per la ekvacio laŭ la aŭ tovaloroj

Ô|ψ >= o|ψ >

Ekvacio laŭ la memvaloroj  Kvantuma Mekaniko

kie eksprimas la valoroj de iu variablo kiel memvaloroj de la ago de la operatoro sur vektoron, prefere, la ond funkcio esprimita en ia bazo.

6.2.1 Mat: Vektoro

\underline{Mat}

Iu vektoro v estas prezentigebla per ia bazo {e_{1}, e_{2}, …} de ortonarmalaj versoroj multuplikataj kun {c_{1}, c_{2}, …} koeficentoj. Oni definas |v⟩, vektoro de la Hilbert-a spaco nomiǧita |ket|, sur bazon a_{i} kaj ⟨v| (|bra| ⟨·|) estas la sia transpozo. |v⟩^{†} = ⟨v|.

(ô|v⟩)^{†} = ⟨v|ô^{†}
√

6.2.2 Mat: Operatoroj

\underline{Mat}

La operatoroj estas lineraj funkcioj de vektoraj en vektoraj spacoj. La |Vektora Spaco| estas priskribita per

- |ϕ⟩, |ψ⟩ ∈ S |ϕ⟩ + |ψ⟩ ∈ S asocia kaj komuta
- havu nula vektoro |ϕ⟩ + |0⟩ = |ϕ⟩
- inverso ∀|ϕ⟩∃ − |ϕ⟩ : |ϕ⟩ + (−|ϕ⟩) = |0⟩
- lineara c|ϕ⟩ = |cϕ⟩

◁Vektoraj Spacoj

(Vektoraj Spacoj) ℂ ℝ ℙ(ℂ) polinomo, ℂ^{n} ℙ^{n}(ℂ).

La operatoro estas prezentita kiel matrico kiu operas sur la vektorojn (Â|ψ⟩)_{j} = ∑_{i} a_{ij}ψ_{i}. Tiu povas esti:

- isomterika ||U|ψ⟩|| = |||ψ⟩|| = ⟨Uψ|Uψ⟩ = ⟨ψ|U^{†}U|ψ⟩
- Limita ∃c ∈ ℝ|||A|ψ⟩|| = c|||ψ⟩||
- Memaldonita ⟨Aϕ|ψ⟩ = ⟨ϕ|Aψ⟩
- Hermite-a ⟨Aϕ|ψ⟩ = ⟨ϕ|Aψ⟩ ∧ D(A) = D(A^{†})

Oni povas pluen dekomponi operatoron en sumo de ǧiaj memvaloroj sur ǧiaj memspacoj kun nihilpotenta matrica resto. Oni povas vidi ke la dekompono en memvaloroj estas simetrie nevarianta do la determinanto kaj la traco de la matrico en iu ajn prezento estas la produkto kaj la sumo de la memvaloroj

√

Ô estas operatoro kiu agas sur la ond funkcio kaj o estas la valoroj de la spektro de la variablo dinamika presentiǧas per la operatoro. (Posicio) < Qψ > (x) = xψ(x) ◁Posicio ne limita en ℒ^{2}(ℝ), Hermite-a. (Pareco) La operatoro de pareco šanǧas la signo al la ◁Pareco variablo, P̂f(x) = f(−x), estas operatoro unueca, limita, Hermite-a kun memvaloroj ±1 kaj estas prezentigebla per e^{−∂_{x}}. ◁Traslacio

Estas operatoro kiu transagas la variablo de iu kvanteco, limita, unueca, sed ne Hermite-a, eksprimebla per e^{l∂_{x}} kun at̆ovaloroj e^{2πnıl/a} en la rondo de radio a. Si la komuto de du operatoroj estas c-numero (kostanto) oni povas vidi ke [Â, B̂] := c

[Â, B̂^{n}] = B[Â, B̂^{n−1}] + [Â, B̂]B̂^{n−1} = cnB̂^{n−1} + cB^{n−1} = B̂^{n−1}c(1 + n)

ǧeneraligante ∤ f′(Â) = ∑_{n} c_{n}nÂ^{n−1} ∤ m = n − 1

[f(Â), B̂] = ∑_{n=0}^{∞} c_{n}[Â^{n}, B̂] = c ∑_{n=0}^{∞} c_{n}Â^{n−1}(1 + n) = c ∑_{m=0}^{∞} c_{m+1}mÂ^{m} = cf′(Â)

Oni definas do la operatoro de traslacio kiel

[B̂, e^{−ξÂ}] = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−ξ)^{n}}{n!} [B̂, Â^{n}] = ∑_{m=0}^{∞} \frac{(−ξ)^{m+1}}{(m + 1)!} (−1)mcÂ^{m} = ξce^{−ξÂ}

Potenciala Kavo  Kvantuma Mekaniko

[B̂, e^{−ξÂ}] = Be^{−ξÂ}−e^{−ξÂ}B̂ e^{ξÂ}[B̂, e^{−ξÂ}] = e^{ξÂ}B̂e^{−ξÂ}−B̂ e^{ξÂ}cξe^{−ξÂ} = e^{ξÂ}B̂e^{−ξÂ}− B

e^{ξÂ}B̂e^{ξÂ} = B̂ + cξ  (6.3)

△ Finfine ψ estas la ondo funkcio de kiu oni povas deduki čia dinamika variablo. La pli grava ekvacio enketinda esta la ekvacio de Schoedinger

H|ψ >= ℰ|ψ >

kie H estas operatoro diferenciala prezentas Hamilton-an ekvacion ke klasike estas

H = ∑_{i} \frac{p_{i}^{2}}{2m} + V (x).

Pro De Broglie-a relacio p⃗ = hk⃗ oni povas prezenti p⃗ per la variablo x⃗ čar k⃗ reciprokas x⃗-n kaj sekve estas prezentigebla per la Fourier-a trasformo

Ψ(x⃗) = \frac{1}{ℏ} ∫ ψ(p⃗)e^{(ℰt−p⃗x⃗)/iℏ} d^{3}p.

Pro tio oni dedukas la ekvacio de Schroedinger

iℏ\frac{d}{dt}Ψ_{t}(x⃗) = ∫ \frac{p^{2}}{2m}ψ(p⃗)e^{(ℰt−p⃗x⃗)/iℏ} d^{3}p

Dume

Ψ_{t}(x⃗) =^{∇x⃗} ∫ −\frac{p}{iℏ}ψ(p⃗)e^{(ℰt−p⃗x⃗)/iℏ} d^{3}p =^{∇x⃗} ∫ \frac{p^{2}}{ℏ} ψ(p⃗)e^{(ℰt−p⃗x⃗)/ıℏ} d^{3}p

Kiu estas la ekvacio Scroedinger-a se

ıℏd_{t}Ψ_{t}(x⃗) = ( − \frac{ℏ^{2}}{2m}∇^{2} + V (x))Ψ_{t}(x⃗).

6.3 Potenciala Kavo

La potenciala kavo estas definita per iu potencialo nulas inter [−a, a] kaj senfina alie. La ekvacio de kontinueco trudas ke la ǧenera solucio ψ(x) = A sin(k⃗x⃗) + B cos(k⃗x⃗) egalu en la punktoj −a^{−} kaj −a^{+}, kaj simile en a, kie la solukcio estas nula pro la presenco de senfina potencialo. Ia solucio devas havi k = nπ/a kaj sinusoj termoj por n para kaj cosinusoj por n nepara. Oni povas traslaci la ekvacio de [−a, a] al [0, L] tie L = 2a. La termoj estas tiel sole sinusaj kaj la nedimensiigita termo, kiu usiǧas por

[figure: −a; a]

havi la koeficentoj de la Fourier-a evolvo sine dimensio, šanǧas de \sqrt{2/a} al \sqrt{1/L}. Do nia solucioj estas

ψ_{n}(x) = c_{n}\sqrt{\frac{2}{L}} sin \frac{2πnx}{L}.

[figure: 0; L]

Mez Valoro

Oni do facile kalkulas la mez valoro de iu operatoro b̂ kiel < b̂ >:=< ψ|b̂|ψ >. Specife, la energia mez valoro estas < Ĥ >= π^{2}ℏ^{2}/2mL ∑_{n} n^{2}c_{n}^{2}. La probablo per iu memstato estas 𝒫_{n} = |c_{n}|^{2}. Se oni mizuras la energio de la partiklo ne ekzistas plu alia memstato ekster tiu mizurata. Oni devas kalkuli la probablo de nove čar tiu valoro havas čiu probablo.

Diverse oni povas konsideri la probablo de iu memstato kiel sia |c_{n}|^{2} por eco de la ortonormala dekompono. Si oni mizuras la posicio de la partiklo oni devas rekalkuli la funkcio en sia intervalo de čeesto per < ψ_{n}|ψ(t) > tie ψ(t) estas la tempa evoluo ψ(t) = ∑_{n} e^{ℰ_{n}t/ıℏ} ψ_{n}^{t_{0}}. Oni povas vidi ke čia solucio estas nevarianta por rilativa faza termoj čar iu kontribuo de formo e^{−ıωt} en la skala produkto (ψ^{∗}, ψ) malaperas. Oni povas forigas unu faza termo. Ekzemple, si la ond funkcio havas sole i-vica kaj j-vica termoj la solucio estas ψ(t) = ψ_{i} + ψ_{j}e^{ωt/ıℏ} tie ω = ℰ_{j} − ℰ_{i}. Pareco en tia kavo la solucio havas tia pareco: ψ_{n}(−x) = (−1)^{n}ψ(x). Čiam la potencialo estas simetrika oni havas periodikajn funkcionojn čar V (−x) = V (x), ψ(−x) kaj ψ(x) estas solucioj de la sama ekvacio:

( − \frac{ℏ^{2}}{2m} \frac{d^{2}}{dx^{2}} + V (x))ψ(±x) = ℰ_{n}ψ(±x)

kaj čia funkcio estas rapresentita per ψ(x) = 1/2(ψ(x) + ψ(−x)) + 1/2(ψ(x) − ψ(−x)).

|Probabla Denseca Kuranto|

j = −\frac{ıℏ}{2m}(ψ^{∗}d_{x}ψ − ψd_{x}ψ^{∗}) = 2ℜ( − \frac{ıℏ}{2m}ψ^{∗}d_{x}ψ)  (6.4)

Se ψ = ψ_{1} + ıψ_{2} oni povas skribi j kiel j = ℏ/m(u′_{1}u_{2} + u_{1}u′_{2} Se z_{1} kaj z_{2} estas solvoj de siaj diferenzialaj ekvaciojn, z̈_{1} + F_{1}(t) + z_{1} = 0 z̈_{2} + F_{2}(t) + z_{2} = 0 oni montras la |Wronsky-a Teoremo|

(z_{1}ż_{2} − z_{2}ż_{1}|_{a}^{b} = ∫_{a}^{b} (F_{1}(t) − F_{2}(t))z_{1}z_{2}dt  (6.5)

Pareco

en tiu kavo la solucio havas parecon (aŭ la vektoroj estas at̆uovektoroj por la opertoro pareco): ψ_{n}(−x) = (−1)^{n}ψ(x). Kiam la potencialo estas simetrika oni havas periodikajn funkcionojn čar V (−x) = V (x), ψ(−x) kaj ψ(x) estas solucioj de la sama ekvacio:

( − \frac{ℏ^{2}}{2m} \frac{d^{2}}{dx^{2}} + V (x))ψ(±x) = ℰ_{n}ψ(±x)

kaj čia funkcio estas rapresentita per ψ(x) = 1/2(ψ(x) + ψ(−x)) + 1/2(ψ(x) − ψ(−x)). ◁Potenciala Kavo

Oni havas partiklon en tia potenciala kavo. En tiu kavo la ond funkcio estas ne degenerinta kaj spektr diskrete. Pro la Wronsky-a teoremo du solvadoj de la sama ekvacio al la memvaloroj, spektre diskrete, estas lineare nedependaj čar la Wronsky-a kostantas kaj, specifike, nulas čar nuliǧas solvadon per x → ∞. ψ_{2}d_{x}ψ_{1} = ψ_{1}d_{x}ψ_{2} do ψ_{1} = cψ_{2}. Si oni volas mizuri la partiklo pro dekovri en kia memstato estas oni aplikas projektoron. La mizuro ne estas unueca kaj ne plutenas normon.

|Projektoro| Observablo kun spektro diskreta eksprimeblas kiel serio de projektoroj sur siaj memspacoj. Oni elektas |ψ⟩ = |ψ_{1}⟩+|ψ_{2}⟩ ℋ = ℋ_{1}⊕ℋ_{2} Q_{1}|ψ⟩ = |ψ_{1}⟩ ⟨ψ|ψ⟩ = 1 kaj D(Q_{1}) = ℋ, Q_{2}|ψ⟩ = |ψ⟩ − |ψ_{1}⟩ Hermite-a čar siaj mezvaloroj estas idempotencaj kaj ortogonalaj. |ϕ⟩⟨ϕ| estas projektoro longe la versoro |ϕ⟩ (|ϕ⟩⟨ϕ|)|ψ⟩ = |ϕ⟩(⟨ϕ|ψ⟩) Hermite-a (|ϕ⟩⟨ϕ|)^{†} = (|ϕ⟩⟨ϕ|).

La mizuro determinas subaron de iu variablo aŭ operatoro.

Energio Si oni determinas kelkajn energiajn memvalorojn oni scias ke la sistemo ne šanǧos tiuj memvaloroj čar šanǧas la probablo de čiu stato. Ofte oni scias la energian mez valoron kiu estas [Â, Â] = 0

⟨ℰ⟩ = ⟨ψ_{n}(t)|H|ψ_{n}(t)⟩ = ⟨ψ_{n}|e^{− \frac{Ht}{ıℏ}} e^{\frac{Ht}{ıℏ}} H|ψ_{n}⟩ = ℰ_{n}|c_{n}|^{2} = \frac{ℏ^{2}π^{2}}{2mL^{2}} ∑_{n} n^{2}c_{n}^{2}

do per la kondico ∑_{n} c_{n}^{2} = 1 oni akiras la formon de la ond fukcio.

Armonika Oscilatoro  Kvantuma Mekaniko

Posicio Mizuro povas determini subaron de la posicio. Ekzemple, oni dekovras ke la partiklo čeestas en la aro [−a, 0] tempe t_{0} = 0. Do

c_{n} = ⟨ψ_{n}|ψ_{0}⟩ = \frac{2}{L} ∫_{−a}^{0} ψ_{n}^{∗}ψ_{0} = \frac{2}{L} ∑_{i} ∫_{0}^{L/2} sin (\frac{nπx}{L}) sin (\frac{iπx}{L})

tie i estas la inicialaj memstatoj. La funkcioj ortogonalaj en la intervalo [−a, a] ne estas pli longe ortogonalaj en diversa aro. šanǧas la simetrio de la problemo sed ne šanǧas la simetrio de la funkcioj. Si oni volas determini la partiklo tempe t_{1} ≠ t_{0} oni devas kalkuli

c_{n}(t_{1}) = ⟨ψ_{n}|ψ(t_{1})⟩ = ⟨ψ_{n}|e^{\frac{Ĥt_{1}}{ıℏ}} |ψ_{t=0}⟩ = ⟨ψ_{n}|e^{\frac{ℰnt_{1}}{ıℏ}} |ψ_{t=0}⟩ = e^{\frac{ℰnt_{1}}{ıℏ}} ⟨ψ_{n}|ψ_{t=0}⟩

čar |ψ_{n}⟩ estas memvaloro de la operatoro Ĥ. Oni do kalkulas se ψ_{t=0} = ∑_{i} ψ_{i}

c_{n}(t_{1}) = ∫_{−a}^{a} ψ_{n}^{∗}e^{\frac{Ent_{1}}{ıℏ}} ψ_{i} = \frac{2}{L} ∑_{i} ∫_{0}^{L} sin (\frac{nπx}{L})e^{\frac{ℰn}{ıℏ} (t_{1}−t_{0})} sin (\frac{iπx}{L})

Se la iniciala ond funkcio čeestis sole en la unua memstato sia ond funkcio šanǧas poste la mizuro de \sqrt{2/L} sin(πx/L) → \sqrt{1/L} sin(πx/L), kaze dekovrita en tiu spaco, 0 alia. Se la ond funkcio havas inicie du termoj oni povas skribi sia tempa evoluo tiel ψ(t) = \sqrt{2/L} sin(iπx/L) + \sqrt{2/L} sin(jπx/L)e^{(ℰ_{i}−ℰ_{j})t/ıH} čar čia funkcio estas nevarianta por rilativaj fazaj termoj kiuj estas čiuj solukcioj de la sama diferenciala ekvacio.

Pareco Se ekzemple la ond funkcio inicie čeestis en finitaj neparaj memstatoj, poste la mezuro, oni havas senfinaj neparaj memstatoj ke, poste ia mizuron, akiras memvaloron −1 kun čia probablo.

△

6.3.1 Faktoriǧo

Se la Hamiltona estas separebla oni povas faktoriǧi la solvojn ψ(\underline{x}) = ψ_{1}(x_{1})ψ_{2}(x_{2}) … aŭ leǧi la Schrödinger-an ekvacion kiel sistemo de nedependa diverencialan ekvacion. Se, ekzemple, oni havas ian elastik potencialon inter du partikloj oni priskribas la sistemon per la koordinato de la mas centro kaj tia rilata. La Hamilton-a estas do separebla

Ĥ = \frac{p̂_{1}^{2}}{2m_{1}} + \frac{p̂_{2}^{2}}{2m_{2}} + \frac{1}{2}k|q̂_{1} − q̂_{2}|^{2} → H̃ = \frac{p̂_{mc}^{2}}{2m_{tot}} + \frac{p̂_{r}^{2}}{2μ} + \frac{1}{2}kq̂_{r}^{2}

La mez valoro de la energio en tri dimensia kazo estas la sumo de la valoroj de čio koordinato.

⟨ℰ⟩ = \frac{ℏ^{2}π^{2}}{2m} (\frac{n_{1}^{2}}{l_{1}^{2}} + \frac{n_{2}^{2}}{l_{2}^{2}} + \frac{n_{3}^{2}}{l_{3}^{2}} )

kiu havas deǧenera indico ∑_{j=0}^{n} ∑_{k=0}^{j} 1 = ∑\begin{matrix}n \\ j \end{matrix} j + 1 = j^{2}/2 + j/2 + j + 1

6.4 Armonika Oscilatoro

Oni konsideras la du operatoroj nedimensiigitaj X̆ := mω/ℏX kaj P̆ := P/mωℏ pro kio H̆ = H/ℏω = \frac{1}{2}(P̆ + X̆) tiu ke [X̆, P̆] = ı𝕀. Oni nomas a = \frac{1}{\sqrt{2}}(X̆ + ıP̆) kaj

Angulaj Momantoj  Kvantuma Mekaniko

a^{†} = \frac{1}{\sqrt{2}}(X̆ − ıP) kiu donas H̆ = aa^{†} + 𝕀/2 = N + 𝕀/2. Pluen [a^{†}a, a] = a^{†}[a, a] + [a^{†}, a]a = −𝕀a [a^{†}a, a^{†}] = a^{†}[a, a^{†}] + [a^{†}, a^{†}]a = −𝕀a. Oni sercas la solukcion de tiu ekvacio laŭ la memvaloroj N|n >= n|n > kun la kondico < n|n >= 1 oni vidas ke se 0 ≤ ||a|n > || =< n|a^{†}a|n >=< n|n|n >= n < n|n >= n n estas numero ne negativa.

Na|n⟩ = (n − 1)a|n⟩ 0∥a^{†}⟨n|∥^{2} = ⟨n|aa^{†}|n⟩ = ⟨a|a^{†}a + 𝕀|n⟩ = ⟨n|n + 𝕀|n⟩ = n + 1. Oni do nomas a^{†}

Na^{†}|n⟩ = (n + 1)a^{†}|n⟩

operatoro de kreaǰo kaj a operatoro de detruo. Gravas la kondiciono Sp(N) = ℕ_{0} Na^{†}|0⟩ = 0.

Povas oni demontri ke

|n⟩ = \frac{(a^{†})^{n}}{n!} |0⟩  (6.6)

kaj oni povas per inducio. dim(ℋ_{n}) > 1 |n, 1⟩ |n, 2⟩ ⟨n, 1|n, 2⟩ = 0 nedipendaj kaj N|n⟩ = n|n⟩ ortogonalaj. Oni havas unu kaj unu sole ekvacion lineare nedipenda kaj la Hamilton-a spektro estas ne deǧenera H̆|0⟩ = (N + \frac{1}{2}𝕀)|0⟩ = \frac{1}{2}|0⟩. Oni kondukas al ekvacio de dua grado a|0⟩ = 0

0 = ⟨x̆|a|0⟩ = ⟨x̆|H̆|0⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}}(x̆ + dx̆)ŭ_{o}(x̆) = 0

(1/ŭ_{0})(x̆)dx̆ŭ = −x̆ dx̆ log(ŭ_{0}(x̆)) = −x̆ log(ŭ_{0}(x̆)) = −x̆/2 + c ŭ_{0}(x̆) = ce^{−x^{2}/2} Sp(N) = ℕ

Sp(H) = \{ℏω(n + \frac{1}{2})\}_{n∈ℕ}  (6.7)

Para ŭ_{0}(x̆) = ŭ_{0}(x̆)

ŭ_{n}(x̆) = ⟨x̆|x⟩ = ⟨x̆|\frac{(a^{†})^{n}}{\sqrt{n!}} |0⟩ = (x̆ − dx̆)^{n} \frac{1}{\sqrt{n!}}ŭ_{0}(x̆)H_{n}(x̆)e^{− \frac{x̆}{2}}

kie H_{n} estas la polinomoj de Hermite. ∫ ŭ_{0}^{2}(x̆)dx̆ = 1.

6.5 Angulaj Momantoj

Ia objekto havas simetrio si estas nevarianta sub ia intervebla trasformaǰo nomigita simetri trasformaǰo. Por čia simetrio de la sistemo aŭ spaco oni havas invariantecon de simetrio. Se la sistemo estas konserva la objekto simetrias per temp translacioj. Se la spaco estas omoǧena la objekto simetrias per spac translacioj. Se la rapideco estas isotropa la objekto simetria per rotacioj. Do oni volas priskribi ia tratado ke kunigu la klaso de simetri trasformaǰoj kun la unecaj operatoroj. Oni vidos kiel, kun la grupa teorio, oni povas kunigi kaj simpligi la tratado de la trasformaǰojn.

Oni povas serci en la unecaj operatoroj U^{†}U = 𝕀 = UU^{†} la simetri trasformaǰoj čar ili, kiel oni vidas en la Wigner-a teoremo, ne šanǧas la mez valoro de la operatoroj ||U|ψ⟩|| = ⟨Uψ|Uψ⟩ = ⟨ψ|U^{†}U|ψ⟩ = |||ψ⟩||. La unecaj operatoroj operas sur la memfunkcio U|ψ⟩ aŭ sur la operatoro U^{†}AU. La komposicioj de du unuecaj operaroj estas la sumo de la du parametroj per ia fazo. U(s)U(s′) = U(s + s′)e^{ıθ(s,s′)}. Per grupoj je unu parametro la fazoj povas esti elektita kiel nulo kaj la operatoroj formas grupon.

6.5.1 Mat: Grupo

\underline{Mat}

La grupo (𝒢, ∘) estas aro kiu plitenas:

I) La neŭtra elemento A ∘ 𝕀 = A

II) la inversa ∀A ∈ 𝒢∃A^{−1}|A ∘ A^{−1} = 𝕀

III) malferma per komposicioj A_{1} ∘ A_{2} ∈ 𝒢

La grupo povas havi subgrupojn kunigitajn. Si la kunigo estas [disgiunta] la grupo estas la sumo de čiuj la [laterali] de ia subgrupo ∀𝒢_{i} ⊂ 𝒢, G = ⋃_{j} G_{j}𝒢_{i} kun G_{j} ∈ 𝒢_{j} kaj G_{i}𝒢_{i} ∈ G_{i}.

Per la |Stone-a Teoremo| la operatoro uneca estas prezentigebla per iun ajn operatoron Q

U(s) = e^{−isQ}

Oni povas fari |Infinitezima Trasformaǰo| sur la operatoro U ≃ 𝕀 − sQ kie Q nun estas la |Ǧeneratoro Infinitezima|

Q = ıℏd_{s}U(s)|_{s=0}

prefere la elemento de la algebro 𝔘 obtenita pro la grupo 𝒢

√

Grupoj

Ekzistas la Grupo Ortogonala (𝒪_{n})𝒪_{n} de la matricoj laŭ kiuj ρ̃ρ = 𝕀 kiuj montras

𝒪_{n}▷ pluen. ρ̃ = ρ^{−1} kiu estas grupo čar I) 𝕀_{n} ∈ 𝒪_{n} II) ∃ρ^{−1} = ρ̃, ρ̃^{−1}ρ̃ = ρ̃^{−1}ρ^{−1} = 𝕀_{n} ∈

𝒪_{n}. Oni povas vidi ke tiu grupo estas dekomponebla en du lateraloj, oni do difinas 𝒮𝒪 _{n}▷ (𝒮𝒪_{n}) kiel tiu lateralo kiu havas det ρ = 1 do estas subgrupo. La grupo (𝒰_{n}) estas 𝒰_{n}▷ anstataŭe la grupo de la unecaj matricoj U^{†}U = 𝕀 kun (𝒮𝒰_{n}) sia sola subgrupo kun 𝒮𝒰 _{n}▷ determinanto unuas.

△

6.5.2 Mat: Lie-a Algebro

\underline{Mat} Algebro di Lie 𝔊 estas vektora spaco de finaj dimensioj havinte la komutatoro [A, B] = AB − BA kiu plidoni la |Jacobi-a Identajxo|

[a[b, c]] + [b, [c, a]] + [c, [b, a]] = 0

Lie-a Algebro▷ (Lie-a Algebro)

𝔒 estas la aro de ortogonalaj matricoj. Iu bazo estas donita per la sumo de la matricoj

ϵ^{1} = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ϵ^{2} = ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ −1 & 0 & 0 \end{matrix} ) ϵ^{3} = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & −1 & 0 \end{matrix} )

√

Por la Stone-a teoremo oni povas uzi la bone notitaj operatoroj P, L, H pro priskribi la simetri trasformaǰon.

…

Oni kreas novan alǧebron formatan da {Ĵ_{z}, Ĵ_{±}} kie Ĵ_{±} := Ĵ_{1} ± ıĴ_{2}. Ĵ_{±} ne estas Hermite-aj čar Ĵ_{+}^{†} = Ĵ_{−} [J, J_{±}] = ±ℏĴ_{±}. [Ĵ_{k}, Ĵ_{l}] = ıℏϵ_{klm}J^{m} [Ĵ_{+}, Ĵ_{−}] = Ĵ. Elektas oni bazo formata de memket de Ĵ, |m⟩, rilata al la memvaloro mℏ m ∈ ℝ Ĵ|m⟩ = mℏ|m⟩. La ket rilata de Ĵ donas per Ĵ_{±}|m⟩ memket rilata de Ĵ koresponda al la memvaloro (m ± 1)ℏ. Por čiu numero intera o duon intera ekzistas |Prezento Ne-Redukebla| de Lie-a alǧebro de la angulara momentoj en Hilbert-a spaco de (2j + 1) dimensioj kaj en tia spaco la spektro de observebla Ĵ_{k}|k = 1, 2, 3 konstituas de la oplo {mℏ|m = −j, −j + 1, , j} Ĵ|j⟩ = jℏ|j⟩ Ĵ_{+}|j⟩ = 0 ĴĴ_{−}^{k}|j⟩ = ℏ(j − k)Ĵ_{−}^{k}|j⟩. La

per ⟨j|j⟩ = 1 bazo |m⟩ estas definata per la ket |j⟩ normagita tiel

|m − 1⟩ = \frac{J_{−}}{\sqrt{ℏ(j − m + 1)(j + m)}}|m⟩

Ĵ^{2} = Ĵ_{−}Ĵ_{+} + ℏĴ + Ĵ^{2} [Ĵ^{2}, Ĵ_{k}] = 0. Ia Hilbert-a spaco prezenteblas per ℋ = ⨁_{j∈𝒥} ℋ_{j}^{NR} tie NR signifas ne redukebla. 𝒥 = ℕ/2 k_{j} aŭ tovaloroj j(j + 1)ℏ^{2} de dimensio dimℋ_{j}^{NR} = 2j + 1. La memvaloroj de L estas l = j. Por determini 𝒥, n_{j} oni devas solvi la ekvacioj laŭ la memvaloroj

L̂^{2}f_{l,m} = ℏl(l + 1)f_{l,m}  L̂f_{l,m} = ℏmf_{l,m}  (6.8)

Angula Kompleta Bazo  Kvantuma Mekaniko

Sciante ke L̂_{+}f_{l,l} = 0 L̂f_{l,l} = ℏlf_{l,l} por l = m kaj f_{l,m} ∝ L̂_{−}^{l−m}f_{l,l} oni povas determini la sukcesioj {f_{−l}, , f_{l}} kiu estas la memfunkcio de en prezento x de la memket {|l, −l⟩, |l, l − 1⟩, , |l, l⟩}, bazo kanona de ℋ_{NR} L̂^{2}f_{l,l} = (L̂_{−}L̂_{+}L̂_{3}^{2} + ℏL)f_{l,l} = ℏ^{2}l(l + 1)f_{l,l}. En prezento x oni eksprimas tiuj ekvacioj en polaraj koordinatoj.

L̂ = −ıℏ∂_{ϕ}  L̂_{±}ℏe^{±ıϕ}(ıθ∂_{ϕ} ± ∂_{θ})  (6.9)

La angularaj momentoj depenas sole de la angulara koordinatoj, sekve r estas kostanto arbitra. Faktoriǧante f_{l,l} = C_{l}(r)Y_{l}^{l}(θϕ) do C_{l}(r) ∈ L^{2}((−∞, ∞)) kaj či tiu aro estas ∥f_{l,l}∥^{2} = 1

∫ r^{2}|C_{l}(r)|^{2}dr = 1

∫ |Y_{l}^{l}(θ, ϕ)|^{2} sin θdθdϕ = 1

estas Hilbert-a spaco separebla.

6.5.3 Angulaj Momentoj Sumo

Oni povas konsideri egale la totala angulara momento tiel sumo de momento orbita kaj de spin aŭ sumo de la orbita momento de du partikloj. ℋ^{(a)} = ⨁_{j_{a}∈𝒥_{a}} n_{j}^{(a)}ℋ_{j}^{(a)}

6.5.4 Mat: Tensora Produkto

\underline{Mat}

Oni definas la Tensora Produkto tiel

J = J_{1} + J_{2}|J ∈ ℋ^{⊗}

ℋ^{⊗} = ℋ^{(1)} ⊗ ℋ^{(2)} = ⨁_{j_{1}∈𝒥_{1}} ⨁_{j_{2}∈𝒥_{2}} n_{j}^{(1)}n_{j}^{(2)}ℋ_{j}^{(1)} ⊗ ℋ_{j}^{(2)}

Sekvas ke čiu operatoro agas sur sia spaco kaj la operatoro de totala angula momento estas la tensora produkto de čiuj operatoroj separe sur iliaj spacoj neredukeblaj. ◁Tensora Produkto

|j_{1}, m_{1}⟩ ⊗ |j_{2}, m_{2}⟩ = |m_{1}, m_{2}⟩

J|m_{1}, m_{2}⟩ = (J^{(1)} ⊗ 𝕀 + 𝕀 ⊗ J^{(2)})(|j_{1}, m_{1}⟩ ⊗ 𝕀 + 𝕀 ⊗ |j_{2}, m_{2}⟩) = ℏ|m_{1}.m_{2}⟩

Čar (J^{(1)}|j_{1}, m_{1}⟩)⊗(𝕀|j_{2}, m_{2}⟩)+(𝕀|j_{1}.m_{1}⟩⊗J^{(2)}|j_{2}, m_{2}⟩) = (ℏm_{1}|j_{1}, m_{1}⟩)⊗(𝕀|j_{2}, m_{2}⟩)+ (𝕀|j_{1}, m_{1}⟩ ⊗ ℏm_{2}|j_{2}, m_{2}⟩) △

Ĵ^{2} = Ĵ^{2}_{(1)} ⊗ 𝕀 + 𝕀 ⊗ Ĵ^{2}_{(2)} + 2 ∑ J_{k}^{(1)} ⊗ J_{k}^{(2)} ◁Ĵ^{2}

√

Se oni havu J_{1} = 1 angula orbita momento kaj J_{2} = 1/2 angula momento de spin {|1, 1⟩, |1, 0⟩, |1, −1⟩} estas bazo de ℋ_{1}^{NR} kaj {|1/2, 1/2⟩, |1/2, −1/2⟩ de ℋ_{2}^{NR} oni volas konstrui la bazo de ℋ^{⊗}, |1, 1⟩ ⊗ |1/2, 1/2⟩ = |1, 1/2⟩, |1, 1⟩ ⊗ |1/2, −1/2⟩ = |1, −1/2⟩ kaj aliaj sekvinte la ǧenera reglo

ℋ = ℋ_{j_{1}}^{(1)} ⊗ ℋ_{j_{2}}^{(2)} = ⨁_{j=|j_{1}−j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}} ℋ_{j}^{NR} D = D_{j_{1}}^{(1)} ⊗ ℋ_{j_{2}}^{(2)} = ⨁_{j=|j_{1}−j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}} D_{j}^{NR}

kiu estas |Kompona Reglo de Angul Momentoj|. Do

Sp(J^{2}) = {ℏj(j+1)|j = |j_{1}−j_{2}| →^{++} j_{1}+j_{2}} Sp(J) = {ℏm|m = −j_{1}−j_{2} →^{++} j_{1}+j_{2}}

6.6 Angula Kompleta Bazo

Oni volas priskribi ia sistemo en la kompleta operatora bazo {Ĥ, L^{2}, L̂_{z}} kiu havas en sia spektro {n, l, m}. Tia bazo estas tre utila kiale ofte aperas centralaj potencialaj kaj čiu operatoro komutas kun la Hamilton-a. En centra kampo Hamilton-a estas separebla kaj la ond funkcio faktoriǧebla en polaraj koordinatoj f(r, ϕ, θ) =

R_{nl}(r) ∑_{m} Y\begin{matrix}m \\ l \end{matrix}(ϕ, θ) ψ_{n_{1},n_{2},n_{3}} = Ae^{−αr^{2}}H_{n_{1}}(αx)H_{n_{2}}(αy)H_{n_{3}}(αz) Tie H_{n} estas la

|Hermite-a Polinomio|. Oni povas priskribi q_{x} = r/2\sqrt{8/3π}(Y_{1}^{1} − Y_{1}^{−1}) q_{y} = r/2\sqrt{8/3π}(Y_{1}^{1} + Y_{1}^{−1}) q_{z} = r\sqrt{4/3π}Y_{1}^{0}. La memvaloroj de la energio estas ℰ_{n} = ℏ/ω(3/2 + n) tie n = n + n + n. De ia bazo al la alia, pareco pluteniǧas, do (−1)^{n} = (−1)^{l}. En Hilbert-a spaco vektoroj estas prezentigeblaj en ψ(x, 0) = c_{n}ψ^{n}(x) c_{n}^{2} = ∫ ψ_{n}ψ(x, 0)dx

|n⟩ = ∑_{m=−l}^{l} c_{m}|lm⟩ c_{m} = ⟨lm|n⟩

Oni povas kalkuli la probablo de la memstato m por ia ond funkcio kiu ne depenas sole por r per la kvar sumo de čiuj rilataj koeficentoj kiuj multiplikas la sfer armonikaj

Y\begin{matrix}m \\ l \end{matrix}. f(q_{x}, q_{y}, q_{z}) = h_{n}atu(r) ∑ c_{m}Y\begin{matrix}m \\ l \end{matrix} P r(m) = c_{m}^{2}/ ∑ c_{m}^{2}

6.6.1 Prezento Matrica de la Lie-a Algebro de la Angul Momantoj

Nun oni scias ke la operatoroj J^{2} kaj J_{z} agas sur siajn propr memfunkciojn tie:

L^{2}|l, m⟩ = l(l + 1)|l, m⟩ ∧ L_{z}|l, m⟩ = m|l, m⟩

pluen oni scias la agon de la operatoroj L_{±} sur la statoj |lm⟩

L_{±}|l, m⟩ = \sqrt{l(l + 1) − m(m ± 1)}|l, m⟩ L_{±} = L_{x} ± ıL_{y}

Nun oni volas konstrui la matrican prezenton per tiu operatoroj D^{(l)} kalkulebla per

(D_{i}^{(l)})_{mm′} = ⟨lm|L_{i}|l, m′⟩

Tiu oni donas la posiblecon de konstrui prezenton ne redukeblan sur kiu konstrui čiuj aliaj prezenton.

Kalkulinte oni obtenas

D_{1}^{(1/2)} = \frac{ℏ}{2} ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) D_{2}^{(1/2)} = \frac{ℏ}{2} ( \begin{matrix}0 & −ı \\ ı & 0 \end{matrix} ) D_{3}^{(1/2)} = \frac{ℏ}{2} ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} )

kiuj estas la |Pauli-a Matrico| kaj bazo de la algebro S𝔘_{2}. En tiu prezento oni havas gravaj ecoj en la termoj de la kostantaj strukturoj

{σ^{i}, σ^{j}} = 2δ^{ij}  [σ^{i}, σ^{j}] = ϵ^{ijk}σ_{k}  σ^{i}^{∗} = −σ^{2}σ^{i}σ^{2}  − σ̃^{i} = σ^{2}σ^{i}σ^{2}

La prezento por la memvaloro l = 1 estas:

D_{1}^{1} = \frac{ℏ}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) D_{2}^{1} = \frac{ℏ}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}0 & −ı & 0 \\ ı & 0 & −ı \\ 0 & ı & 0 \end{matrix} ) D_{3}^{1} = \frac{ℏ}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} )

Oni povas priskribi la sistemo en malegalan bazon. Oni devas eksprimi la vektoroj de unu bazo el tiuj de la alia. čiu vektoro estas la sumo de čiaj vektoroj de la alia bazo

Clebsh-Gordan multiplikitaj per koeficentoj nomataj |Clebsh-Gordan-a Koeficentoj|. l = 1, s = 1/2 La vektoro

|j, m_{j}⟩ = ∑_{l,s|l+s=j} c_{l,s}|l, s⟩

do oni scias ke |3/2, 3/2⟩ = |1, 1/2⟩ kiam |3/2, 1/2⟩ = α|1, −1/2⟩ + β|0, 1/2⟩. Sciante ke J_{−}|3/2, 3/2⟩ = \sqrt{3}|3/2, 1/2⟩ oni povas serci α, β pro kiuj

J_{∓}|3/2, ±3/2⟩ = (L_{∓} + S_{∓})|1, 1/2⟩  |3/2, 1/2⟩ = \sqrt{\frac{2}{3}}|0, 1/2⟩ + \sqrt{\frac{1}{3}}|1, −1/2⟩

|3/2, −1/2⟩ = \sqrt{\frac{2}{3}}|0, 1/2⟩ + \sqrt{\frac{1}{3}}|−1, 1/2⟩

Ond funkcioj normaligitaj por idroǧena atomo  Kvantuma Mekaniko

Pro la ortonormaleco

⟨3/2, 1/2|1/2, 1/2⟩ = 0 |1/2, 1/2⟩ = |3/2, 1/2⟩^{⊥} = \sqrt{\frac{1}{3}}|0, 1/2⟩ − \sqrt{\frac{2}{3}}|1, −1/2⟩

Pluen

|−1, 1/2⟩ = \sqrt{\frac{1}{3}}|3/2, 1/2⟩ − \sqrt{\frac{2}{3}}|1/2, −1/2⟩

Oni povas ankaŭ eksprimi la koeficantoj de la bazo {L^{2}, L_{z}} al la bazo {L_{x}, L_{y}}. Se l = 1 kaj oni havas L_{z}|m⟩ = m|m⟩ kaj L_{y}|m_{y}⟩ = m_{y}|m_{y}⟩. |m_{y}⟩ = α|1⟩_{z} + β|0⟩_{z} + γ|−1⟩_{z}

L_{y}|m⟩_{y} = L_{y}(α|1⟩_{z} + β|0⟩_{z}γ|−1⟩_{z}) = m_{y}(α|1⟩_{z} + β|0⟩_{z}γ|−1⟩_{z})

L_{y} = (L_{+} − L_{−})/2ı. Kalkulinte

|m⟩_{y} = \frac{1}{2ı}|1⟩_{z} + \frac{1}{\sqrt{2}}|0⟩_{z} − \frac{1}{2ı}|−1⟩_{z}

Por obteni |m⟩_{x} oni povas rotigi:

e^{\frac{−Lz π}{ıℏ}} |m⟩_{y} = |m⟩_{x} = \frac{1}{2}|1⟩_{z} + \sqrt{\frac{1}{2}}|0⟩_{z} + \frac{1}{2}|−1⟩_{z}

Oni do volas montri ankaŭ

1/2 ⊗ 1/2

|1 1⟩ |1 0⟩ |0 0⟩ |0 −1⟩
|1/2 1/2⟩ 1
|+ −⟩  \sqrt{1/2} \sqrt{1/2}
|− +⟩  \sqrt{1/2} −\sqrt{1/2}
|− −⟩  1
△

6.7 Ond funkcioj normaligitaj por idroǧena atomo

ρ = Zr/a_{0} a_{0} = 0.592Å A = (Z/a_{0})^{3/2} OndFunkcioj

n l m
1 0 0  ψ_{1s} =A  e^{−ρ}  /\sqrt{π}
2 0 0  ψ_{2s} =A  (2 − ρ)e^{−ρ/2}  /\sqrt{32π}
2 1 0  ψ_{2p_{z}} =A  ρe^{−ρ/2}  cos(θ)  /\sqrt{32π}
2 1 -1  ψ_{2p_{y}} =A  ρe^{−ρ/2}  sin(θ) sin(ϕ)  /\sqrt{32π}
2 1 1  ψ_{2p_{x}} =A  ρe^{−ρ/2}  sin(θ) cos(ϕ)  /\sqrt{32π}
3 0 0  ψ_{3s} =2A  (27 − 18ρ + 2ρ^{2})e^{−ρ/3}  /81\sqrt{3π}
3 1 0  ψ_{3p_{z}} =2A  e^{−ρ/3}  cos(θ)  /81\sqrt{3π}
3 1 -1  ψ_{3p_{y}} =2A  (6ρ − ρ^{2})e^{−ρ/3}  sin(θ) sin(ϕ)  /81\sqrt{3π}

je la proksiman paǧon

Kaŭza Evoluo  Kvantuma Mekaniko

OndFunkcioj

3 0 1  ψ_{3p_{x}} =2A  (6ρ − ρ^{2})e^{−ρ/3}  sin(θ) cos(ϕ)  /81\sqrt{3π}
3 2 0  ψ_{3d_{z^{2}}} =A  ρ^{2}e^{−ρ/3}  (3 cos^{2}(θ) − 1)  /81\sqrt{6π}
3 2 -1 ψ_{3d_{yz}} =\sqrt{2}A  ρ^{2}e^{−ρ/3}  sin(θ) cos(θ) sin(ϕ) /81\sqrt{6π}
3 2 1  ψ_{3d_{xz}} =\sqrt{2}A  ρ^{2}e^{−ρ/3}  sin(θ) cos(θ) cos(ϕ) /\sqrt{32π}
3 2 -2 ψ_{3d_{xy}} =A  ρ^{2}e^{−ρ/3}  sin^{2}(θ) sin(2ϕ)  /81\sqrt{2π}
3 2 2 ψ_{3d_{x^{2}−y^{2}}} =A  ρ^{2}e^{−ρ/3}  sin^{2}(θ) cos(2ϕ)  /81\sqrt{2π}

Mez Valoroj

⟨r⟩ = n^{2}a_{0}(3/2 − l(l + 1)/2n^{2})/2Z  ⟨r^{2}⟩ = n^{4}a_{0}^{2}(3/2 − l(l + 1)/2n^{2})/2Z
⟨r^{−1}⟩ = Z/a_{0}n^{2}  ⟨r^{−2}⟩ = Z^{2}e^{2}/a_{0}^{2}n^{3}(l + 1/2)
⟨r^{−3}⟩ = Z^{3}/a_{0}^{3}n^{3}(l + 1/2)(l + 1)l  ⟨𝒱⟩ = −Z^{2}e^{2}/a_{0}n^{2}
⟨T ⟩ = Z^{2}e^{2}/2a_{0}n^{2}

6.7.1 Libera Partiklo

La tri komponoj de P̂ estas traslacia nevariantoj: e^{P̂ a/ıℏ}P̂ e^{−P̂ a/ıℏ} = P̂ kiele por Ĥ, funkcio de P̂. H estas kvar proporcia al P̂ do estas ankaŭ rotacio nevarianta

e^{wL̂/ıℏ} \frac{P̂^{2}}{2m}e^{−wL̂/ıℏ} = \frac{P̂^{2}}{2m}

Oni volas nun diagonaliǧi la bazo en la novaj koordinatoj aŭ malkovri

ψ_{ℰ ,n,m}(r, ϕ, θ) = ⟨r, θ, ϕ|ψ⟩

Konitaj la ekvacioj, [Hψ_{ℰ ,n,m}](r, ϕ, θ) = ℰψ_{ℰ ,n,m}(r, ϕ, θ) [L̂^{2}ψ_{ℰ ,n,m}](r, ϕ, θ) = ℏ^{2}l(l+

P̂_{r} = − \frac{ıℏ}{r} ∂_{r}r Hermite-a 1)ψ_{ℰ ,n,m}(r, ϕ, θ) [Lψ_{ℰ ,n,m}](r, ϕ, θ) = mℏψ_{ℰ ,n,m}(r, ϕ, θ), oni prezentas per la memvaloroj {ℰ, n, m} sciante ke P̂^{2} estas prezentigebla per P̂_{r}^{2} + R̂^{−2}L̂^{2} oni devas solvi la |Radia Ekvacio|

( − ℏ\frac{1}{r}∂_{r}^{2}r + ℏ^{2} \frac{l(l + 1)}{r^{2}} − 2mℰ)h{ℰ \atop l}(r) = 0  (6.10)

m nedepena pravige rotacia nedepeno.

6.8 Kaŭza Evoluo

La kaŭza evoluo estas priskribebla per uneca operatoro

Û(t) := e^{\frac{Ĥt}{ıℏ}}

kie Ĥ estas la Hamilton-a operatoro. Oni povas vidi la kaŭza evoluo kiel evolvado de la operatoro (Heisenberg-a vidado), kiel evolvado de la ondfunkcio (Schrödinger-a vidado) aŭ interado inter la duoj.

6.8.1 Schrödinger-a Vidado

La Hamilton-a operatoro evolvagas la ond funkcion

|ψ(t)⟩ = e^{\frac{Ĥt}{ıℏ}} |ψ(0)⟩ ℏı∂_{t}|ψ(t)⟩ = H|ψ(t)⟩

6.8.2 Heisenberg-a Vidado

La evoluado šanǧas la operatoron

Û(t)Ô(0)Û^{−1}(t) = e^{− \frac{Ĥt}{ıℏ}} Ô(0)e^{\frac{Ĥt}{ıℏ}} = Ô(t) ıℏ∂_{t}Ô_{H}(t) = e^{\frac{ıĤt}{ℏ}} [Ô_{S}, H]e^{− \frac{ıĤt}{ℏ}} = [Ô_{H}, H]

6.8.3 Interad Vidado

Si oni havas Hamilton-a tipe H = H_{0} + V kie H_{0} estas bone notita Hamilton-a operatoro kies oni konas la solvado oni povas interadas inter la du vidadoj. Specifike la ond funkcio kaj la operatoro evoluas per

|ψ_{I}(t)⟩ = e^{\frac{V̂ t}{ıℏ}} |ψ(0)⟩  Ô_{I}(t) = e^{− \frac{Ĥ_{0}t}{ıℏ}} Ô_{S}(0)e^{\frac{Ĥ_{0}t}{ıℏ}} = ıℏ∂_{t}Ô(t) = [Ô_{I}(t), Ĥ_{0}]

(Temp dipenda Potencialo) Si H = H_{0} + V (t) kaj V (t) estas malgranda oni povas ◁Temp dipenda Potencialo proksimiǧi la solvado tiel:

|ψ(t)⟩ = e^{\frac{H_{0}t}{ıℏ}} |ψ_{I}(t)⟩

pro la Schrödinger-a ekvacio:

ıℏ∂_{t}|ψ⟩ = H_{0}e^{\frac{H_{0}t}{ıℏ}} |ψ_{I}(t)⟩ + ıℏe^{\frac{H_{0}t}{ıℏ}} ∂_{t}|ψ_{I}(t)⟩ = (H_{0} + V)e^{\frac{H_{0}t}{ıℏ}} |ψ_{I}(t)⟩

kune kun

ıℏ∂_{t}|ψ(t)⟩ = V_{I}(t)|ψ_{I}(t)⟩

Nun oni povas solvi rikursive

ψ_{I}(t) = ψ_{I}(t_{0}) − \frac{ı}{ℏ} ∫_{t_{0}}^{t} V_{I}(t′)ψ_{I}(t′)dt′

tiel:

ψ_{I}(t_{1}) = ψ_{I}(t_{0}) + ∑_{i=1}^{∞} ( − \frac{ı}{ℏ} ∏_{j=1}^{i} ( ∫_{t_{0}}^{t_{j}} dt_{i}V_{I}(t_{j})))ψ(t_{0})

6.8.4 Matsubara Vidado

La Matsubara vidado estas la unika ne uneca operatoro de evoluo kaj estas ofte uzita por porti la sistemon al la dezirita temperaturo. Tiu vidado estas simila al la

Heisenbeg-a kaj estas difinita per  K̂ := Ĥ + μN̂ K̂_{0} := Ĥ_{0}
Ô_{M}(τ) = e^{K̂τ} Ô_{S}e^{−K̂τ}  Ô_{M}(τ) = e^{K̂τ} e^{−K̂_{0}τ} Ô_{I}(τ)e^{K̂_{0}τ} e^{−K̂τ}

kaj oni povas difini la operatoro de evoluo

U_{M}(τ_{1}, τ_{2}) := e^{K̂_{0}τ_{1}}e^{−K̂(τ_{1}−τ_{2})}e^{−K̂_{0}τ_{2}}

Tiu difino portas al la perturbatan priskribon similan al la interad vidado.

6.8.5 Fermi-a Aurea Reglo

La Fermi-a aurea reglo uzitas por kalkuli la probablon de transiro inter du statoj al la unua aproksimeco.

Oni havas ne perturbitan staton al tempo t = 0. Si oni [accende] perturbaǰon oni volas koni la probablon de transiro inter du memstatoj aŭ la efekto de la perturbaǰo sur la sistemo.

Je t = 0 la partiklo čeestas en la stato |i⟩, oni volas nun koni la probablo ke tiu partiklo transiras, ekzemple, al la stato |f⟩ do

c_{f}(t) = ⟨f(t)|ψ(t)⟩ = ⟨f|e^{− \frac{E_{f} t}{ıℏ}} |ψ(t)⟩ = ⟨f|e^{− \frac{H_{0}t}{ıℏ}} |ψ(t)⟩ = ⟨f|ψ_{I}(t)⟩

kie ψ_{I} estas la ond fukncio en la interada vidado.

Estinte per la unua ordo en V_{I}

|ψ_{I}(t)⟩ = |ψ_{I}(0)⟩ + ∫_{0}^{t} dt′V_{I}(t′)|ψ_{I}(0)⟩

do la koeficanto c_{f}(t) estas kalkulebla per

c_{f}(t) = ⟨f|ψ_{I}(t)⟩ = ⟨f|i⟩ + ∫_{0}^{t} dt′⟨f|e^{− \frac{H_{0}t}{ıℏ}} V (t′)e^{\frac{H_{0}t}{ıℏ}} |i⟩ = ∫_{0}^{t} dt′⟨f|V (t′)|i⟩e^{\frac{(ℰ_{i}−ℰ_{f})t′}{ıℏ}}

do la denseco probablo estas

𝒫_{fi}(t) = |c_{f}(t)|^{2} = \frac{1}{ℏ^{2}} | ∫_{0}^{t} dt′⟨f|V (t′)|i⟩e^{\frac{(ℰ_{i}−ℰ_{f})t′}{ıℏ}} |^{2}

Kostanta Potencialo

V (t) = V

𝒫 = \frac{1}{ℏ^{2}} |V_{fi}|^{2}|\frac{e^{\frac{(ℰ_{i}−ℰ_{f})t}{ıℏ}} − 1}{\frac{ℰ_{i}−ℰ_{f}}{ℏı}} | = \frac{1}{h^{2}} |V_{fi}|^{2}t^{2}sinc(\frac{ω_{fi}}{2} t)

La funkcio sinc(ω) := sen(ω)/ω, kiel supren notita, havas alta [picco] por ω = 0 aŭ ℰ_{f} = ℰ_{i} kaj havas largecon 4π/t la aliaj [picchi] dekreskas tiel (ℰ_{f} − ℰ_{i})^{2} kaj havas

△ largecon 2π/t.

Pro tiu, per t granda la funkcio sinc estas simila al la simbola funkcio de la δ(ℰ_{i} − ℰ_{f}).

Armonika Perturbado

Ia potencialo

V (t) = V_{0}^{∗}(r)e^{ıωt} + V_{0}^{∗}e^{−ıωt}

interadas kun la atomo donante probablon de transiro al la elektono.

𝒫_{fi}(t) = \frac{1}{ℏ^{2}} |V_{fi}e^{ı \frac{ω_{fi}−ω}{2} t}tsinc(\frac{ω_{fi} − ω}{2} t) + V_{fi}^{∗}e^{ı \frac{ω_{fi}+ω}{2} t}tsinc(\frac{ω_{fi} + ω}{2} t)|^{2}

la “mista” termo estas “traskurebla” kaj oni povas vidi kiel supren ke la probablo de la transiro depenas de la frekvenco ω en la formo

W_{fi}(ω) = \frac{2π}{ℏ} (|⟨f|V_{0}|i⟩|^{2}δ(ℰ_{f} − ℰ_{i} − ℏω) + |⟨f|V_{0}^{∗}|i⟩|^{2}δ(ℰ_{i} − ℰ_{f} + ℏω))

La unua termo montras la adsorb proceson kiam la dua montras la elmiton stimuligi- △ tan pro la fotono.

Perturbadoj  Kvantuma Mekaniko

6.9 Perturbadoj

Si oni havas bone konita Hamilton-a H_{0} pli ia malgranda termo λV kiu oni ne scias solvi oni skribas la perturbataj ond funkcioj kiel sumo de la termoj de la neperturbataj. La Hamilton-a estas H = H^{0} + λV kaj iliajn solvadoj H_{0}|ϕ_{n}^{0}⟩ = ℰ_{n}^{0}|ϕ_{n}^{0}⟩ kaj H|ϕ_{n}⟩ = ℰ_{n}|ϕ_{n}⟩ kaj oni volas skribi la perturbata energio kiel sumo de la λ potencoj de la neperturbata energio

ℰ_{n} = ℰ^{(0)} + ∑_{i=1} λ^{i}ℰ^{(i)} |ϕ_{n}⟩ = ∑_{n=0} λ^{n}|ϕ^{(n)}⟩

(ℰ_{n} − H^{0} − λV)|ϕ_{n}⟩ = 0 (ℰ_{n} − H^{0})|ϕ_{n}⟩ = λV |ϕ_{n}⟩ |ϕ_{n}⟩ = (λV)/(ℰ − H^{0})|ϕ_{n}⟩. Oni volas elekti normaligaǰon kiu permetas ⟨ϕ_{n}^{0}|ϕ_{0}^{n}⟩ = 1 kaj ⟨ϕ_{n}^{0}|ϕ_{n}⟩ = 1 mode ke |ϕ_{n}⟩ = ∑_{i} λ^{i}|ϕ_{n}^{(i)}⟩

|ϕ_{n}⟩ = |ϕ_{n}^{0}⟩⟨ϕ_{n}^{0}|ϕ_{n}⟩ + ∑_{m≠n} |ϕ_{m}^{0}⟩⟨ϕ_{m}^{0}|ϕ_{n}⟩ = |ϕ^{0}⟩ + ∑_{m≠n} (⟨ϕ_{m}^{0}|\frac{λV}{ℰ − H^{0}} |ϕ_{n}⟩)|ϕ_{m}^{0}⟩

∑_{m≠n}⟨ϕ_{m}^{0}|\frac{λV}{ℰ−H^{0}} (|ϕ_{n}^{0}⟩ + ∑_{l≠n}⟨ϕ_{l}^{0}|\frac{λV}{ℰ−H^{0}} |ϕ_{n}⟩) do rikorsive: ℰ_{i} − ℰ_{n}^{0} = ℰ_{i}^{0} − ℰ_{n}^{0} + λV + λ^{2} … =

= (ℰ_{i}^{0} − ℰ_{n}^{0})(1 + \frac{λV +λ^{2}...}{ℰ_{i}^{0}−ℰ_{n}^{0}}) ≃

≃ ℰ_{i}^{0} − ℰ_{n}^{0} |ϕ_{n}^{0}⟩ = |ϕ^{0}⟩ + ∑_{k=1} \frac{λ^{k}⟨n^{0}|V^{k}|n^{0}⟩}{(ℰ − H^{0})^{k}}|ϕ_{n}^{0}⟩

La memvaloroj de la energio estos: ⟨n|V^{k}|n⟩ = (⟨n|V |n⟩)^{k}

ℰ_{n} = ℰ_{n}^{0} + λ⟨n^{0}|V |n^{0}⟩ + ∑_{m≠n} λ^{2} \frac{(⟨m^{0}|V |n^{0}⟩)^{2}}{ℰ_{m}^{0} − ℰ_{n}^{0}} + …

6.10 Variacioj Linearaj

Si oni havas interado inter la partikloj, kaze de Coulomb-a interadoj inter elektronoj kaj nukleoj, oni povas serci la solvadon kiu minimigas la Hamilton-a.

H = ∑_{i} ( − \frac{ℏ∇_{i}}{2m} + V_{ekst}(r_{i})) + \frac{1}{α} ∑_{i,j|i≠j} \frac{e^{2}}{4πϵ_{0}|r_{1} − r_{2}|^{2}}

La |Teoremo Variacionala| oni diras ke por iu ajn stato |ψ⟩

\frac{⟨ψ|Ĥ|ψ⟩}{⟨ψ|ψ⟩} ≥ ℰ_{0}

La egaleco valoras sole en la fundamenta stato. Sekvinte la |Hartree-a Proksimado| oni priskribas la ond fukcion totalan de la sistemo |Ψ⟩ kiel faktorigǧo de singlaj ond funkcioj

Ψ\underline{σ}(\underline{r}) = \underline{ψ}_{σ}(r) = \underline{ψ}(r)\underline{ξ}(σ)

Nun oni scias ke la ond funkcio de la fundamenta stato minimigas la Hamilton-a mez valoro kiu povas esti reformulita per la nuligo de la variacio de la fundamenta energio δℰ_{0}^{H} = 0 per čiu variacio de la ond fukcio δϕ. Pluen oni volas poni Lagrange-an moltiplikatoron kiu petas la ortonormaleco de la ond fukncio

δ(ℰ^{H} − ∑_{ij} λ_{ij}( ∫ d^{3}rψ_{n_{i}}^{∗}(r)ψ_{n_{j}}(r) − δ_{ij})) =

= δ(ℰ^{H} − ∑_{i} λ_{i}( ∫ d^{3}rψ_{n_{i}}^{∗}(r)ψ_{n_{i}}(r) − 1)) = 0

Kampa Kvantigo  Kvantuma Mekaniko

Kie oni havas farita trasformon unecan kiu alportas al diagonala prezento. En la antaŭa ekvacio oni sobsituas la ond funkcion kun suma variacia termo ψ → ψ + αδψ kaj plitenas sole la linearaj termoj.

α( ∫ d^{3}rδψ_{n_{k}}^{∗}(r)(( − \frac{∇^{2}}{2} + 𝒱_{ekst}(r))ψ_{n_{k}} +

+ ∑_{j≠k} ∫ d^{3}r′ψ_{n_{j}}^{∗}(r′)\frac{1}{|r − r′|}ψ_{n_{k}}(r)ψ_{n_{j}}(r) − ℰ_{k}ψ_{n_{k}})) = 0

Tiu valoru por čiu δψ^{∗} prefere

( − \frac{∇^{2}}{2} + 𝒱_{ek}(r) + ∑_{j≠i} ∫ dr \frac{ϕ_{j}^{∗}(r)ψ_{j}(r′)}{|r − r′|})ψ_{i}(r) = ℰ_{i}ψ_{i}(r)

6.11 Kampa Kvantigo

Oni volas, en tiu sekcio, priskribi sistemon kiel senfina produkto de memstatoj de ia |Hamilton|-a kiuj povas esti okupitaj de partikloj. Oni devas do trovi la operatorojn de kreo kaj detruo kiuj ponu la partikloj en iu memstato. Do oni havos

- Hamilton-a H de la sistemo

- Ond funkcio ψ(\underline{x}) ond funkcio de la sistemo faktorigebla en ond funkcioj de singla partiklo ϕ_{i}(x_{i})

ψ(\underline{x}) = ∑_{i}^{N} c(\underline{ℰ}_{i}, t)\underline{ϕ_{ℰ}} _{i}(x)

Tiu funkcio sub la operatoro de interšanǧo P̂ priskribu sistemon de Bose-oj (+) aŭ Fermi-oj (−)

P̂_{ij}ψ(\underline{x}_{ij}) = ±ψ(\underline{x}_{ji})

- Unu operatoro de kreo â^{†} kaj unu de detruo â kiuj sekvas la sekvantaj alǧebraj relacioj

[â_{i}, â_{i}^{†}]_{±} = δ_{ij} [a_{i}, a_{j}]_{±} = [a_{i}^{†}, a_{j}^{†}]_{±} = 0

Pluen oni povas difini Hermite-a operatoro N̂ kies memfunkcioj estas la ond funkcioj de singla partiklo.

N̂^{†} = N̂ := â^{†}â  N̂_{i}ϕ_{ℰ_{n}} (x_{n}) = N̂|n⟩ = n|n⟩

La kampa kvantigo estus kreita per formado de novaj operatoroj

Ô = ∑_{i,j=1}^{∞} a_{i}^{†}⟨i|O|j⟩a_{j}

Simetrika, Kontraŭsimetrika

Oni havas N partikloj ke oni volas priskribi per faktoriǧo de la singlaj ond funkcioj.

ψ(\underline{x}, t) = ∑_{\underline{ℰ}}c(\underline{ℰ}, t)\underline{ϕ}_{ℰ} (x)

Si oni parolas de Fermi-onoj oni devas konsideri ke la memstato |ℰ_{i}⟩ povas esti aŭ ne esti okupita kaj la totala ond funkcio ψ(\underline{x}, t) devas esti komplete antisimetrika.

I) Per la Bose-oj la ond funkcio devas esti kompleksive simetrika. Se la memstato |ℰ_{i}⟩ havos numero de okupado n_{i} do la koeficanto c(\underline{ℰ}, t) estu egala pro la 1/N! interšanǧo de partikloj. Se la nivelo ℰ_{i} estas okupita por n_{i} partikloj, kiuj havas la saman ond funkcio, la kalkulo de la multopleco de la koeficanto c(\underline{ℰ}, t) estas do:

∑_{\underline{ℰ} @\underline{n}}^{N} 1 = \frac{N!}{\underline{n}!}

Do noi povas eksprimi c(\underline{ℰ}, t), anstataŭ ke per la ebla energioj \underline{E} per la okupadoj de tiuj niveloj

∑_{\underline{ℰ}}|c′(\underline{ℰ}, t)|^{2} = ∑_{i@\underline{n}_{i}}^{∞} |c(\underline{n}, t)|^{2} \frac{N!}{\underline{n!}}

Si oni volas trovi ond funkcion komplete antisimetrika oni povas vidi ke

ϕ\underline{n}(\underline{x}) := \sqrt{\frac{\underline{n!}}{N!}} ∑_{\underline{ℰ} i@\underline{n}i} \underline{Φ}_{ℰ_{i}} (x)  (ϕ_{\underline{ℰ}_{i}}(\underline{x}), ϕ_{\underline{ℰ}_{j}}(\underline{x})) = δ_{ij}  ψ = ∑_{\underline{n}i}^{∞} f(\underline{n}, t)ϕ\underline{n}(\underline{x})

II) Per la Fermi-oj la stato povas esti sole okupita aŭ ne okupita sed la kalkulo farita supro plitenas čar ∑_{i} \underline{n!}_{i} = 1. Nun la ondfunkcioj devas esti komplete antisimetrika do si

ψ = ∑_{\underline{n}}^{1} c(\underline{n}, t)\sqrt{\frac{\underline{n!}}{N!}} ∑_{\underline{E}} −^{P} \underline{ϕ}_{ℰ} (x) = ∑_{\underline{n}} c(\underline{n}, t)ϕ\underline{n}(\underline{x})

oni kreas la komplete kontraŭsimetrika funkcio ϕ\underline{n}(\underline{x}) kiel

ϕ\underline{n}(\underline{x}) = \sqrt{\frac{1}{N!\underline{n!}}} | \begin{matrix}ϕ_{ℰ_{1}} (x_{1}) & … & ϕ_{ℰ_{1}} (x_{N}) \\ … & & … \\ ϕ_{ℰ_{N}} (x_{1}) & … & ϕ_{ℰ_{N}} (x_{N}) \end{matrix} |

Kampa Operatoroj

Kun la opearotoj de kreo â^{†} kaj detruo â oni povas poni n_{i} partikloj en la stato ℰ_{i}

\frac{(a_{i}^{†})^{n_{i}}}{\sqrt{n_{i}!}} |\underline{0}⟩ = |0_{1}, , n_{i}, , 0_{N}⟩

La operatoro N_{i} = a_{i}^{†}a_{i} estas do la operatoro numero departikloj en la nivelo ℰ_{i} do N = ∑_{i} n_{i}. La Hamilton-a operatoro devas esti fukncio de a, a^{†}. Nur la ondfunkcioj devenas operatorojn dume la operatoroj skalarojn aŭ diferencialaj kiu komutas kun la kampa operatoroj.

ψ̂(x) = ∑_{i} ϕ_{ϵ_{i}}(x)â_{i}  ψ̂(x)^{†} = ∑_{i} ϕ_{ϵ_{i}}^{∗}(x)â_{i}^{†}

La Hamilton-a devenas

Ĥ = ∑_{ij} a_{i}^{†}⟨i|T |j⟩a_{j} + \frac{1}{2} ∑_{ijkl} a_{i}^{†}a_{j}^{†}⟨ij|V |kl⟩a_{l}a_{k}

prefere

Ĥ = ∫ d^{3}xψ̂^{†}(x)( − \frac{∇^{2}}{2m} + U(x))ψ̂(x) + \frac{1}{2} ∫ d^{3}xd^{3}x′ψ̂^{†}(x)ψ̂^{†}(x′)V (x, x′)ψ̂(x)ψ̂(x′)

Ǧenere si oni volas skribi vektoron en kvampa kvantigo formo oni operas tiel

J(x) ↦ ∑_{ij}⟨i|J|j⟩a_{i}^{†}a_{j}^{†} = ∑_{ij} ∫ d^{3}xψ_{i}^{∗}(x)J(x)ψ_{j}(x)a_{i}^{†}a_{j}

La variablo x povas prezenti la vektoro x aŭ la kvar vektoro (x, t). En la sekvanta priskribo la traktado de la kvarvektoroj ne sekvas la relativeca metriko čar oni traktos de malrapidaj partikloj. Si oni volas priskribi la kaŭzan evoluon oni uzas pli bone la Heisenberg-a vidado laŭ kiu

ı∂_{t}ψ̂^{H}(x, t) = Ĥψ̂^{H}(x, t)  ψ̂^{H}(x, t) = e^{\frac{−H}{ıℏ}} ψ^{H}(x, t)e^{\frac{H}{ıℏ}}

6.11.1 Mat: Green-a Funkcio

\underline{Mat} Si oni havas diferencialan ekvacion de kiu oni ne konas la solvado ϕ(x) por solvi la sekvanta ekvacio

L(∂_{x})ϕ(x) = f(x)

kie L(∂) estas diferenciala operatoro, oni uzas la Green-a funkcio difinita per

L(∂′_{x}, ∂t′)G(x′, t′) = δ(x′)δ(t′)

Ofte oni povas transformi la Green-a funkcio en la spaca frekvenca domino por trasformi la diferencialan operatoron ∂ en la produkto kun k. Finfine por solvi la diferencialan ekvacion oni devas inverti la Green-an funkcion.

Oni povas ankaŭ difini la Green-a funkcio kiel

ıG_{αβ}(xt, x′t′) = \frac{⟨ψ_{0}|T [ψ̂_{Hα}(xt)ψ̂_{Hβ}^{†}(x′t′)]|ψ_{0}⟩}{⟨ψ_{0}|ψ_{0}⟩}

La Green-a funkcio estas tre utila čar permetas d kalkuli la mez valoron de la operatoro, la fondamentalan energion kaj la spektro de la ekscito. čiu operatoro estas kalkulebla per la Green-a. La T̂ operatoro estas la operatoro de tempa ordo ke signifas ke la kampa operatoroj devas esti skribita en la korekta tempa ordo, formule

T̂[ψ̂(x, t)^{†}ψ̂(x′, t′)] = ψ̂^{†}(x, t′)ψ(x′, t′)θ(t − t′) ± ψ(x′, t′)ψ^{†}(x, t)θ(t′ − t)

kie ± [distinguas] inter Bose-aj kaj Fermi-aj. Si oni havas operatoron ĵ(x) de singla partiklo sia koresponda en kvampa kvantigo estas Ĵ_{αβ} = ∑_{αβ} ψ̂_{β}^{†}(x)j_{αβ}ψ_{α}(x). Uzinte la Green-a funkcio oni skribos

⟨Ĵ⟩ = \frac{⟨Ψ_{0}|Ĵ|Ψ_{0}⟩}{⟨Ψ_{0}|Ψ_{0}⟩} = lim_{x′→x} ∑_{αβ} j_{αβ}(x)\frac{⟨Ψ_{0}|ψ̂_{β}^{†}(x′)ψ̂_{α}(x)|Ψ_{0}⟩}{⟨Ψ_{0}|Ψ_{0}⟩}
= lim_{t′→t^{+}} lim_{x′→x} ∑_{αβ} J_{αβ}G_{αβ}(xt, x′t′) = ±ı lim_{t′→t} lim_{x′→x} tr(J(x)G(xt, x′t′))

√

Jelea Modelo

Oni havas elektronoj kaj ionoj de [opposta] šarǧo. La elktronoj moviǧas multe pli facile de la ionoj en ia kubo de lato L en kiu oni uzas la ecojn de traslacia rotacia nevarianco kaj periodik bordaj kondicoj separinte la ond funkcio kiel sumo de la singlaj.

ψ_{k,λ}(x) = V^{− \frac{1}{2}} e^{ıkx}η_{λ}  η_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} )  η_{2} = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} )

La Hamilton-a estas komponita de kvar partoj: elektrona kinetika termo, interada inter elektronoj, inter elektronoj kaj plusa šarǧa bulk-o kaj la energio de la plusa kontinua [background]

H = ∑_{i=1}^{N} \frac{p_{i}^{2}}{2m} + \frac{1}{2}e^{2} ∑_{1≠j}^{N} \frac{e^{−μ|r_{i}−r_{j}|}}{|r_{i} − r_{j}|} − e^{2} ∑_{i=1}^{N} ∫ d^{3}x\frac{𝔫(x)e^{−μ|x−r_{i}|}}{|x − r_{i}|}

+ \frac{1}{2}e^{2} ∫ d^{3}xd^{3}x′ \frac{𝔫(x)𝔫(x′)e^{−μ|x−x′}}{|x − x′|}

Oni enmetas la μ pro elmeti konvergaj problemoj kaj fine oni povas malaperigi tiu parametro en la limito μ → 0 kaj L → ∞ mode ke L >> μ. Pro la traslacia nevarianteco oni kalkulas sur z = |x − x′| kalkulinte la dupla integralo separe kaj de la uniformo distribuo n(x) = N/V oni facile kalkulas la lastaj du termoj

H_{b} = \frac{1}{2}e^{2} \frac{N^{2}}{V} \frac{4π}{μ^{2}} H_{b−el} = −e^{2} \frac{N^{2}}{V} \frac{4π}{μ^{2}}

Por la unua dua termoj oni devas diverse skribi la operatoroj en kvampa kvantiga formo. La kinetika esta simpla

⟨x_{1}λ_{1}|H_{k}|k_{2}λ_{2}⟩ = \frac{1}{2mV} ∫ d^{3}xe^{−ık_{1}x_{1}}(−ℏ^{2}∇^{2})e^{ık_{2}x_{2}}η_{λ_{2}} =

= \frac{ℏ^{2}k_{2}^{2}}{2mV} δ_{λ_{1},λ_{2}} ∫ d^{3}e^{ı(k_{1}−k_{2})x} = \frac{ℏ^{2}k_{2}^{2}}{2m} δ_{λ_{1},λ_{2}}δ_{k_{1},k_{2}}

La operatoro devenas do

Ĥ_{k} = ∑_{k,λ} \frac{ℏ^{2}k^{2}}{2m} a_{kλ}^{†}a_{kλ}

Por la interada potencialo la kalkulo estas pli longa sed sostance egala kaj pportas al la rezulto:

Ĥ_{e}l = \frac{e^{2}}{2V} ∑_{\underline{k},\underline{λ}} δ_{λ_{1}λ_{3}}δλ_{2}λ_{4}δ_{k_{1}+k_{3},k_{2}+k_{4}} \frac{4π}{(k_{1} − k_{3})^{2} + μ^{2}} a_{k_{1},λ_{1}}^{†}a_{k_{2},λ_{2}}^{†}a_{k_{4},λ_{4}}a_{k_{3},λ_{3}}

Kie a^{†} kaj a estas la operatoroj de kreo e detruo čar la partiklo de momanto k_{1} kun spin λ_{1} poste la interado havos momanton k_{3} sine šanǧo de spin (δ_{λ_{1},λ_{2}}) dume la k_{2}-a havos k_{4}-on. Kun la leǧo de konservo de la momanto oni renomas la variablojn

q + k := k_{1} k := k_{3} p − q := k_{2} p := k_{4}

kaj reskribas

\frac{e^{2}}{2V} ∑_{kpq} ∑_{λ_{1},λ_{2}} \frac{4π}{q^{2} + μ^{2}} a_{k+p,λ_{1}}^{†}a_{p−q,λ_{2}}^{†}a_{k_{4},λ_{2}}a_{k_{3},λ_{3}}

Si oni [izolas] la sumon kiu havas q = 0 (interšanǧo de nula momanto) oni povas, uzinte la antikomuta reglo de la Fermi-oj riformuli

\frac{e^{2}}{2V} \frac{4π}{μ^{2}} ∑_{p,k,λ_{1},λ_{2}} a_{k,λ_{1}}^{†}a_{k,λ_{1}}(a_{p,λ_{2}}^{†}a_{p,λ_{2}} − δ_{kp}δ_{λ_{1}λ_{2}}) = \frac{e^{2}}{2V} \frac{4π}{μ^{2}} (N̂^{2} − N̂)

N̂ estas la operatoro numero de partikloj kiu aldonas c-numero kiu estas en la unua termo egala kaj oposa al la valoro de la kontribuo al la energia donita de la [background] dume la dua nuligas en la termodinamika limito de kiu oni parolis supre. Oni do volas kalkuli la mez valoron de la energio de la sistemo kiu ne estas analize kalkulebla. Oni do volas elkti la perturbad variablo laŭ kiu devolvigi la proksimado de la kalkulo. Oni do definos

r_{0} := (\frac{3V}{4πN} )^{1/3}  a_{0} := \frac{ℏ^{2}}{me^{2}}  r_{s} := \frac{r_{0}}{a_{0}}

kiuj estas la media longeco per partiklo, la Bohr radio kaj la nedimensia variablo de la devolvo. Oni do reskribas

Ĥ = \frac{e^{2}}{a_{0}r_{s}^{2}} ( ∑_{k,λ} \frac{1}{2}(r_{0}k_{0})^{2}a_{k,λ}^{†}a_{k,λ} + \frac{r_{s}}{2V} ∑_{pkq}^{′} ∑_{λ_{1}λ_{2}} \frac{4π}{(r_{0}q)^{2}} a_{k+q,λ_{1}}^{†}a_{k+q,λ_{1}}^{†}a_{p,λ_{2}}a_{kλ_{1}})

Kie ∑′ memorigas ke oni ne sumas plu sur q = 0. Oni do kalkulos la mez valoro de tiu operatoro sur la baza stato de la sistemo. … Kiel bone konita oni povas kalkuli la mez valoron de operatoro per la interad vidado sur devolvo de ne perturbata stato.

\frac{⟨Ψ_{0}^{λ}|Ô_{H}(t)|Ψ_{0}^{λ}⟩}{⟨Ψ_{0}^{λ}|Ψ_{0}^{λ}⟩} = \frac{1}{⟨Ψ_{0}^{0}|U(−∞, ∞)|Ψ_{0}^{0}⟩}⟨Ψ_{0}^{0}| ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!} ∫_{−∞}^{∞} d\underline{t}e^{−λ\underline{t}^{2}}T [ ˆ\underline{H}(t)Ô_{I}(t)]|Ψ_{0}^{0}⟩

kie oni difinas

|Ψ_{H}^{λ}⟩ = |Ψ_{I}^{λ}(0)⟩ = e^{−λ|t|}|Ψ_{0}^{0}⟩ = Û_{λ}(0, ∞)|Ψ_{0}^{0}⟩

prefere la memstato |Ψ_{0}^{λ}⟩ estas la fundamenta _{0} stato de la perturbata Hamilton-a H_{λ} = H_{0} +λH_{1} dume |Ψ_{0}^{0}⟩ estas la memstato de la neperturbata. Je la tempo t = 0 la perturbado komencas dume malaperas en la limito ±∞. Kiel supre skribita oni volas kalkuli la Green-an funkcion de kiu oni povas kalkuli čion mankanta. En la interad vidado oni priskribas la Green-an funkcion kiel

ıG_{αβ}(x⃗, y⃗) = ∑_{n}(−ı)^{n} \frac{1}{n!} ∫_{−∞}^{∞} d\underline{t}_{n} \frac{⟨Ψ_{0}^{0}|T [\underline{Ĥ_{1}}_{n}(t)ψ̂_{α}(x⃗)ψ̂_{β}^{†}(y⃗)]|Ψ_{0}^{0}⟩}{⟨Ψ_{0}^{0}|U(−∞, ∞)|Ψ_{0}^{0}⟩}

de kiu si oni volas kalkuli la unajn du termojn oni devas kalkuli

ıG_{αβ}(x⃗, y⃗) ≃ ⟨Ψ_{0}^{0}|T [ψ̂_{α}(x⃗, y⃗)]|Ψ_{0}^{0}⟩ − ı ∑_{νν′μμ′} ∫ d^{4}x_{1}d^{4}x′_{1}U(x⃗_{1}, x′_{1})_{νν′μμ} ·

·\frac{⟨Ψ_{0}^{0}|T [ψ̂_{ν}^{†}(x⃗_{1})ψ̂_{μ}^{†}(x′_{1})ψ̂_{μ′}(x′_{1})ψ̂_{λ′}(x⃗_{1})ψ̂_{α}(x⃗)ψ̂_{β}^{†}(y⃗)]|Ψ_{0}^{0}⟩}{⟨Ψ_{0}^{0}|U(−∞, ∞)|Ψ_{0}^{0}⟩}

Tiu kalkulo estis pli simple kalkulebla per la Wick teoremo.

6.11.2 Mat: Wick-a Teoremo, Dyson-a Ekvacio

\underline{Mat} Oni ne volas paroli pri la demonstron de la teoremo sed oni volas diri ion pri ǧi konsekvencoj. Si oni kalkulas la mez valoron de grandeco oni volonte uzas la Green-a funkcio kiu havas kiel denominatoro ⟨Ψ_{0}^{0}|U(−∞, ∞)|Ψ_{0}^{0}⟩. La kalkulo de tiuj matricaj elementoj egalas čiuj Feynman diagramojn dekoneksajn kiuj simpliǧas kun la dekoneksaj diagramoj de la numeratoro al čiu ordo. La kalkulo de la Green-a funkcio estas la sole kalkulo de la kontrahiǧo U − −V de la operatoroj de kreo ψ̂^{−}|Ψ_{0}^{0}⟩ kaj detruo ψ̂^{+}|Ψ_{0}^{0}⟩ = 0. La kontrahiǧo eksprimeblas en la diferanco inter la T produkto kiu ordigas la operaratooj poninte ilin en la temp kreskanta ordo kaj la N produkto kiu ordigas al la dekstro la detru operatorojn por nuliǧi la termo ⟨Ψ_{0}^{0}|N[ÛV̂]|Ψ_{0}^{0}⟩ =: 0.

De la difino de kontrahiǧo U − −V = T [UV] − N[UV] oni povas vidi ke la sekvantaj operatoroj nuliǧas

ψ̂^{+} − −ψ̂^{−} = (ψ̂^{+})^{†} − −(ψ̂^{−})^{†} = (ψ̂^{+})^{†} − −ψ̂^{−} = ψ̂^{+} − −(ψ̂^{−})^{†} = 0

čar la rezulto de la T kaj N produkto egalas. Multaj kongtrahiǧioj nuligas čar la rezulta Green-a funkcio estas la sumo de čiaj eblaj kontrahiǧoj. La kontrahiǧo de du operatoroj valoras ne perturbitan Green-an funkcion

ψ̂^{+}(x) − −(ψ̂^{+})^{†}(y)  =^{t_{x}>t_{y}} ıG^{0}(x, y)  =^{t_{y}>t_{x}} 0
ψ̂^{−}(x) − −(ψ̂^{−})^{†}(y)  =^{t_{x}>t_{y}} 0  =^{t_{y}>t_{x}} ıG^{0}(x, y)

Oni havas n! eblaj koneksaj diagramoj kiuj valoras egale čar ne estas grava la etiketo kiu oni donas al la variabloj ekzepte por la ekstremaj punktoj kiuj ne povas šanǧi. La lineo de interado U(x⃗, y⃗)_{λλ′μμ′} = V (x, y)_{λλ′μμ′}δ(t − t′) estas prezentita per onda lineo kaj por čiu punkto oni havas enirantan momenton k⃗ kaj eliranta −k⃗′ dume la interado havos k⃗′′ = k⃗ − k⃗′. De la alia parto oni havos q′′ = k⃗′′ = q⃗ − q′ en la eniro de la interad lineo. Por kompreni la kalkulo de la Green-a funkcio sekvinte la Wick-a teoremo oni montras la rezulto de funkcio ǧis la unua ordo

G_{αβ}^{(1)}(x⃗, y⃗) = ı ∫ d^{4}x_{1} ∫ d^{4}x′_{1}((−1)G_{αλ}^{0}(x⃗, x⃗_{1})U_{λλ′μμ′}(x⃗_{1}, x′_{1})G_{λ′β}^{0}(x⃗_{1}, y⃗)G_{μ′μ}^{0} +
+G_{αλ}^{0}(x⃗, x⃗_{1})U_{λλ′μμ′}(x⃗_{1}, x′_{1})G_{λ′μ}^{0}(x⃗_{1}, x′_{1})G_{μ′β}^{0}(x′_{1}, y⃗))

En la momenta prezento la Green-a funkcio trasformiǧas en

G_{αβ}^{0}(k, ω) = δ_{αβ}G^{0}(k, ω) = δαβ(\frac{θ(|k| − k_{F})}{ω − ω_{k} + ıη} + \frac{θ(k_{F} − |k|)}{ω − ω_{k} − ıη} )

kaj čiu interado kerespondas al la faktoro U_{λλ′μμ′}(q⃗) = 𝒱_{λλ′μμ′}(q) si U depenas sole de la diferenco inter la variabloj U(x⃗, y⃗) = U(x⃗ − y⃗). Kiel oni povas vidi en la lasta ekvacio, se la Hamilton-a ne depenas de la spin variablo, aŭ oni povas saturiǧi ǧin oni srribos la ekzakta Green-a funkcio per

G_{αβ}(x⃗, y⃗) = G_{αβ}^{0} + ∫ d^{4}x_{1} ∫ d^{4}x′_{1}G_{αλ}^{0}(x⃗, x⃗_{1})Σ_{λμ}(x⃗_{1}, x′_{1})G_{μβ}^{0}(x′_{1}, y⃗)

ke difinas la mem energion Σ kaj separas la ekstremaj punktoj de la Green-a funkcioj de la aliaj kun kiuj oni ne devas gardi al la šanǧo inter la punktoj sed sole al la formo de la digramoj kaj la rotacio de la operatoroj kiuj šanǧas la signo al plusa termo. De la difino supren donita sole la propraj, prefere la termoj kiuj oni ne povas separi [tagliando] sola partikla lineo, estas gravaj. Diagramoj de tiu tipo nomiǧas |Mem Energio Propra| Σ^{∗} kaj utilas por skribi la mem energion kiel sumo de diversaj ordoj de la mem propra energio. En la prezento de la momentoj

G(k⃗) = G^{0}(k⃗) + G^{0}(k⃗)Σ(k⃗)G(k⃗)

kiu permetas skribi la Green-a funkcio kiel

G(k⃗) = \frac{1}{(G^{0}(k⃗))^{−1} − Σ^{∗}(k⃗)}

kiu estas la |Dyson-a Ekvacio| kie oni scias ke la inverso de la Green-a estas

(G^{0}(k⃗))^{−1} = ω − ω_{k}^{0}

Ringa Proksimado  Kvantuma Mekaniko

en la spin ne dependa kazo. Oni povas simile difini la |Polarizaǧo Propra| Π^{∗} kiu estas la čiuj diagramoj kiuj ne separigas trančinte interad lineon kaj finas en du interad lineoj. La kompleta interado estas do la sumo de la diversaj ordoj de la propra polarizaǧo Π^{∗} = Π^{∗0} + Π^{∗1} + . . .. Dum la eksakta interado skribiǧas per la sekvanta Dyson-a ekvacio

𝒱(q⃗) = \frac{U_{0}(q⃗)}{1 − Π^{∗}(q⃗)U_{0}(q⃗)}

√

Nun estas grava introduki la |Lehman-a Prezento|n kiu eblas skribi la Green-a funkcio en pli simpla formo čar oni substituas la derivaǧojn kun la reciprokoj de la tempo kaj la distanco per la Fourier-a trasformaǧo.

P̂ := ∑_{α} ∫ d^{3}ψ̂_{α}^{†}(−ıℏ∇)ψ̂_{α}(x) = ∑_{kλ} ℏkc_{kλ}^{†}c_{kλ} − ı∂_{t} ˆ=ω

ℏω_{n} := ℰ_{n} − ℰ Δt := t − t′ Oni do trasformas la Green-a funkcio en Heisenberg-a vidado

ıG_{αβ}(xt, x′t′) = ∑_{n} (θ(t − t′)e^{−ıω_{n}Δt}e^{ıP_{n}(x−x′)}⟨Ψ_{0}|ψ̂_{α}(0)|Ψ_{n}⟩⟨Ψ_{n}|ψ̂_{β}^{†}(0)|Ψ_{0}⟩ +
−θ(t′ − t)e^{ıω_{n}Δt}e^{−ıP_{n}(x−x′)}⟨Ψ_{0}|ψ̂_{β}^{†}(0)|Ψ_{n}⟩⟨Ψ_{n}|ψ̂_{α}(0)|Ψ_{0}⟩)

en la formo trasformita

G_{αβ}(k, ω) = V ∑_{n} (\frac{⟨Ψ_{0}|ψ̂_{α}(0)|nk⟩⟨nk|ψ̂_{β}^{†}(0)|Ψ_{0}⟩}{ω − ω_{h} + ıη} +

+\frac{⟨Ψ_{0}|ψ̂_{β}^{†}(0)|n − k⟩⟨n − k|ψ̂_{α}(0)|Ψ_{0}⟩}{ω + ω_{n} − ıη})

Tiu prezento estas tre grava čar montras la ecoj de la sistemo. Oni difinas

ω_{n} = ℰ_{n}(N + 1) − ℰ(N + 1) + ℰ(N + 1) − ℰ(N) =: ℰ_{n}^{ek}(N + 1) − μ

kiu pli klare montras la energio de ekscito de la sistemo de N + 1 partikloj al la nivelo n ℰ_{n}^{ek}(N +1) kaj la ȟemia potencialo μ kiu estas la energio aldonita al la sistemo si oni enmetas partiklo de tiu speco. Oni kosideras la ȟemia potencialo preskaŭ egala tamen se μ(N + 1) = μ(N) + O(N^{−1}) kaj oni scias ke je la nula temperaturo pro la Pauli principo la ȟemia potencialo egalas la Fermi energio. G estas a 2 × 2 matrico kaj oni povas eksprimi ǧin en termoj de la Pauli matricoj σ. En tiu formo oni povas priskribi la unuan termon de la Green-a funkcio kiel la N + 1 partiklo sur la ℰ_{F} nivelo de N partikloj kiu havas energio de ekscito ℰ_{k}^{ek} − ℰ_{F} = (k^{2} − k_{F}^{2} )/2m. La matrico elemento havas do formo

⟨Ψ_{0}|ψ̂_{α}(0)|nk⟩⟨nk|ψ̂_{β}^{†}(0)|Ψ_{0}⟩ → \frac{δ_{α}β}{θ} k − k_{F} V

La dua termo prezentas anstataŭe sistemon de N − 1 partikloj, prefere ke truo pasas sub la ℰ_{F} nivelon kiu donas diferenco de energia nivelo de (k_{F}^{2} − k^{2})/2m kaj matrica elemeto θ(k_{F} − k). En tiu formo la Green-a funkcio estas meromorfa funkcio kun la diferenca energio inter la ȟemia potencialo e la energio de la ekscito kiel poloj.

6.12 Ringa Proksimado

La kalkulo de interaǧanta sistemo estas čiam dificila sed oni povas fari proksimadon kiu bone plivaloras la sperimentalan daton. Oni faros pesajn proksimadojn kiuj estas: I) sistema ond-funkcio faktorigebla en sigla partiklo ond funkcio (Hartree-Fock proksimado) II) Potencialo isotropa, spina kaj tempa nedependa kaj depenanta de la sola diferenco de koordinatoj 𝒱(x⃗, x′) = 𝒱(x − x′)δ(t − t′) III) La potencialo estas malgranda čar grandas kiel la kuplaǧo kostanto ϵ.

De tiu oni povas skribi la mez valoron de la potencialo kiel

⟨𝒱⟩ = \frac{1}{2} ∫ d^{3}d^{3}x′V (x − x′)⟨ψ̂_{α}^{†}(x)ψ̂_{β}^{†}(x′)ψ̂_{β}(x′)ψ̂_{α}(x)⟩
= \frac{1}{2} ∫ d^{3}xd^{3}x′𝒱(x − x′)(⟨n̂(x)n̂(x′)⟩ − δ(x − x′)⟨n̂(x)⟩)
kiu al ni sugesti de difini funkcion  ñ(x) := n̂(x) − ⟨n̂(x)⟩

ıD(x⃗, x′) = \frac{⟨Ψ_{0}^{λ}|T [ñ(x⃗)ñ(x′)]|Ψ_{0}^{λ}⟩}{⟨Ψ_{0}^{λ}|Ψ_{0}^{λ}⟩}

kiu estas la polarizaǧa operatoro kiu estas utila por kalkuli

⟨𝒱̂⟩ = ⟨Ψ_{0}^{0}|𝒱̂|Ψ_{0}^{0}⟩ + \frac{1}{2} ∫ d^{3}xd^{3}x′𝒱(x − x′)[ıD(x⃗, x′) − ıD^{0}(x⃗, x′)]

La energio de la sistemo estas priskribebla per la perturbata proksimado. Oni konsideras la Hamilton-a kiel H := H_{0} + λ𝒱 de kiu la variado de la energio estas

⟨Ψ_{o}^{λ}|Ψ_{0}^{λ}⟩ =^{!} 1

∂_{λ}ℰ = ℰ∂_{λ}(⟨Ψ_{0}^{λ}|Ψ_{0}^{λ}⟩) + ⟨Ψ_{0}^{λ}|∂_{λ}𝒱̂|Ψ_{0}^{λ}⟩ = ⟨Ψ_{0}^{λ}|∂_{λ}𝒱̂|Ψ_{0}^{λ}⟩

kiu oni donas la formulo

ℰ − ℰ_{0} = ∫_{0}^{1} \frac{dλ}{λ}⟨Ψ_{0}^{λ}|λ𝒱̂|Ψ_{0}^{λ}⟩

La dekstra parto de la ekvacio oni nomiǧos |Energio Korrelada| kiu eksprimos en Fourier-a prezento

ℰ_{kor} = \frac{1}{2} \frac{V}{(2π)^{4}} ∫ \frac{dλ}{λ} ∫ d^{4}qλ𝒱(q)[ıD^{λ}(q⃗) − ıD^{0}(q⃗)]

Oni povas vidi ke la polarizaǧa propagatoro al la nula diagramas en du partiklaj lineoj klusas inter ilin.

D_{αβ}^{0}(x⃗, x′) = −ıG_{αβ}^{0}(x⃗, x′)G_{αβ}^{0}(x′, x⃗) D_{αβ}^{0}(q⃗) = −\frac{ı}{(4π)^{4}} ∫ d^{4}qG_{αβ}^{0}(k⃗)G_{βα}^{0}(q⃗ + k⃗)

kiu estas egala al la polarizaǧo Π^{∗}.

De tiu oni povas kalkuli la mez valoro de la Coulomb-a potencialo en la sekvantaj pasoj. Oni povas vidi ke al la unua ordo la čiuj interad lineoj kiuj ne portas momenton nulas čar 𝒱(q⃗ = 0) = 0 kaj ne portas momenton la lineo kiu konktigas la Fermi-a ringoj G^{0}(x⃗, x^{+}). La aliaj termoj estas la ringa termo al la dua ordo

ℰ_{2}^{r} = \frac{1}{2} \frac{V}{(2π)^{4}} ∫_{0}^{1} \frac{dλ}{λ} ∫ d^{4}[λU_{0}(q⃗)Π^{0}(q⃗)]

kaj la unua ordo propraj polarizaǧoj kiuj oni povas vidi kiu estas finitaj. La ringa energio estas en la ringa proksimado Π^{∗} = Π^{0}

∑_{n=2} x^{n} = x^{2} ∑_{n=0} x^{n} = \frac{x^{2}}{1−x} ; per x < 1
ℰ_{r} = ∑_{n=2}^{∞} ℰ_{n}^{r} = \frac{1}{2} \frac{V}{(2π)^{4}} ∫_{0}^{1} \frac{dλ}{λ} ∫ d^{4}q \frac{(λ𝒱_{0}(q⃗)Π^{0}(q⃗))^{2}}{1 − λ𝒱_{0}(q⃗)Π^{0}(q⃗)}

kiu kompligi la skribon sed forpreni la diverǧencon al q⃗ = 0. Oni devus nun kalkuli la polarizaǰon kiel konvoluo de du Green-aj funkcioj en Fourier-a prezento

Π^{0}(q⃗) = \frac{2}{(2π)^{3}} ∫ \frac{θ(|q + k| − k_{F})θ(k_{F} − k)}{q_{0} + ω_{k} − ω_{q+k} + ıη} − \frac{θ(k_{F} − |q + k|)θ(k − k_{F})}{q_{0} + ω_{k} − ω_{q+k} − ıη}d^{3}k

kiu estas longa kaj laborema kalkulo. Oni volas nur diri ke tiu kontribuo donas kontribuo al la energio

\frac{ℰ_{korr}}{N} = \frac{e^{2}}{2a_{0}} (\frac{2}{π^{2}} (1 − ln 2) ln r_{s} − 0.094 + O(r_{s} ln r_{s})) r_{s} → 0

Si oni havus farita la čiujn kalkulojn oni havos obtenita per la ǰelea modelo

\frac{ℰ}{N} =^{r_{s}→0} \frac{e^{2}}{2a_{0}} (\frac{2.21}{r_{s}^{2}} − \frac{0.916}{r_{s}} + \frac{2}{π^{2}} (1 − ln 2) ln r_{s} − 0.094 + O(r_{s} ln r_{s}))

Statistika Mekaniko

7.1 Distribua Funkcio

La statistika mekamiko priskribas la termodinamikajn variablojn, (𝒯, ℰ, μ, 𝒫, §) per la uzo de la dinamikaj variabloj (p, x). La statistika mekaniko devas priskribi la relacio inter la inversigebleco mikroskopa kaj la ne inversigebleco makroskopa Komence, oni volas konsideri ia priskribo de io sistemo de N partikloj en volumeno V en alproksomiǧo klasika sine konsideri surfaca korektado. Oni volas malkovri la distribua funkcio kiu priskribas la probabla dinamika valoro por ia partiklo priskribita en la |μ-spaco|, la spaco de la koordinatoj (p, q)^{1}. Či tiu funkcio

ρ(p, q, t)d^{3N}pd^{3N}q

estu

- Normaligita

- Čiu relacio depenas sole de la energio, impulso kaj posicio.

- (\frac{p}{m}∇_{r} + F · ∇_{p})ρ(p, q) = 0

- N → ∞ V → ∞ N/V = cost |Termodinamika Limito|

• La sistemo estas dinamike priskribita per Hamilton-aj ekvacioj

Oni do konsideri la loko geometrika tie ene H(p, q) = E, ekvapotenco surfaco, en kiu oni havas senfinaj valoroj de la du triobloj (p, q). Sekvinte la teoremo de Liuville

∂_{t}ρ + {ρ, H(p, q)} = 0

ke kondutas kiel fluo nekunpremebla.

Postulato 7.1.1 Ekvala Apriore Probablo Kiam ia sistemo makroskopa estas termodinamike en ekvilibrio, sia stato povas esti kun ekvala probablo čio inter kioj plenumas la kondicoj makroskopika de la sistemo.

De čia variablo oni volas la mez valoro, la kvara mez devio kaj čia sia kunrilata funkcio čar čiu valoro, en la termodinamika limito, estas praktike la mezvaloro. La |Entropio| estas definita kiel

𝒮 = k log(Γ(E))

Distribua Funkcio  Statistika Mekaniko

kaj agas simile al la termodinamika entropio čar estas estensa (la entropio de du sistemoj estas la sumo de la entropioj kaj 𝒮 → N + O(log(N))) kaj sekvas la termodinamik |Ensemble| (laŭ Gibbs) se N → ∞ V → ∞ N/V = cost dua leǧo. En la termodinamika limito sole unu konfigurado havas numero de okupado multe pli okupita ol aliaj do la entropio estas kalkulebla per Γ(ℰ), volumeno okupita inter du energiaj valoroj ℰ ≤ H(\underline{p}, \underline{q}) ≤ ℰ + Δ, per Σ(ℰ), volumeno okupita inter surfaca nivelo H ≤ H(\underline{p}, \underline{q}) aŭ la denseco de la statoj w(ℰ) = ∂_{ℰ} Σ(ℰ). Oni ne konsideras la energio de interacio inter la sistemoj, (ena proksimaǧo) akirante H(p, q) = H_{1}(p_{1}, q_{1}) + H_{2}(p_{2}, q_{2}). La |Probablo| estas definita kiel la rejšo inter la interesa kaza kontraŭ čia kaza. Por la γ-spaco

1La spaco de N partikloj de kordinatoj (\underline{p}, \underline{q}) estas anstataŭe la |γ-spaco| kaj prezentas la

𝒫(ℰ_{i}) = \frac{Γ(ℰ_{i})}{∑_{i} Γ(ℰ_{i})}au = \frac{∫_{ℰ<ℰ_{i}<ℰ+Δ} e^{βH_{i}(p⃗_{i},q⃗_{i})}dpdq}{∫ e^{βH(p⃗,q⃗)}dpdq} .

7.1.1 Funkcio Partaga

\underline{Th:}

Lagrange-a Moltiplikatoro

Estu \underline{f} : Ω → ℝ difereciebla en ω ∈ Y ⊂ ℝ^{n} aperto. Estu M ∈ Y varieco de klasa C^{l} de dimensio m ≤ n. Estu \underline{p} ∈ M ⊂ Ω kaj \underline{g} : V → ℝ^{ν} kun (ν = n − m) ligilo pro M čirkaŭe p. p estas staciona punkto sse ekzistas Λ_{1}, , Λ_{ν} moltiplikatoroj kiuj eksprimas \underline{f}′(\underline{p}) kiel lineara kompono de \underline{g}′(\underline{p}) aŭ

f′(\underline{p}) = ∑_{j=1}^{ν} Λ_{j}g′_{j}(\underline{p})

⊔

Si oni partas la spaco en n_{i} en la i stato, oni havas n partikloj en N mikrosopaj statoj Q(n_{i}). Oni volas serci la stato makroskopika ke koresponda al pli granda numero de statoj mikroskopikaj per Q(n_{1}, , n_{n}) = n!/(n_{1}!...n_{N}!) prefere maskimigi la funkcio Q_{N} kun la vinkloj de konservo: ∑_{i} n_{i} = n ∑_{i} ℰ_{i}n_{i} = ℰ. log Q_{N} = log (\frac{n!}{n_{1}!...n_{N}!}) = log n! − ∑_{i} log n_{i}!. Laŭ la Lagrange-a moltiplikatoroj, oni devas trovi la maksimo de

log x! ≃ x log x − x la funkcio (log n! − ∑_{i} n_{i} log n_{i} − n_{i}) + α(∑_{i} n_{i} − n) + β(∑_{i} n_{i}ℰ_{i} − ℰ) aŭ kalkuli:

∂_{n_{j}}((log n! − ∑_{i} n_{i} log n_{i} − n_{i}) + α(∑_{i} n_{i} − n) + β(∑_{i} n_{i}ℰ_{i} − ℰ)) = 0

0 = − log n_{j} − 1/n_{j} · n_{j} + 1 + α + βℰ_{j} do

n_{j} = e^{α}e^{βH}

La energio de ideala gaso estas 3/2Nk𝒯 do

\frac{3}{2}Nk𝒯 = \frac{N ∫_{−∞}^{∞} 1/2 · mv^{2}e^{β1/2·mv^{2}}d^{3}v}{∫_{−∞}^{∞} e^{β1/2·mv^{2}}d^{3}v}

3k𝒯 = 3(−1/β) · \sqrt[3]{(−2π/βm)}/\sqrt[3]{−2π/βm} do β = −1/k𝒯.

La |Funkcio Partaga| nedimensia estas

Q_{N}(V, 𝒯) = \frac{1}{N!h^{3N}} ∫ e^{βH(p⃗,q⃗)}d^{3}qd^{3}p = e^{−β𝒜(V,𝒯)} = ∫_{0}^{∞} e^{−β(𝒯𝒮(ℰ)−ℰ)} dℰ (7.1)

kaj egalas esp(−𝒜β) kaj 𝒜 := 𝒰 − 𝒯𝒮 estas la energio Helmholtz-a kaj por la du termodinamik leǧoj L ≤ Δ𝒜. čar:

∂_{β} \frac{1}{N!h^{3N}} ∫ e^{β(H(p⃗,q⃗)−𝒜)} = ∂_{β}1 = 0

sekvinte de −⟨H⟩ + 𝒜 + β∂_{β}𝒜 = 0. Se la 𝒰 Hamilton-a ne dipenas de p oni povas faktoriǧi la funkcio kaj obteni

\frac{1}{h^{3N}N!} ∫ e^{∑^{i} \frac{p^{2}}{2m_{i}}} d^{3N}p = (\sqrt{\frac{2πmk𝒯}{h^{2}}} )^{3N} = \frac{1}{Λ^{3N}}

Gaso sub gravita forco Λ estas nomata |Ond Longeco Terma|.

z_{1} z_{2}

Q_{N} = \frac{1}{N!Λ^{3N}} (\frac{S(e^{−βmgq_{z_{2}}} − e^{−βmgq_{z_{1}}} )}{βmg})^{3N}

De kiu sekvas:𝒜 = k𝒯 log(Q_{N}) P = −∂_{V} 𝒜 = −1/S ∂_{q_{z}}𝒜

P_{1} = \frac{k𝒯N}{S} βmg \frac{e^{βmgq_{z_{1}}}}{e^{βmg(q_{z_{2}} −q_{z_{1}} )}}

ΔP = P_{2} − P_{1} = Nmg/S △

◁Gaso en rotanta cilindro

[figure: h]

V (r) = αr^{2}

Q_{N}(h, R, 𝒯) = \frac{1}{Λ^{3N}N!}( ∫ e^{−βV (x,y,z)}dxdydz)^{N} = \frac{1}{Λ^{3N}N!}(2π ∫ re^{−βαr^{2}}dr)^{N} =

= \frac{1}{Λ^{3N}N!}( ∫_{0}^{R} \frac{2π}{2βα}∂_{r}e^{−αβr^{2}})^{N} = \frac{1}{Λ^{3N}N!}(π \frac{1 − e^{−αβR^{2}}}{βα} )

La presiono estas do

𝒫_{//} = −∂_{V} 𝒜 = k_{ℬ} 𝒯∂_{R} log Q_{n} = \frac{k_{ℬ} 𝒯N}{2πRh} ∂_{R} log(1 − e^{−βαR^{2}}) = \frac{k_{ℬ} 𝒯N}{2πRh} \frac{2Rβαe^{βαR^{2}}}{1 − e^{−βαR^{2}}}

kaj ⟨𝒫_{⊥}⟩ = k_{ℬ} 𝒯/πR^{2}∂_{h} log(Q_{N}) = k_{ℬ} 𝒯N/πR^{2}h. △

Si oni operis sur la potencialo A la funkcio partaga estas ǧenerilo de mez valoroj tial la valoro de la esponanto “falas inter” la integralo realizante ǧia mez valoro.

⟨f⟩ = \frac{∫ f(p, q)e^{fαβ}dpdq}{∫ e^{αfβ}dpdq} = −k_{ℬ} 𝒯∂_{αβ} log(Q_{N}).  (7.2)

De tio oni dekovri ke la fluaǧo de la ena energio kalas tiel \sqrt{N}.

\frac{\sqrt{⟨H^{2}⟩ − ⟨H⟩^{2}}}{⟨H⟩} = \frac{\sqrt{\frac{∂^{2}}{∂β^{2}} 𝒜}}{∂_{β}𝒜} = \frac{\sqrt{\frac{∂}{∂β} ⟨H⟩}}{∂_{β}𝒜} = \frac{1}{\sqrt{N}}

tial ⟨(H − ⟨H⟩)⟩ = ⟨H^{2}⟩ − ⟨H⟩^{2} ⟨H⟩ ∝ N ∂_{𝒯} ⟨H⟩ ∝ N.

7.1.2 Mat: Kombinatoriko

\underline{Mat}

- n elementoj prenitaj k je k: w = n^{k}

- n elementoj prenitaj n je n sine ripeto: w = n!

- n elementoj prenitaj k je k kun interšanǧo: w = \frac{n!}{(n−k)!}

- n elementoj prenitaj k je k sine interšanǧo: w = \frac{n!}{(n−k)!k!}

- w_{n} = ∏_{i}^{n} \frac{N!}{N_{i}!} čiuj modoj de poni N partikloj en n partumigoj

√

Si oni volas priskribi la sistemo kun la variabloj (⟨N⟩, p, q, 𝒯) čar de fakte, fizike, oni povas koni nur la mez valoro de la partiklaj por la ekstera kondocoj kaj ne la eksakta numero de ilin. Oni povas konsideri du sistemoj, iu granda kiu termostatas la malgranda tiu ke N_{1} << N_{2} infinitezima. N = N_{1} − N_{2}, do la korekta konto de

[figure: N; N_{1}; N − N_{1}]

Boltzmann 1/N! estas

\frac{1}{N!} = ∑_{N_{1}}^{N} \frac{1}{N!(N − N_{1})!}

aŭ la kombino de čiu modoj de poni N_{1}-n partiklajn en V_{1} kaj la N_{2}-n en V_{2} kun V_{1} kiu plenigas čion spacon.

z = e^{βμ} Z(V, 𝒯, μ) = ∑_{N}^{∞} z^{N}Q_{N}(V, 𝒯) =^{ofte} ∑_{N} \frac{z^{N}V^{N}}{Λ^{3N}N!} = e^{\frac{zV}{Λ^{3}}}

⟨N⟩ = z∂_{z} log Z = \frac{zV}{Λ^{3}} = log Z = \frac{P V}{k𝒯}

do ⟨N^{2}⟩ − ⟨N^{2}⟩ = P V/k𝒯. En la vido grankanona oni povas defini la |Helmholtz-a Libera Energio| kiel

d𝒜 = −𝒫dV − 𝒮d𝒯 + μdN  (7.3)

Kiu estas la maksimuma ebla laboro agita de la sistemo en trasformzǰo. Pluen, en sistemo termodinamika izolita la Helmoltz-a energio estas minimuma. La |Interna Energio|

d𝒰 = −𝒫dV + 𝒯d𝒮 + μdN  (7.4)

La |Entalpio|

dH = 𝒯d𝒮 + V d𝒫  (7.5)

Finfine la |Gibbs-a Interna Energio|

dG = −V d𝒫 − 𝒮d𝒯 + μdN  (7.6)

akirante:

μ := (∂_{N}𝒜)_{V,𝒯} = (∂_{N}G)_{𝒫,𝒯}

Gaso duatoma en unudimensio La potencialo kimika estas Lagrange-a Moltiplikatoro čar estas nevariebla kvanteco.

H_{1,2}(p⃗_{1,2}, q⃗_{1,2}) = ∑_{i} \frac{p_{1}^{2}}{2m} + ∑_{i} \frac{p_{2}^{2}}{2m} + \frac{1}{2}k_{0}|q_{2} − q_{1}|^{2}

se p_{cm} = \frac{1}{2}p_{1} + \frac{1}{2}p_{2} kaj r_{i} = r_{2} − r_{1}, p_{ri} = |p_{2} − p_{1}|

Q_{N}(V, T) = \frac{1}{N!2^{N}h^{6N}} ∏_{i}^{N} ∫ e^{− \frac{1}{4m} \frac{βp^{2}_{i}}{4m}} e^{− \frac{βkr_{ri}^{2}_{i}}{2}} e^{− \frac{β}{m} p_{ri}_{i}^{2}}d^{3}p_{cm}_{i}d^{3}r_{cm}_{i}d^{3}p_{ri}_{i}d^{3}r_{ri}_{i}

Q_{N} = \frac{L^{N}}{2^{N}Λ_{cm}^{N}Λ_{ri}^{N}Λ_{k}^{N}}

Kie

\frac{1}{Λ_{cm}} = \sqrt{\frac{8πk_{ℬ} 𝒯m}{h_{𝒫}^{2}}}  \frac{1}{Λ_{ri}} = \sqrt{\frac{2πk_{ℬ} 𝒯m}{h_{𝒫}^{2}}}  \frac{1}{Λ_{k}} = \sqrt{\frac{2πk_{ℬ} 𝒯}{kh_{𝒫}^{2}}}  \frac{1}{Λ^{1}} ∝ (k_{ℬ} 𝒯)^{1/2}

Pro kalkuli la mez energio:

−∂_{β} log \frac{1}{Λ} = (k_{ℬ} 𝒯)^{2}∂_{k_{ℬ} 𝒯} ( log ((k_{ℬ} 𝒯)^{1/2} + c)) = \frac{1}{2}(k_{ℬ} 𝒯)^{2} \frac{1}{k_{ℬ} 𝒯} = \frac{1}{2}k_{ℬ} 𝒯

Horaŭ oni povas kalkuli ⟨H⟩ = −∂_{β} log(Q_{N}) = \frac{1}{2}Nk_{ℬ} 𝒯+ \frac{1}{2}Nk_{ℬ} 𝒯+ \frac{1}{2}Nk_{ℬ} 𝒯 = \frac{3}{2}Nk_{ℬ} 𝒯. Oni povas vidi la |Th: de Egala Partumigo de la Energio|, čiu libera grado donas al la mez valoro de la interna energio kontribuon 1/2Nk_{ℬ} 𝒯. Do en tri dimensioj

Q_{N} = \frac{L^{N}}{2^{N}Λ_{cm}^{3N}Λ_{ri}^{3N}Λ_{k}^{3N}}

Kvantuma Statistiko  Statistika Mekaniko

⟨𝒰⟩ = Nk_{ℬ} 𝒯(3/2 + 3/2 + 3/2) = nk_{ℬ} 𝒯 · 9/2.

La Se la potencialo estas |x_{1} − x_{2}|^{n} kun n ≠ 2 oni ne povas separi la termojn sed devas kalkuli la integralo per

Q_{N}(L, 𝒯) = \frac{L^{N}}{N!2^{N}Λ_{cm}^{N}Λ_{r}^{N}} ( ∫ dx_{ri}e^{− \frac{βαx{4 \atop ri}}{2}} )^{N}

solvigebla per la gamma Euler-a poste havi uzita la polaraj koordinatoj.

7.1.3 Mat: Euler-a Gamma kaj Beta

\underline{Mat}

|Euler-a Γ|

Γ(w) := ∫_{0}^{∞} t^{w−1}e^{−t}dt  Γ(m + 1) = m!  Γ(m + \frac{1}{2}) = \frac{(2m)!}{2^{2m}m!}

|Euler-a B|

B(p, q) := ∫_{0}^{1} t^{p−1}(1 − t)^{q−1}dt = 2 ∫_{0}^{2π} cos^{2p−1} θ sin^{2q−1} θdθ =
= ∫_{0}^{∞} \frac{u^{p−1}}{(1 + u)^{p+q}} du = \frac{Γ(p)Γ(q)}{Γ(p + q)}  (7.7)

Estas ofte utila tiu kalkulo: x = \sqrt[n]{\frac{t}{αβ}} dx = \frac{t^{\frac{1}{n} −1}}{n \sqrt[n]{αβ}}

∫_{0}^{∞} e^{βαx^{n}}dx = ∫_{0}^{∞} \frac{t^{\frac{1}{n} −1}}{n \sqrt[n]{αβ}} e^{−t}dt = \frac{Γ(1/n)}{n \sqrt[n]{αβ}}

√

Derivante la konstantoj, kiel la Euler-a Γ, malaperas do ne estas grava koni la eksakta valoro de tiu integralo sed la formo de α kaj β čar ǧenere varias kun la variabloj (𝒯, q, …). Se n = 4

Q_{N}(L, 𝒯) = \frac{L^{N}Γ^{N}(1/4)}{N!2^{N}Λ_{cm}^{N}Λ_{ri}^{N}(4\sqrt[4]{αβ/2})^{N}}

do ⟨𝒰⟩ = k_{ℬ} 𝒯N(3 + 3n/2) △

7.2 Kvantuma Statistiko

Oni konsideras ensemble de N partikloj priskribitaj per la ond funkcio

ψ\underline{n}(r_{1}, r_{2}, , r_{N}) = |n_{1}, n_{2}, , n_{N}⟩

La problemo de la aŭtovaloroj estas faktorigebla en čiu partiklo kaj dimensiono. Ia sistemo de N partikloj identikaj estas nevaianta sub la interšanǧo de la koordinatoj de iu duplo de partikloj. Ia operatoro de interšanǧo P solvas la Shrödingera ekvacio H|P ψ >= E_{n}|P ψ > kaj P^{−1}HP = H. P^{2}ψ = ψ do P ψ = ±ψ. Oni havas du sistemoj ke pro la leǧo de superselkcio ne povas miksiǧis kaj oni nomas |Fermiono|j se P ψ = −ψ aŭ |Bosono|j se P ψ = ψ. Obtenas do ke ia funkcio ψ_{n_{1},n_{2}}(x_{1}, x_{2}) estas esprimebla per iu funkciono simetrika kaj iu kontras̆imetrika

< x_{1}, x_{2}|n_{1}, n_{2} >= \frac{< x_{1}|n_{1} >< x_{2}|n_{2} > ± < x_{2}|n_{1} >< x_{1}|n_{2} >}{\sqrt{2}}

Oni povas vidi ke la fermionoj ne povas čeesti en la sama stato čar nuliǧas la ond funkcio |Pauli-a Eskluda Principo| dume la bosonoj povas čeesti en la sama stato.

Oni partas la energia spektro de n − i partikloj en g_{i} čeloj kiu havas energio ℰ_{i}. Por la fermionoj oni povas konti kvantaj statoj havas g_{i} čelojn kuntenantajn n_{i} partikloj sine interšanǧo. Kiel supren

∂_{n_{j}}( log ∏_{i}^{N} ( \begin{matrix}g_{i} \\ n_{i} \end{matrix} ) − α(∑_{i}^{N} n_{i}) − β(∑_{i} ℰ_{i}n_{i} − ℰ)) = 0

n_{i} = 0, 1 kun similaj kalkuloj

n̄_{j} = g_{j} \frac{e^{−α−βℰ_{i}}}{1 + e^{−α−βℰ_{i}}} = \frac{1}{1 + e^{α−βℰ_{i}}}

Por la bosonoj

w\underline{n} = ( \begin{matrix}g_{i} − 1 + n_{i} \\ n_{i} \end{matrix} )

kiu kontas la statojn kiuj ponas g_{i} − 1 + n_{i} objektoj (g_{i} − 1 barieroj kaj n_{i} partikloj) prenitaj n_{i} je n_{i}. Ǧenere:

Q_{N}(V, 𝒯) = ∑_{\underline{n}_{p}} ∏_{p} (e^{−β \frac{p^{2}}{2m} n_{p}})

ℰ ≤ ℰ\underline{n} ≤ ℰ + Δ Simile al ekzemplo de la klasika statistiko oni havas

ρ_{mikro} = ∑_{\underline{n}} \frac{|\underline{n}⟩⟨\underline{n}|}{Ω(ℰ)}

∑\underline{n}⟨\underline{n}|\underline{n}⟩ = 1 Kie Ω(ℰ) estas la numero de aŭtostatoj de energio ene la intervalo. Oni povas obteni ankaŭ ia media incohera per

ρ̂_{kanona} = ∑_{\underline{n}} \frac{e^{−βℰ\underline{n}} |\underline{n}⟩⟨\underline{n}|}{∑\underline{n} e^{−βℰ\underline{n}}} = \frac{e^{−βĤ}}{T r(e^{−βĤ})}

T r(e^{−βĤ}) = Q_{N} = e^{−β𝒜} . Oni povas diri ke

Q_{N} = ∑_{\underline{n}_{p}} ∏_{p} \frac{1}{n_{p}!}e^{−β \frac{p^{2}}{2m} n_{p}} = \frac{1}{N!}( ∑_{p} e^{−β \frac{p^{2}}{2m}} )^{N} = ∏_{i} \frac{e^{−βℰ_{i}n_{i}}}{n_{i}!}

= \frac{1}{N!}(\frac{L^{3}}{h^{3}} ∫ e^{−β \frac{p^{2}}{2m}} d^{3}p)^{N}  (klasike)

kie ∑_{p} → 1/h^{3} ∫ d^{3}pd^{3}q por la termodinamika limito.

En la vido grankanona

Z(V, 𝒯, μ) = ∑_{\underline{n}_{p}} ∏_{p} \frac{1}{n_{p}!}(ze^{−β \frac{p^{2}}{2m}} )^{n_{p}} = ∏_{p} (1±z^{−1}e^{−β \frac{p^{2}}{2m}} )^{±} =^{log} ± ∑_{p} log (1±z^{−1}e^{β \frac{p^{2}}{2m}} )^{±}

do oni povas obteni

⟨N⟩ = z∂_{z} log Z =^{F −D} \frac{1}{1 + z^{−1}e^{−β \frac{p^{2}}{2m}}}
=^{B−E} ∑_{p} \frac{1}{z^{−1}e^{−β \frac{p^{2}}{2m}} − 1}

Pasinte al la klasika priskribo ∑_{p} → V/h^{3} ∫ d^{3}p la

\frac{𝒫V}{k𝒯} = log Z = ± ∑_{p} log(1 ± ze^{βℰ_{p}} )

Solvas oni tiun integralon en p en polaraj koordinatoj eksprimiǧante la logaritmo per serio akirante

\frac{𝒫}{k𝒯} = \frac{1}{Λ^{3}} ∑_{l=1}^{∞} \frac{(∓)^{l+1}z^{l}}{l^{5/2}}  (7.8)

Definos oni f_{5/2} = ∑_{l=1}^{∞}(−1)^{l+1}z^{l}/l^{5/2} pro fermionoj kaj g_{5/2} = ∑_{l=1}^{∞} z^{l}/l^{5/2} pro bosonoj. Oni povas vidi ke.

⟨𝔫⟩ = \frac{⟨N⟩}{V} = z∂_{z} \frac{𝒫}{k𝒯} = \frac{1}{Λ^{3}} z∂_{z}g_{5/2} = \frac{g_{3/2}}{Λ^{3}} + \frac{1}{V} (\frac{z}{z − 1})

kaj simile per la fermionoj. La termo z/(z − 1)/V estas la okupado de la ⟨n_{0}⟩ nivelo.

La mez numero de okupo estas ∑_{p} n_{p} = N

⟨N⟩ = ∑_{p}⟨n_{p}⟩

⟨n_{p}⟩ = \frac{1}{Z} ∑_{N=0}^{∞} z^{N} ∑_{\underline{n}_{p}\}} n_{p}e^{−β ∑ ℰ_{p}n_{p}} = −∂_{βℰ_{p}} log(Z) = \frac{ze^{−βℰ_{p}}}{1 ∓ ze^{−βℰ_{vetp}}}

Statistikoj de rispektive Bose-Einsten kaj Fermi-Dirac. Oni povas vidi du gravaj rezultoj de tiu esprimo por malalta tempuraturo.

Oni volas montri la kvanteco de la kvantuma korektado al la termodinamika limito.

Λ^{3}𝔫 =^{B−E} ∑_{l} \frac{z^{l}}{l^{3/2}}  z = Λ^{3}𝔫 + O((Λ^{3}𝔫)^{2})  Λ^{3}𝔫 = ∑_{i} \frac{(Λ^{3}𝔫)^{i}}{l^{3/2}}

\frac{𝒫}{k_{ℬ} 𝒯} = \frac{1}{Λ^{3}} ∑_{j} \frac{z^{j}}{j^{(}5/2)} = \frac{1}{Λ^{3}} ∑_{i} \frac{1}{i^{5/2}} ( ∑_{j} \frac{(Λ^{3}𝔫)^{j}}{j^{3/2}} )

\frac{𝒫}{𝔫k_{ℬ} 𝒯} = 1 − \frac{Λ^{3}𝔫}{2^{5/2}} + …

kiu montras ia atraktiva efekto. Fakte oni povas vidi ke se la temperaturo en la Bose-Eistein-a statistiko 𝒯 → 0 sekve z → 1 čiuj la okupadoj valoroj apartenas al unua stato ⟨n_{0}⟩ → ∞ kiu nomiǧas |Bose Einstein-a Kondenso|. Oni povas vidi ankaŭ ke

Λ^{3}𝔫  z

1 = \frac{Λ_{k}^{3}}{Λ^{3}} + \frac{⟨n_{0}⟩}{⟨N⟩} \frac{⟨n_{0}⟩}{⟨N⟩} = 1 − (\frac{𝒯}{𝒯_{k}} )^{3/2}

prefere al la faza transiro je la kritiko temperaturo oni sentas la kvantuma efekto.

\frac{⟨n_{0}⟩}{⟨N⟩}  𝒯

En la Fermi Dirac-a statistiko por 𝒯 → 0 čiuj statoj estas okupitaj kaj egalas al la numero de partikloj. |Fermi-a Energio|

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 ⟨n⟩  ℰ ℰ_{F}𝒯_{1} 𝒯_{2} 𝒯 ≃ 0

◁Fermi-a Energio

Por iu obscilatoro armonika de ekvacio \underline{H} = ℏ^{2}/2m∂_{\underline{x}^{2}}^{2} + α/2\underline{x}^{2} la aŭtostatoj de la oscilatoro armonika estas

ℰ_{n} = ℏ\sqrt{\frac{α}{m}}(\frac{1}{2} + n)

por N partikloj, mallonge de 0 = Kelvin, oni obtenas ke la energio Fermi-a estas

ℰ = ∑_{n=0}^{N−1} ℰ_{n} ℰ_{ℱ} = ℰ_{N−1} , aŭ la maksimuma energio kiu povas havi tiu N partikloj. Se havas oni 𝒯 << T_{F} oni volas dekovri la presiono de la Fermi-a maro.

𝒫 = ∑_{p} (\frac{⟨n_{p}⟩}{V}) ∑_{p_{x}>0} (A\frac{p_{x}}{m} t)(2p_{x})

p unuas ene p_{F} kaj nuliǧas ekstere.

\frac{N}{V} ∑_{p}⟨n_{p}⟩\frac{p_{F}^{2}}{m} = \frac{v}{h^{3}} \frac{1}{3} ∫_{|p|<p_{F}} p^{2}d^{3}p = \frac{1}{h^{3}} \frac{4π}{3} ∫_{0}^{p_{F}} p^{4}dp

𝒫V/k𝒯 egalas β(ℰ_{F} − p^{2}/2m) per p^{2}/2m > ℰ_{F} kaj nulas inverse.

\frac{𝒫V}{k𝒯} = ∑_{p} log(1 + ze^{−βℰ_{p}} ) = \frac{V}{h^{3}} \frac{4π}{k𝒯} ∫_{0}^{p_{F}} p^{2}(\frac{p_{F}^{2}}{2m} − \frac{p^{2}}{2m})dp

N/V = ⟨N⟩/A La kimika potencialo estas la energio petita por enmeti en la sistemo nvan partiklon

al la nula energio. △

Du axutostatoj

Oni havas N partikloj de maso m en volumo V en aŭtostatoj {ℰ_{0}, ℰ_{1}} kun indico de [degenerazione] g_{1}, g_{2} por ℰ_{p,v} = p^{2}/2m + ℰ_{n} oni havas ǧenere

Q_{N} = \frac{1}{N!}( ∑_{p,n} e^{−βℰ_{p,n}} )^{N} = \frac{1}{N!}( ∑_{n} e^{−βℰ_{n}} ∑_{p} e^{−β \frac{p^{2}}{2m}} )^{N} = \frac{V^{N}}{Λ_{G}^{3N}N!}( ∑_{n} g_{n}e^{−βℰ_{n}} )^{N}

La interna energio kaj la terma koefičento al kostanta volumento estas

𝒰 = ⟨H⟩ = −∂_{β} log(Q_{N}) C_{V} = ∂_{𝒯} 𝒰

△ Fariǧas oni la sumo sur la statoj kaj ne sur la energioj.

Centroj Adsorbaj

En ia gaso (m, N, V, 𝒯) oni havas M centraj absorbaj kiuj povas kapturi partiklon kun energio −ℰ_{0}. Trakas oni tiu sistemo kiel ia grankanona čar la gaso estas kiel termostato rilate la centrojn.

Z = Π_{1}^{M}(1 + ze^{βℰ_{0}} )

La centroj agas kiel Fermi-aj statoj kaj sumigas oni sur la sotoj kaj ne sur la energioj. La mez valoro de partiklaj adsorbaj estas

⟨N⟩_{ads} = z∂_{z}Z = M(\frac{ze^{βℰ_{0}}}{1 + ze^{βℰ_{0}}} )

Se havas oni du adsorb centraj specoj oni kalkulas la Z grankanona produktante la sumo de čiuj centraj okupitaj. 1 signifas ke la centroj ne estas okupita, z_{A}e^{βℰ_{A}} signifas ke la centroj de speco A estas okupita, kaj z_{B}e^{βℰ_{B}} rilatas la B-ajn specojn. Do

Z = Π_{1}^{M}(1 + ze^{βℰ_{A}} + e^{βℰ_{B}} )

△

Fotonoj

Ekzercoj  Statistika Mekaniko

ℰ_{p} = c|p|, 𝒰 = 3𝒯V estas bosonoj kaj havas spin ±1.En la materio haviǧas oni la |Fonono|j kiu havas la sonrapido astataŭ de la lumrapideco. Oni ne povas determini la numero de fotonoj čar ili povas malkovri darinte energio al la atomoj. La kvantaj numeroj estas (p, s) kaj oni elprenas indicon indikantan deǧeneron statan g. Ǧenere g = 2s + 1 sed fotonoj havas nur du aŭ tostatoj do g = 2. Havas oni deǧenero, ekzemple, se, sine magnetika kampo, la spin ne akiras divers enrgiajn nivelojn. Do

Z = Π_{p,s}(1 + ze^{βℰ_{p,s}} ) = Π_{p}(1 + ze^{βℰ_{p}} )^{2}

Per fiksa numero de fotonoj sercas oni kiam estas minusa la energio libera Helmholtz-a al 𝒯 fiksa. ∂_{N}𝒜 = 0 ⇒ μ = 0 z = 1

\frac{𝒫V}{k𝒯} = \frac{8πV}{n^{3}c^{3}β^{3}} ∑_{l} \frac{1}{l} ∫_{0}^{∞} y^{2}e^{ly^{2}}dp = \frac{8πV}{n^{3}c^{3}β^{3}} ∑_{l} \frac{1}{l}∂_{l}^{2} \frac{1}{l} = \frac{8πV}{n^{3}c^{3}β^{3}} ∑_{l=1}^{∞} \frac{2}{l^{4}}

Poste kaj simile

𝒰 = 2 ∑_{p} c|p|\frac{1}{e^{βcp} − 1} = \frac{zV}{h^{3}} 4π ∫_{0}^{∞} p^{2}cp ∑_{l} e^{−βlcp}d^{3}p = \frac{8πV (k𝒯)^{4}}{c^{3}h^{3}} ∑_{l=1}^{∞} \frac{6}{l^{4}}

Sekvas 𝒰 = 3k𝒯 △

7.3 Ekzercoj

◁Presiono

Oni havas gason en skatolon de lato L. Oni kalkulas la mez valor de la impulso sur flanko A. Oni havas la distribua funkcio kiel

f(p, q) = \frac{Λ}{h^{3}V} ∫ e^{−β \frac{p^{2}}{2m}} d^{3}p ∫_{Apt/m} d^{3}q

kie Atp_{x}/m estas la volumo okupita de la partikloj por čiuj direcioj de la impulso.

⟨p_{x}⟩_{p_{x}>0} = \frac{AtΛ^{3}}{mh^{3}V} ∫_{p_{x}>0} p^{2}e^{−β \frac{p^{2}}{2m}} d^{3}p = \frac{2AtΛ^{3}}{Λ^{2}h^{3}V} \frac{1}{2} ∫ ∂_{β}e^{−β \frac{p^{2}_{x}}{2m}} dp_{x} =

= \frac{AtΛ}{h^{3}V} ∂_{β} ∫ e^{−β \frac{p^{2}_{x}}{2m}} dp_{x} = \frac{AtΛ}{h^{3}V} ( − \frac{1}{k𝒯^{2}} ∂_{𝒯} \sqrt{2πmk𝒯}) = \frac{AtΛ}{2ΛV} k𝒯 = \frac{At}{2V} k𝒯

Presiono estas 𝒫 = ⟨p⟩/At do 𝒫 = Nk𝒯/V kiu estas la ekvacio de la ideala gaso. △

◁Fermionoj

La statoj de spin estas g = 2S + 1.

v = \frac{V}{N}
Z = Π_{p,ℰ} (1 + ze^{− \frac{−βp^{2}}{2m}} ) = Π_{p}(1 + ze^{βℰ_{p}} )^{g}  (7.9)

⟨N⟩ = z∂_{z} log Z = \frac{gV}{Λ^{3}} f_{3/2}(z) \frac{𝒫}{k_{ℬ} 𝒯} = gΛ^{3}f_{5/2}(z).

Per 𝒯 → 0 p_{F}^{2} /2m = ℰ_{f}

⟨N⟩ = g ∑_{p}⟨n_{p}⟩ = g ∑_{|p|≤p_{F}} 1 = g \frac{V}{h^{3}} ∫_{|p|≤p_{F}} d^{3}p = g \frac{V}{h^{3}} \frac{4}{3}πp_{F}^{3}

⟨N⟩ = g2π \frac{V (2m)^{3/2}}{h^{3}} ∫_{0}^{ℰ_{F}} \sqrt{ℰ}dℰ = g2π \frac{(2m)^{3/2}}{h^{3}} ℰ_{F}^{3/2} \frac{2}{3} 𝒫V = 2/3𝒰

𝒰 = g ∑_{p}⟨n_{p}⟩ℰ_{p} = g2πV \frac{(2m)^{3/2}}{h^{3}} \frac{ℰ_{F}^{5/2}}{5/2} = ⟨N⟩\frac{3}{5}ℰ_{F}

Kampa Priskribo  Statistika Mekaniko

𝒫 = \frac{1}{V} \frac{2}{3}𝒰 = \frac{3}{5}ℰ_{F} N/V \frac{2𝒫}{5ℏ^{2}} \frac{1}{2m}(\frac{6π^{2}}{gv^{5/2}} )^{2/3}

Oni havas spacon due separitan, en la unua parto partikloj havas spin S = 1/2

dume en la dua S = 3/2. 𝒫_{1} = 𝒫_{2} v_{1} v_{2}^{1/2}  ^{3/2} m m

\frac{2}{5} \frac{ℏ^{2}}{2m}(\frac{6π^{2}}{2v_{1}^{5/2}} )^{2/3} = \frac{2}{5} \frac{ℏ^{2}}{2m}(\frac{6π^{2}}{4v_{2}^{5/2}} )^{2/3}

z = \frac{Λ^{3}}{v} \frac{1}{g} + a( \frac{Λ^{3}}{V} )^{2} + … ((\frac{v_{1}}{v_{2}} )^{5/2} = 1/2 v_{2} = (\frac{1}{2})^{2/5}v_{1}

\frac{1}{v} = \frac{g}{Λ^{3}} (z − \frac{z^{2}}{2^{1/2}} + \frac{z^{3}}{3^{3/2}} + …) = \frac{g}{Λ^{3}} ((\frac{Λ^{3}}{gv} + a(\frac{Λ^{3}}{v} )^{2} + …) − \frac{1}{2}^{3/2}(\frac{Λ^{3}}{gv} + …)^{2} + …)

a = 1/g^{2} · 1/2^{3/2} \frac{1}{V} = \frac{g}{Λ^{3}} (\frac{Λ^{3}}{gv} + a(\frac{Λ^{3}}{v} )^{2} + … − \frac{1}{g}^{2} \frac{1}{2^{3/2}} (\frac{Λ^{3}}{v} )^{2} + …)

z = \frac{Λ^{3}}{v} \frac{1}{g} + \frac{1}{g^{2}} \frac{1}{2}^{3/2}( \frac{Λ^{3}}{v} )^{2} + …

\frac{𝒫}{k_{ℬ} 𝒯} = \frac{g}{Λ^{3}} (z + \frac{z^{2}}{2}^{5/2} + …) = \frac{g}{Λ^{3}} (…) = \frac{1}{v} + \frac{g}{Λ^{3}} \frac{1}{2^{2/5}} (\frac{Λ^{3}}{v} )^{2}

\frac{𝒫V}{k𝒯} = 1 + \frac{1}{g2^{2/5}} \frac{Λ^{3}}{v}

△

Bose-Einstein-a Kondenso

v/Λ_{k}^{3}g_{3/2}(1) = 1  1/v = 1/Λ^{3}g_{3/2}(1) + lim_{V →∞}⟨n_{0}⟩/V  1 = v/Λ^{3}g_{3/2}(1) + ⟨n⟩_{0}/⟨N⟩ 1 =

Λ_{k}^{3}/Λ^{3} + ⟨n_{0}⟩⟨N⟩. La frakcio de kondenso estas ⟨n_{0}⟩/⟨N⟩ = 1 − (𝒯_{k}/𝒯)^{3/2}

En du dimensio

\frac{𝒫V}{k𝒯} = …

△

7.4 Kampa Priskribo

Se oni havas K̂ operatoro de la sistemo, sumo de la Hamilton-a Ĥ kaj de la numero de partikloj μN̂ oni povas uzi Matsubara vidadon por skribi la Green-a funkcio en

Tiu kaze x⃗ = (x, τ) kie τ estas perturbata iterado reala numero, ofte 1/β = k_{B}𝒯

G_{αβ}(x⃗, x′) = −e^{β𝒜} tr(e^{−βK̂} ψ̂_{α,M}(x⃗)ψ̂_{β,M}^{†}(x′))

K̂_{0} = Ĥ_{0} kiu en la interad vidado skribos

G_{αβ}(x⃗, x′) = \frac{−tr(e^{−βK̂_{0}} ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−ℏ)^{n}}{n!} ∫_{0}^{βℏ} d\underline{τ}T_{τ} [\underline{𝒱̂}(τ)ψ̂_{Iα}(x⃗)ψ̂_{Iβ}(x′)])}{tr(e^{−βK̂_{0}} ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−ℏ)^{n}}{n!} ∫_{0}^{βℏ} d\underline{τ}T_{τ} [\underline{𝒱̂}(τ)])}

kie oni havas uzita la bone notita difino de la libera energio 𝒜

e^{−β𝒜} := tr(e^{−βK̂})  ρ̂_{G} := e^{β(𝒜−K̂)}

por difini la normaligita grand kanoka funkcio ρ_{G}. La priskribo estas tute egala al la nula temperatura priskribo, oni uzos la Wick-an teoremon, la Feynmann reglojn, la Dyson ekvaciojn ktp.

Oni povas uzi tiu priskribo por kalkuli la adiabatikan [switching on] per la variado de la parametro λ, K̂ = Ĥ_{0} + μN̂ + λ𝒱. Do

Z_{Gλ} := e^{−β𝒜λ} ∂_{λ}𝒜 = −\frac{𝒯}{Z_{Gλ}} ∂_{λ}Z_{Gλ}

Faza Transiro  Statistika Mekaniko

tiu derivaǧo sur eksponenta serio donas

∂_{λ}Z_{Gλ} = ∂_{λ} ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−β)^{n}}{n!} tr(Ĥ_{0} + λ̂𝒱)^{n} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−β)^{n}}{n!} ∂_{λ}tr(Ĥ_{0} + λ𝒱̂)^{n−1}𝒱

kiu disvolvigos en

∂_{λ}Z_{Gλ} = −\frac{β}{λ} e^{−β𝒜λ} ⟨λV̂ ⟩_{λ} 𝒜 − 𝒜_{0} = ∫_{0}^{1} \frac{dλ}{λ}⟨λ𝒱⟩_{λ}

Ke, kiel oni vidis en la kvantuma čapitro, oni devolvigas en

𝒜 = 𝒜_{0} ∓ ∫_{0}^{1} \frac{dλ}{λ} ∫ d^{3}x lim_{x′→x⃗} \frac{1}{2}( − ∂_{τ} + \frac{∇^{2}}{2m} + μ)trG^{λ}(x⃗, x′)

7.5 Faza Transiro

Oni volas konstrui traktadon kiu povas priskribi la [comportamento] de la molekuloj en ensamble kaj malkovri la ekvaciojn kiuj priskribu la transiro de fazo. Fenomeno tre dificila priskribi čar oni havas [rottura] de ergodeco kaj ne pli valoras la postulatoj de la Statistika Mekaniko. Do oni devas difini potencialon kiu interagas inter la partikloj por provi al apliki la uze traktadon supre priskibitan.

Komence oni povas priskribi la sistemon kiel simple interado de sferoj Kune tiu

[figure: Sfero; Dura; x; 𝒱; d_{0}]

simple potencialo oni povas diri ke la molekuloj moviǧas libere en la volumeno sed ne povas okupi la posiciojn de la aliajn. Si oni enmetas partiklon tiu havas V libera volumeno. Si oni enmetas iu ali partiklon tiu havas V − V_{sf} kiel libera volumeno. Iu tria havus V − 2V_{sf} libera volumeno (tie ne kalkulas ke se du sferoj estas [vicine] la libera volumeno estas pli granda čar surposicias la volumeno de interado). Oni volas trovi la funkcio partaga

Q_{N}(V, 𝒯) = \frac{1}{Λ^{3N}N!} ∫ dxe^{−β𝒱(x)} 𝒱(\underline{x}) = ∑_{i<j} V (|x_{i} − x_{j}|) + ∑_{i} 𝒰(x_{i})

En la sfera dura modelo 𝒰 estas nula kaj 𝒱 nuliǧas se la distanco de |q_{i} − q_{j}| estas pli malgranda de d_{0}. Oni povas kalkuli la produkton de čiuj posiciaj konfiguradoj V ∏_{s=0}^{N−1}(1 − (sV_{0})/V) kaj sia logaritmo proksimigante V_{0} << V ∑_{i}^{N} i ≃ \frac{N^{2}}{2}

ln V ∏_{s=0}^{N−1} (1 − s\frac{sV_{0}}{V} ) ≃ ∑^{N} ln V + ∑_{s_{0}}^{N−1} (0 − \frac{sV_{0}}{V} + O(\frac{sV_{0}}{V} )^{2}) ≃ N ln V − \frac{N^{2}}{2} \frac{V_{0}}{V}

Kie V_{0} estas ok fojoj la volumeno de la dura sfero kaj oni difinas b := NV_{0}/2. Oni do obtenas

Q_{N}^{sd}(V, 𝒯) ≃ \frac{1}{N!Λ^{3N}} (V − \frac{NV_{0}}{V} )

Oni povas ankaŭ utiligi la |Proksimaǧo de Media Kampo| pensante de havi potencialo [attrattivo] kiu agas medie sur čiujn partiklojn.

⟨𝒱⟩ := \frac{∫_{|x|>V_{0}} dx𝒱(x)}{∫_{|x|>V_{0}} dx} = \frac{αN(N − 1)}{2V} Q_{N}(𝒯, 𝒱) ≃ e^{− \frac{βαN^{2}}{2V}} ∫_{V} dxe^{−β ∑_{i<j} V_{sd}(|x_{i}−x_{j}|)}

Kun la sekvanta distribua funkcio

Q_{N}(𝒯, V) ≃ \frac{1}{N!Λ^{3}} (V − b)^{N}e^{\frac{αN^{2}}{2k_{ℬ} 𝒯V}}

oni povas trovi la presiono kiun oni scias kalkuli per 𝒫 = −∂_{V} 𝒜 kaj derivi la ekvacio 𝒜 = −k_{ℬ} 𝒯∂_{V} ln Q_{N} de stato notita kiel |Van der Waals-a Ekvacio|

\frac{𝒫}{k_{ℬ} 𝒯} = \frac{N}{V − b} − \frac{αN^{2}}{2k_{ℬ} 𝒯V^{2}} (𝒫 + \frac{αN^{2}}{2V^{2}} )(V − b) = nk_{ℬ} 𝒯

La Van der Waals ekvacio estas bona proksimaǧo inter la idealgasa stata ekvacio kaj la transiro de faza sed ne montras la [comporamento] de la gaso en la orizontala trakto. Maxwell diris ke la tia ciklo estas isoterma čar la integralo inter la punktoj A kaj B

[figure: A; B; ∮ d_{𝒯} 𝒬 = 0]

samas en la du direkcioj.

Oni povas enkonduki potencialon kiu kungi la partikloj. Oni traktas la distibuan funkcion kun Lennerd Jones-a potencialo kun tiu priskribo

Q_{N} = \frac{1}{N!Λ^{N}} ∫ dxe^{−β ∑_{i<j} ϵ((\frac{σ}{r_{ij}} )^{12}−(\frac{σ}{r_{ij}} )^{6})} = \frac{1}{N!Λ^{N}} ∏_{i<j} ∫ dx1+ f(|x_{i} − x_{j}|)^{f_{ij}}

Kun f_{ij} = exp(−β𝒱(x_{i} − x_{j}|) oni havas funkcion limitata en la intervalo [0, R_{0}] en kiu la potencialo agas (oni uzas potencialon de range finita. Si oni disvolvigas la pa produkton oni vidas inicie la termon 1 de produkto de čiuj 1-oj, poste la produkton de la singlaj f_{ij} mopliplikitaj per la 1-oj, la produkton de la duoplaj f_{ij}f_{lk} kaj tiel pli

1 + f_{12} + f_{23} + … + f_{12}f_{23} + f_{23}f_{34} + … + f_{12}f_{23}f_{34} + …

La f_{ij} prezentas la interadoj inter la partikloj. Oni volas montri la bildon diagramatikan de la interadoj. Por čiu duoplo oni povas koniugi aŭ ne kun 2^{N(N−1)/2} posiblecoj.

[figure: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; f_{56}f_{67}f_{78}f_{58}f_{79}; f_{34}]

Se b_{l} estas la sumo de la kontribuoj de l punktoj, prefere l − 1 ligoj, b_{1} estas la sumo de čiuj partikloj sine ligoj do la volumeno de la sistemo b_{1}/V = 1. b_{2} estas la integralo ∫ dx_{1}dx_{2}f_{12} = V ∫ dρf(ρ)

b_{2} = \frac{1}{2!V Λ^{3}} · V ∫ d^{3}ρf_{(}ρ) b_{3} = \frac{1}{3!V Λ^{6}} ∫ dx_{1}dx_{2}dx_{3}f_{12}f_{23} = \frac{1}{3!V Λ^{6}} V ∫ dρf_{(}ρ)

Ǧeneraligante

b_{l} = \frac{1}{l!V Λ^{3l−3}} ( …)

kie inter ()-oj oni sumas čiuj amasoj [distinto]j dume la partaga funkcio Q_{N} estas la

∑_{l=1}^{N} lm_{l} = N sumo sur la distintaj grafoj de N punktoj.

Q_{N} = \frac{1}{N!Λ^{3N}} ∑_{\{m_{l}\}} s_{\{m_{l}\}}

s_{{m_{l}}} = C, C(V b_{1})^{m_{1}}, C(V b_{1})^{m_{1}}(2!vΛ^{3}b_{2})^{m_{2}}, C(V b_{1})^{m_{1}} … (l!V Λ^{3l−l}b_{l})^{m_{l}}

Pro čiu amaso oni povas permuti la l partikloj l! fojoj čiuj m_{l} amasoj, do (l!)^{m_{l}}. Oni povas ankaŭ interšanǧi la amasojn inter ilin m_{l}! fojoj. Do la rekta kontaǧo estas

C = \frac{N!}{(1!)^{m_{1}}(2!)^{m_{2}} … (l!)^{m_{l}} … (N!)^{m_{N}} m_{1}!m_{2}! …}

oni havas

Q_{N} = \frac{1}{N!Λ^{3N}} ∑_{\{m_{l}\}} s_{\{m_{l}\}} = \frac{1}{N!Λ^{3N}} ∑_{\{m_{l}\}} N!Λ^{3N} ∏_{l=1}^{N} (\frac{V b_{l}}{Λ^{3}} )^{m_{l}} \frac{1}{m_{l}!}

Z(z, V, 𝒯) := ∑_{N=0}^{∞} z^{N} Q_{N} en la vido grandkanona oni eksprimas la disvolvo de la stata ekvacio laŭe la viriale

Z(z, V, 𝒯) = ∑_{N=0}^{∞} ∑_{\{m_{l}\}} ∏_{l=1}^{N} (\frac{V b_{l}z^{l}}{Λ^{3}} )^{m_{l}} \frac{1}{m_{l}!} = ∏_{l=1}^{∞} ∑_{m} = 0^{∞}(\frac{V b_{l}z^{l}}{Λ^{3}} )^{m} \frac{1}{m_{l}!} = e ∑_{l=1}^{∞} \frac{b_{j}}{Λ^{3}} V z^{l}

oni do povas skribi la stato ekvacio kiel disvolvo de la viriale

\frac{𝒫}{k_{ℬ} 𝒯} = \frac{1}{Λ^{3}} ∑_{l=1}^{∞} ∑_{l} = 1^{∞}b_{l}z^{l}

Kiam oni havas disvolvon de Z en povecoj de z oni povas studi la sistemon per la nuloj de la sistemo. La senfina polinomio havas senfinajn nulojn. Tiuj nuloj estas ǧenere en la kompleksa akso kaj havas preskaŭ čiam ne nul imaginan parton. Kiam nulo havas nur realan valoron oni havas [accumulazione] de la aliaj punktoj čikaŭe či tiu. Se oni povas trovi trakton de la reala akso kiu ne plitenas nuloj la limito de la funkcio verse tiu nulo estas analitika.

Young \underline{Th:}

Si

F_{∞}(z, 𝒯) := lim_{V →∞} \frac{ln Z(z, V, 𝒯)}{V}

estas [kontinua] kaj malkreskante sia derivaǧo z∂_{z} estas analitika kaj strekte malkreskante. Pro čiu z_{0} en ℝ oni havas du reǧionoj de analiteco ⊗

Oni do povas distingi inter la faze transiro de unua aŭ dua ordo vidante la malkontinueco de la derivaǧoj. La faza tranziro al la unua ordo havas kuneksisto de la du statoj en la ekvilibrio, en la dua ordo la sistemo pasas kontinue de uno stato al la alia. Oni povas difini la |Parametro Orda| kiu estas la variablo kiu montras la malkontinueco al la kritika punkto. Si oni konsideras 𝒫(V) kiel orda parametro oni povas vidi ke sia derivaǧo estas malkontinua al la unua ordo. Si oni anstataĕ konsideras V_{gaso} − V Likuido la orda parametro estas de dua ordo. Dume la faza tranziro oni havas la m_{g} mason de la gaso kaj la m_{l} mason de la likvido kaj oni povas uzi energion per šanǧi la ininitezima kvanteco de likvida maso en gasa −δm_{l} = δm_{g}. La Gibbs-a energio estas do difinita kiel G = m_{l}g_{l} + m_{g}g_{g} kaj oni povas derivi la entropio per ∂_{𝒯} G akirante du diversaj valoroj de la entropio 𝒮_{g} kaj 𝒮_{l}. Oni do havas angulan punkton kiu

gg gl Angula punkto

estas la sigulareco de la sistemo. En tiu puntko oni povas vidi la Ergodeca Rompo kaj la sistemo perdas la simetrion de la mekanika statistiko priskribo. En tiu punkto oni havas rompon čar oni havas gravan fluktuadon de la denseco čirkaŭe la ekvilibrio. En la unua ordo oni havas ankaŭ fenomenoj kiel la senfiniteco de la komprimo en la kritika pukto

K(𝒯, V_{c}) = \frac{1}{V} ∂_{𝒫} V |_{𝒯} →_{𝒯→𝒯_{c}} \frac{A}{(𝒯 − 𝒯_{c})^{γ}}

dume al la dua ordo la specifa kaloro estas

C_{V} 𝒯d_{𝒯} 𝒮 → |t|^{−α}

La afero pli grava estas la |Longeco Karatkeriza| de la sistemo. La korelacio de la denseco kreskas kiel

G(r) = ⟨𝔫(x)𝔫(0)⟩ − ⟨𝔫(0)⟩ ∝ \frac{1}{r^{d−2−η}} e^{−r/ξ}

en la kritika punkto la karakteriza longeco

ξ ∝ t^{−ν} →_{t→0} ∞ t := \frac{𝒯 − 𝒯_{k}}{𝒯}

Kiam ξ → ∞ oni povas šanǧi la skala faktoro de la retiklo kiu trasformas per

r′ = r/b G(r′) =_{t→0} b^{d−2−η}G(r)

oni do ne povas pli rekoni la pligrandigo de la sistemo. Kiel fraktalo la sistemo samas pro iu ajn skala faktoro, krom makrokopike. Oni do enkondukas faman modelon kiu priskribas tipoj de modeloj

Ising-a Modelo  Statistika Mekaniko

7.6 Ising-a Modelo

La Ising-a modelo naskis kiel modelo pro kalkuli la magnetizaǰo spontanea de la fermetaloj sed plialtigis sian priskribon traktinte čiuj fenomenoj kiu havas du grada transiro kaj simetria rompiǧo. Tia modelo estas diskreta, oni vidas čiujn elektonojn en fiksa posicio de la retiklo. La elektronoj estas priskribitaj per siaj spin kaj la oriento de čiuj spin povas kompleksive montri la rompiǧon de la simetrio. Tiuj fenomenoj forte depenas de la temperaturo. En la pli baza Ising-a modelo la sistemo depenas sole de la temperaturo 𝒯, la eksterna magnetika kampo H kaj la kostanto de parigo K inter du proksimaj spin. La Hamilton-a de la sistemo estas

H = K ∑_{<ij>} s_{i}s_{j} + H ∑_{i} s_{i}

kie < ij > signifikas la sumo inter du |Unua Apudoj|, prefere kun la čiuj elektronoj kiuj troviǧas al la sama distanco, la pli apuda.

Oni povas pluen difini aliajn grandecojn kiuj estas utilaj por kompreni la grandecoj de la sistemo. La |Magnetizaǧo| kaj la

M := ⟨μ_{0} ∑_{i} s_{i}⟩

Procesoj Stokastikaj

La stokastika proceso aŭ signalo estas nedetermina proceso g, ofte konsiderita sole per la tempa variablo g = g(t), de kiu oni scias sole sia statistikaj ecoj. La stokastikaj procesoj povas esti stacionaraj se la statistikaj ecoj ne variigas en la tempo kaj povas esti ergodecaj se čiuj procesoj en la sama tempo evolvigas simile. Oni povas priskribi ian proceson per sia |Probabla Denseco| kiu estas kiu estas difinita per

8.0.1 Mat: Asioma Difino de la Probabla Mizuro

\underline{Mat}

La Funkcio 𝒫(t) estas …

√

Kun la probabla denseco oni povas difini la momantojn de la proceso. La |Probabla Momanto| estas la sumo de čiuj valoroj al la n potenco per la probabla denseco en tiu punkto.

m_{n} := ∫ dxx^{n}𝒫(x) =^{aŭ} \frac{1}{N} ∑_{i}^{N} x_{i}^{n} = ∑_{i}^{M} x_{i}𝒫_{i}

kir 𝒫_{i} estas la fekvenco de apero de la M diversaj variabloj x_{i} en la kampiono. La unua momanto estas la medio kun kiu oni povas konstrui centrajn momantojn

x̄ := ∫ dx𝒫(x) =^{aŭ} \frac{1}{N} ∑_{i}^{N} x m_{n}^{c} := ∫ dx(x − x̄)^{n}𝒫(x) =^{aŭ} ∑_{i}^{M}(x_{i} − x̄)^{n}𝒫_{i}

La pli grava centra momanto estas la dua ankaŭ nomita |Varianco|.

8.1 Distribuoj

8.1.1 Difinoj

Probableco Medio < x >:= x̂ := ∫_{−∞}^{∞} x𝒫(x)dx

Varianco σ := ⟨x− < x > ⟩^{2} =< x^{2} > − < x >^{2} Probableco Kumulita P (a < x < b) := ∫_{a}^{b} 𝒫(x)dx P (−∞ < x < ∞) =^{!} 1 Maksimumo, Miminumo q_{0} := min(x_{i}), q_{4} := max(x_{i})

Kvartilo q_{1}|P_{q_{1}} := P (−∞ < x < q_{1}) =^{!} 1/4, q_{2}|P_{q_{2}} =^{!} 1/2, q_{3}|P_{q_{3}} =^{!} 3/4

Mediano q_{2} := μ|P_{μ} =^{!} 1/2

8.1.2 Gauss-a, normala

𝒫(x; x̂, σ) = \frac{1}{\sqrt{2πσ^{2}}} e^{\frac{−(x̂−x)^{2}}{2σ^{2}}}

Distribuoj  Procesoj Stokastikaj

8.1.3 Binomiala

𝒫(x = k) = ( \begin{matrix}n \\ k \end{matrix} ) p^{k}(1 − p)^{n−k}

8.1.4 Poisson-a

La probabla distribuada funkcio laŭ la Poisson-a distribuado estas

𝒫(x) = \frac{λ^{x}e^{−λ}}{x!}

Centra Limito \underline{Th:} ⊗ Se la numero de procesoj estas granda la distribuado etendas a la normala…

De la statistikaj procesoj oni povas ankaŭ priskribi la media potenco de la signalo

𝒲(t_{0}, T) := \frac{1}{T} ∫_{t_{0}−T/2}^{t_{0}+T/2} |g(t)|^{2}dt E_{∞} = ∫ |g(t)|^{2}dt

dume E_{∞} estas la energio de la signalo tempa limita. La spektro potenca estas anstataŭe la potenco media sur čiu frekvencoj

P_{∞} = ∫ |ĝ(ω)|^{2}dω S(ω) := |ĝ(ω)|^{2} = | ∫ g(t)e^{−ıωt}dt|^{2}

Parseval \underline{Th:} ⊗ La kvar modulo de la signalo egalas la kvar modulo de sia Fourier-a trasformaǰo. …

Korelacioj

La korelacio estas la produkto de du diversaj signaloj en siaj tempa variacio

K_{12} = lim_{T →∞} \frac{1}{T} ∫_{−T/2}^{T/2} g_{1}(t)g_{2}(t − τ)dt

La memkorelacio estas la korelacio de la signalo kun ǧi memo en diversaj tempoj

K_{11}(τ) = lim_{T →∞} \frac{1}{T} ∫_{−T/2}^{T/2} g_{1}(t)g_{1}(t − τ)dt = lim_{T →∞} \frac{1}{T} ∫_{−T/2}^{T/2} g(t)g(t + τ)dt

Winer Khintchin \underline{Th:}

La spektra denseco de ia signalo estas akirebla trasforminte laŭe Fourier la ⊗ memkorelacio de la signalo kaj inverse

Parametraj Pruvoj

La parametraj Provoj devas sub dri azuntoj validi:

- Nedipendeco grupa sampla čiu subjekto populacio povi in čiu samplo distribuita esti.

- Normaleco Distribuada

- Varianca Homogeneco

T Student-a

F Fisher-a

Regreso

Neparametraj Pruvoj, Frekvenco

Stataŭ la parametraj ili estas populacia distribuado nedepena, estas mapli zorga sed utilizema kiam la distribuadoj estas ne normalaj.

Chi kvadrata

Estas pruvo pri frekvencoj bazita kiu komparas la observitan distribuadon kun la atenditan (teoretikan). Sub la |Nulo Hipotezo| H_{0} la empirikaj frekvencoj egalas la teorikajn n_{i} = n̂_{i}.

χ_{c}^{2} = ∑_{i} \frac{(n_{i} − n̂_{i})^{2}}{n̂_{i}}

aŭ du empirikaj aroj interne de la eraro egala estas. Se χ_{c}^{2} < χ_{α}^{2} la nulo hipoteso estas konsiderita kun erara probableco α. La vertoj de χ_{a}^{2} estas tabulitaj. Alimaniere la hipotezo H_{1} = H̄_{0} estas konsiderita.

Neparametraj Pruvoj, Rango

La |Rango de la obeservadoj| konsideras la ordan numeron de la samplo, prefere la indeco i per la ordenata serio {x_{0} < … < x_{i} < … < x_{N}}. Oni uzas tiu metodojn kiam la distribuado ne estas normala aŭ la la datoj estas tro malmalutaj aŭ la datoj referas al la sama variablo in rangoj disigitaj.

8.1.5 Mann-Withney Pruvo, sumo de la rangoj

Kontrolas kiam du samploj apartenas al la sama distribuo. H_{0} : x̂_{A} = x̂_{B} n_{A},n_{B} estas la numero datoj en la

samplo R Rango

U = min (∑_{i} R_{A}, ∑_{j} R_{B}) μ_{u} = \frac{n_{A}(n_{A} + n_{B} + 1)}{2}

σ_{u} = \sqrt{\frac{n_{A}n_{B}(n_{A} + n_{B} + 1)}{12}} Z = \frac{U − μ_{u} ± 0.5}{σ_{u}}

prefere:

U := n_{A}n_{B} + \frac{n_{A}(n_{A} + 1)}{2} − R

8.1.6 Mediana Pruvo

A  B
> μ x_{1A} x_{1B} x_{1}
≤ μ x_{2A} x_{2B} x_{2}
n_{A} n_{B} n

χ^{2} = \frac{N(|x_{1A}x_{2B} − x_{2A}x_{1B}| − n/2)^{2}}{x_{1}x_{2}n_{a}n_{B}}

KomputMetodo

Bruoj  Procesoj Stokastikaj

Sur R oni kontrolas se la aroj A kaj B estas: H_{0} : p_{A1} ≤ p_{A}p_{B}, H_{1} : p_{A1} > p_{A}p_{B} montrinte ke: χ_{c}^{2} > χ_{α}^{2} kaj x_{A1}x_{B2} > x_{A2}x_{B1}

R> data <- matrix(c(xA1, xB1, xA2, xB2), ncol = 2)
R> line.names <- c("A", "B")
R> col.names <- c("1", "2")
R> dimnames(data) <- list(line.names, col.names)
R> alpha <- 0.05;
R> data.chi <- chisq.test(data, correct = FALSE);
R> data.chi$statistic > qchisq(p = alpha,
   df = data.chi$parameter, lower.tail = FALSE);
R> xA1*xB2 > xA2*xB1;

◯

8.1.7 Wilcoxon Pruvo, signa pruvo

Montras la grandecon kaj direcion de du depenaj samploj. H_{0} : x̂_{A} = x̂_{B}.

T^{+} = ∑ R^{+}  μ_{T} = \frac{n_{A}(n_{A} + 1)}{4}  d = T − μ_{T}

σ_{T} = \sqrt{\frac{n_{A}(n_{A} + 1)(2n_{A} + 1)}{24}} Z = \frac{T − μ_{T}}{σ_{T}}

Per malgranda numeroj n < 20, H_{0} konsiderita se P (T^{+} > α) per grandaj numeroj n > 20, H_{0} konsiderita se Z < Z_{α} kaj Z > −Z_{α}.

8.2 Bruoj

Blanka

La blanka bruo estas karakterizita havi la sama frekvenca spektro per čiuj frekvencoj. Fizike v̧iuj sistemoj havas pasa bando do ankaŭ la blanka havos iu frekvenco limita. En elektroniko estas frekventa la |Johnson-a Bruo| kiu depenas de la temperaturo kaj de la resistenco

Pafa

Aŭ shot noise

1/f

Materia Strukturo

Poste ǧenerala priskribo de la konceptoj de la kvantuma kaj statistika mekaniko oni volas spcifike priskribi la kazo en kiu troviǧas la natura elementoj kun čia proksimaǰoj repetitaj.

9.1 Notacioj

Kaze, oni povas voli markiǧi plu la grandecaj ordoj ke la dimensionoj de la grandecoj kiuj estas ofte klaraj. Do nu introdukas la |atomaj unecoj| laŭ kiuj

c = ℏ = e = m_{e} = 1  ℰ_{0} = \frac{1}{2}u u = 27eV  ϵ_{0} = \frac{1}{4π}

Por pli bone kompreni la grandecoj uzitaj oni eksprimas čiu valoro por sia koresponda energio (en la fekseǧara uneco la eV) ekzistante čiam ia relacio kiu koniugas la duojn, tiel:

4136^{[eV ·T Hz]} ν =^{n} hν = ℰ = \frac{hc}{λ} =^{n} 1240^{[eV ·nm]} /λ ℰ = k𝒯 =^{n}8.614 · 10^{−5}^{[eV/K]} 𝒯

Tabella 9.1: Atomaj Kostantoj

Por kompreni la grandeca ordo la lumo ruǧa estas λ =^{n} 700[nm] ℰ =^{n} 1.6[eV] ν =^{n} 500[T Hz] 𝒯 =^{n} 2′400[K] kaj tia violkolora λ =^{n} 450[nm] ℰ =^{n} 3.2[eV]

ν =^{n} 667[T Hz] 𝒯 =^{n} 3′200[K]

Oni uzos la sekvantaj notacioj: ia ond funkcio de la idroǧena modelo estas notagita per Ψ(x, y, z). Tia solucio estas faktorigebla en

Ψ(x, y, z) = R_{\underline{n},\underline{l}}(r)Y \underline{l} ; \underline{m}(ϕ, θ)χ\underline{s}

kie R_{\underline{n},\underline{m}} estas la funkcioj radia depeno, Y \underline{l} ; \underline{m} la sfer armonikaj kaj χ estas fukcio de spin kaj povas esti ↑ (ℏ/2) aŭ ↓ (-ℏ/2).

Iu atoma konfigurado estas priskribita per

\underline{n} \underline{l}^{e}

aŭ la valoro de la lasta šelo okupita (nobla gaso) plus la šeloj ne plene okupitaj. n precipe numeras^{1}, l estas la angulara momanta numero^{2} kaj e numeras la elktronoj kiuj okupas numeron permesitan de la degenero de tiu stato.

1skribita per naturalaj numeroj aŭ leteroj K, L, M …

2skribita per s sharp, p principal,d diffuse, f fundamental

Korektantaj Termoj (Maldisa Strukturo)  Materia Strukturo

En la optikaj transicioj oni uzos la |Notacio Spektroskopa| por multaj elektronaj atomoj en kiu oni konsideras sole la elektronoj de valento, tiu ke ne čeestas en šelo plene okupita, kaj kalkulas la kopleksivaj numeroj tiel S de spin-a multobleco L de angula momanto kaj J de totala momanto L + S skribante

2S+1L_{J}

9.2 Korektantaj Termoj (Maldisa Strukturo)

Ia modelo de la idroǧena atomo devas konsideri diversaj termoj kiu korektas pli bone la konduto rilate al la esperimentaj valoroj.

La unua aspekto ke oni volas konsideri estas la interacio spin-orbito.

9.2.1 Spin-orbito interacio

La rotanta elektrono vidas kampon ǧeneritan pro la rilata movo de la nukleo čirkaŭe B = E ×v/c. V (r) estu la potencialo de centra kampo: V (r) = 1/r en atomaj unecoj. La kampo rizulta estas E(r) = 1/r∂_{r}V (r)r. La energio de ia magnetik dipolo kun magnetik kampo estas ℰ = −μ · B do

H_{SO} = −\frac{1}{2}μ_{S} · B(r) = \frac{1}{2r} \frac{∂V}{∂r} l · s

kie la faktoro 1/2 estas la relativeca korektado de Thomas. Oni devas kalkuli

⟨n′, l′, m′, s′|H_{SO}|n, m, l, s⟩

kiu dificile kalkulantas pro la ne komutatebleco inter l·s kaj l aŭ s. Sed la kontribuo de tia termo ne kuntenas la kvant numeron n, l čar la korektado elportas la deǧenero de la kvant numeroj m kaj s. Oni do priskribas la Hamiltona kun la perturbata metodo.

⟨n′, l′, m′, s′|H_{SO}|n, m, l, s⟩ = ℰ′_{n,l}⟨m′, s′|l · s|m, s⟩|_{n,l}

Pro idroǧenaj atomoj 1/r∂_{r}V = Ze^{2}/2m^{2}c^{2}r^{3} do oni povas finfine kalkuli

ℰ_{SO} = \frac{Ze^{2}}{2m^{2}c^{2}} (ℏ/2)^{|s|}(lℏ)^{|l|} ⟨n, m, l|\frac{1}{r^{3}} |n, m, l⟩

Sciante la mez valoro ⟨r^{−3}⟩ en la kvantuma sekcio oni povas obteni

ℰ_{SO} ≃ \frac{Z^{4}e^{2}ℏ^{2}}{4m^{2}c^{2}a_{0}^{3}n^{3}(l + \frac{1}{2})(l + 1)} = |ℰ_{n}|(\frac{Z^{2}}{2n(l + 1)(l + 1/2)})α^{2}  (9.1)

kie α estas la kostanto de fina strukturo aŭ e^{2}/ℏc =^{n} 1/137. ℰ_{SO} estas do multe pli malgranda de ℰ_{n} kaj permetas la perturbata priskribo.

9.2.2 Relativeca Unua Korektado

Oni havas alian termon kiu formovi la degeneron de la n statoj kiu aperas de relativeca konsidero. Kiel supren ℰ^{2} = p^{2} +m^{2} T = ℰ−m = \sqrt{m^{2} + p2}−m = m(1+p^{2}/m^{2})− m = m(1+p^{2}/2m^{2} −p^{4}/8m^{4} +…)−m = p^{2}/2m−p^{4}/8m^{3}. Nu oni kalkulas ⟨p^{4}/8m^{3}⟩

\frac{p̂^{2}}{2m} = Ĥ_{0} + \frac{Ze^{2}}{4πϵ_{0}r̂}

⟨ψ_{n}| − \frac{p̂^{4}}{8m^{3}} |ψ_{n}⟩ = −\frac{1}{2m}⟨ψ_{n}|(\frac{p̂^{2}}{2m})^{2}|ψ_{n}⟩ = −\frac{1}{2m}⟨ψ_{n}|(Ĥ_{0} + \frac{Z}{r̂} )^{2}|ψ_{n}⟩ =

= −\frac{1}{2m}(ℰ_{n}^{2} + 2Z⟨1/r⟩ + Z^{2}⟨1/r^{2}⟩) = −ℰ_{n}(Zα)^{2}(\frac{3}{4} − \frac{n}{l + 1/2})

kaj α^{2} =^{n} 1/137^{2} montras la perturbata aprosimebleco.

Atoma Vektora Modelo  Materia Strukturo

9.3 Atoma Vektora Modelo

Laŭ la vektora modelo oni volas priskribi la statojn de la totala angula momanto J kosiderinte la sumon de čiam angula momanto čeestas en la atomo. Oni povas sumi du orbit momentoj angulaj obteninte l_{1} + l_{2} = 0, 1, 2ℏ dume pro la angula momantoj de

[figure: ^{l^{2}}; ^{l^{1}}; L; ^{l^{1}}; ^{l^{2}}; ^{l^{1}}; ^{l^{2}}]

spin s_{1} + s_{2} = 0, 1ℏ La kvanta numero J karakteriǧas la subnivalaj multoblaj statoj.

[figure: ^{s^{2}}; ^{s^{1}}; S; ^{s^{1}}; ^{s^{2}}]

La numero de la subnivela multoblo estas la natura numero kiu alportas |L − S| al L + S aŭ 2S + 1 si S estas la pli granda.

[figure: S; L; J]

9.3.1 Parigo

La parigo orbito-spin alportas fenomenon de precesiono čar sole J kaj M_{J} estas la unikaj vektoroj fiksaj sine magnetik kampo. De Ĥ_{so} = ξ{L \atop S}L̂ · Ŝ −∂_{θ}Ĥ_{so} = −ξ∂_{θ}|L̂||Ŝ| cos θ = ξ|Ŝ||L̂| sin θ = ξŜ × L̂ kaj L̂ × L̂ = Ŝ × Ŝ = 0 do

ˆL̇ = ξĴ × L̂  ˆ  Ṡ = ξĴ × Ŝ

Pro la parigo spin–spin c_{12}ŝ_{1}ŝ^{2} = c_{12}(Ŝ^{2} − ŝ_{1}^{2} − ŝ_{2}^{2})/2 = c_{12}(S(S + 1) − 6/4)/2 Dume por la orbitaj b_{12}l̂_{1}l̂^{2} = c_{12}(L̂^{2} − l̂_{1}^{2} − l̂_{2}^{2})/2 = c_{12}(L(L + 1) − l_{1}(l_{1} + 1) − l_{2}(l_{2} + 1))/2 Do

ξ{L \atop S}L̂ · Ŝ = ξ{L \atop S}/2(J(J + 1) − L(L + 1) − S(S + 1))

Do la diseco inter su statoj šanǧas de la kvanteco

Δ = ξ{L \atop S}(J + 1)

nomata |Lande-a Regla de la iIntervalo|.

9.3.2 Sub Magnetika Kampo

Si oni ponas iu magnetika kampo pro la movo de la šarǧo la totala angula momanto devas precedi čirkaŭe la direkcio de la magnetik kampo. Oni volas do serci la aŭtovaloroj de la magnetik kampo aŭ la akcio de la operatoro μ̂_{J} · B̂ kie μ_{J} estas la koresponda dupola momanto de J prefere μ̂_{J} = −M_{B}gĴ. μ̂_{L} = −M_{B}L̂ μ_{S} = −2M_{S}Ŝ.

[figure: S; L; J; B]

μ_{J} = (μ_{L} cos(L̂S) + μ_{S} cos(L̂S))\frac{−J}{J}

cos(L̂J) = (L(L + 1) + J(J + 1) − S(S + 1))/(2\sqrt{L(L + 1)}\sqrt{J(J + 1)} cos(ŜJ) = (S(S + 1) + J(J + 1) − L(L + 1))/(2\sqrt{S(S + 1)}\sqrt{J(J + 1)} do

g = 1 + \frac{J(J + 1) + S(S + 1) − L(L + 1)}{2J(J + 1)}

Kie g estas la |Land’e Faktoro|.

9.4 Interadoj

9.4.1 Elektromagnetika Ondo

\frac{e}{m}A(r, t) · p

A estas skribebla kiel:  ϵ̂· k = 0
A_{0}^{2}(ω) = \frac{2I(ω)}{ϵ_{0}cω^{2}}

A(r, t) = A_{0}(ω)\frac{ϵ̂}{2}(e^{ı(kr−ωt)} + e^{−ı(kr−ωt)}) p = −ıℏ∇

Interadoj  Materia Strukturo

Oni povas kalkuli

|V_{ba}|^{2} = \frac{eℏ^{2}}{m^{2}} |⟨b|e^{ıkr}ϵ̂∇|a⟩|^{2} \frac{A_{0}^{2}}{4}

Sciante ke p = mṙ = mı/ℏ[H_{0}, r] oni povas eksprimi

⟨b|∇|a⟩ = −\frac{ı}{ℏ}⟨b|p̂|a⟩ = −\frac{m}{ℏ^{2}} ⟨b|H_{0}r − rH_{0}|a⟩ = −\frac{m}{ℏ^{2}} ⟨b|ℰ_{b}r − rℰ_{a}|a⟩ = \frac{mω_{ba}}{ℏe} ⟨b|D̂|a⟩

D̂ dipola momanto kie

ω_{ab} := \frac{ℰ_{a} − ℰ_{b}}{ℏ}  D̂ := −er

La grandeco de tiuj koeficantoj estas

w_{ba} = \frac{2π}{ℏ^{2}} (\frac{eℏ}{m} \frac{A_{0}}{2} )^{2}|⟨b|e^{ıkr}ϵ̂∇|a⟩|^{2}δ(ω_{ba} − ω)

M_{ba}^{∗} = ⟨b|e^{−ıkr}ϵ̂∇|a⟩ = −M_{ab} do w_{ab} = w_{ba}. La pasaǰo inter la štato a → b estas nomata Radiado de Elmito Stimulita tiam la pasaǰo de la štato a al la b per la radiado estas la Probableco de Adsorbo. Se la lumo estas polarigita la koeficanto havas termon cos^{2}(ϵ̂A) [altimenti] 1/3 per čiu direkcio.

La Koeficanto de Elmito Nature estas

w_{ba}^{nat} = \frac{32π^{3}ν_{ab}^{3}}{3c^{3}ℏ} |M_{ba}|^{2}

Tiuj tri koeficantoj estas la |Einstein-a Koeficanto|-j Pluen, oni povas difini la |Urta Sekcio de Adsorbo|

S_{ba} = \frac{w_{ba}}{𝔫(ω)c} = \frac{w_{ba}}{I(ω)}ℏω = \frac{4π^{2}}{m^{2}c} \frac{e^{2}}{4πϵ_{0}} \frac{1}{ω} |M_{ba}|^{2}δ(ω_{ba} − ω)

Nun oni povas solvi tia ekvacio kun diversaj proksimaǰ gradoj.

Dupola Proksimaǰo

e^{ıkr} = ∑_{n} \frac{(ıkr)^{2}}{n!}

ℰ_{0} = \frac{eℏ}{m} \frac{A_{0}}{2} haltigante al la unua korektado e^{ıkr} =^{dup} 1 oni devas kalkuli ⟨b|ϵ̂D̂|a⟩ por obteni

w_{12} = \frac{π}{2ℏ^{2}} (ℰ_{0}⟨f| − er|l⟩)^{2}δ(ω_{21} − ω)

Nun oni volas kalkuli la matrica elemento de la eletrik dipolo kaj trovi la |Reglo Selekcia Dupola|. Laŭ la radia termo la integralo donas

⟨m| ∑_{l} q_{l}r_{l}|n⟩ = ∫ ψ_{m}^{∗} ∑_{l} q_{l}r_{l}ψ_{n}dV ≠ 0 ⇒ Δn ≠ 0

Oni devas kalkuli la angulajn termojn

∫_{0}^{π} ∫_{0}^{2π} Y^{∗}_{l_{2}}^{m_{2}} sin θ cos ϕ ; sin θ sin ϕ ; cos θ Y_{l_{1}}^{m_{1}}d cos θdϕ

aŭ

⟨l_{2}m_{2}|\frac{x}{r}|l_{1}m_{1}⟩ = ⟨l_{2}, m_{2}| sin θ|l_{1}m_{1}⟩⟨m_{2}| cos ϕ|m_{1}⟩ = δ_{l_{2},l_{i}±1}δ_{m_{2},m_{1}±1}
⟨l_{2}m_{2}|\frac{y}{r} |l_{1}m_{1}⟩ = δ_{l_{2},l_{1}±1}δ_{m_{2},m_{1}±1}
⟨l_{2}m_{2}|\frac{z}{r} |l_{1}m_{1}⟩ = δ_{l_{2},l_{1}±1}δ_{m_{2},m1}

de kiuj la regla selekcio Δl = ±1 Δm = 0, ±1.

Kvarpola Proksimaǰo

H′_{rad} = \frac{ℏe}{mc}∇A_{0}k · r

Estas solvebla kun la komponantoj de ia tensoro kiu havas termojn de la angula momanto (−ıℏ(x_{i}∂_{x_{j}} − x_{j}∂_{x_{i}})) kaj duplaj valoroj (−ex_{i}x_{i}). La unuaj termoj estas similaj al tiuj de la interado kun la magnetik kampo priskibita per la hamiltona termo H_{mag} = −μ · B kaj donas la selekcian reglon havebla por la uzo de la operatoroj L_{x}, L_{y} kaj L_{z} sur la ond funkcio de la idroǧena atomo (Δl = 0, Δm = 0, ±1). La efekto estas de la ordo de

\frac{eE⟨f|r|i⟩}{\frac{eB}{2mc}⟨f|L|i⟩} = \frac{a_{0}E}{\frac{ℏ}{mc}B} =^{n} 0.5 · 10^{−6}

La duaj estas ekspimeblaj per la Hamilton-a termo H = 1/2∇E kiu havas termon err. Notante ke la operatoro de kvarpolo estas para sub inversio de la koordinatoj oni povas obteni la aliaj regloj de selekcio (Δl = 0, ±2 kaj Δm = 0, ±1, ±2). La ordo de tiu interado estas kvantigebla en

\frac{eE⟨f|r|i⟩}{2π/λEe⟨f|rr|i⟩} ≃ \frac{λ}{a_{0}} \frac{1}{2π} =^{n} 10^{−7}proλ =^{n} 500[nm]

La magnetik dupola aŭ elektik kvarpola estas pli favorita en la ionigitaj atomoj čar estas frekvence vidi tiujn transirojn en la nebuloj kaj en la [aurora boreale].

Largeco Riga

9.4.2 Magnetika Interado

9.4.3 Interado kun Libera Partiklo

Stato Solida

La stato solida priskribas sistemojn de atomoj interagantaj per ligoj kiuj posicioj estas preskaŭ fiksaj en punktoj de la retiklo. Gravas la [comportamento] de la sistemo kun eksteraj interadoj kiel elektr magnetika radiado aŭ siaj proprecoj (specifika kaloro, termika kondukebleco, modulo de komprimo ktp) al variado de la temperaturo.

10.1 Ligoj

10.2 Retiklo

La retiklo estas la geometrika posicinado de la atomoj en la solido por la bilancado de la interadoj. La |Bravais-a Retiklo| estas [griglia] senfina de punktoj diskretaj ponitaj en la spacoj tiu ke la sistemado kaj la orientado samu en iu ajn punkto de la [griglia]. Oni povas elekti por čia retiklo la bazajn vektorojn tiu ke oni povas [raggiungere] čiun punkton de la retiklo per la elekto de tri interaj numeroj n_{1}, n_{2}, n_{3}

r_{n} = n_{1}r^{1} + n_{2}r^{2} + r^{3}n_{3}

Sekvinte la grupa teoria oni povas kalkuli ke la numero de Bravaisaj retikloj estas 14. La pli uzitaj estas la SC (simpla kuba) (por simplaj kalkuloj čar ne estas tre uzita nature), la BCC (kuba kun atomo en la centro) kaj FCC (kuba kun atomoj en la centro de la [facce]). La aliaj havas formon ne kuba čar povas havi ne egal latojn aŭ

L angulojn.

a retiklo SC havas bazon r^{1} = a(1, 0, 0), r^{2} = a(0, 1, 0), r^{3} = a(0, 0, 1) kie a estas la baza longeco de la retiklo. Laŭ BCC r^{1} = a/2(−1, 1, 1), r^{2} = a/2(1, −1, 1), r^{3} = a/2(1, 1, −1) Laŭ FCC r^{1} = a/2(0, 1, 1), r^{2} = a/2(1, 0, 1), r^{3} = a/2(1, 1, 0). La ecoj de tiuj retikloj estas

V  punktoj n proksimoj r proksimoj [impaccamento]
SC  a^{3}  1  6  a  π/a
BCC a^{3}/2  2  8  \sqrt{2}a  \sqrt{3}/8π
FCC a^{3}/4  4  12  \sqrt{2}a/2

△ Oni volas entroduki bazon tiu ke

r^{i} · k_{j} = 2πδ_{j}^{i}

Tiu bazon estas do formata de la vektoroj

k_{1} = \frac{2πr^{1}}{r^{1} · r^{2} × r^{3}}  k_{2} = \frac{2πr^{2}}{r^{1} · r^{2} × r^{3}}  k_{3} = \frac{2πr^{3}}{r^{1} · r^{2} × r^{3}}

Fononoj  Stato Solida

10.3 Fononoj

La atomoj de la retikloj, per eksteraj ondoj aŭ per efekto de la temperaturo, povas movi de siaj retikl posicioj. Si oni imaginas potencialon kun repulsio de dura sfero al la atoma radio, minimo al la ekvilibra punkto x^{0} kaj nuliǧante al la kresko de la radio oni povas proksimiǧi la potencialon en armonika proksimado disvolvinte fine la dua termo en potencoj de Δx, movo rilate la posizio x^{0}

V (x_{nαi}) = 𝒱(x_{nαi}^{0}) + ∑_{nαi} ∂_{x_{nαi}}𝒱(x)|_{Δx=0}Δx_{nαi} + \frac{1}{2} ∑_{nαi} ∑_{mβj} \frac{∂^{2}𝒱(x)}{∂x_{nαi}∂x_{mβj}} 𝒱(x)|_{Δx=0}

Δx_{nαi}Δx_{mβj} + O(Δx)^{3}

Oni sumas sur čiuj n čeloj de la retiklo en la α numeroj de bazoj (tipoj de atomoj en la čelo) per i direkcioj. La unua derivaǰo de la potencialo nuliǧas en la minimumo dume la valoro de nula ordo estas ne interesa kalkulinte la ekvacio de la movo. Do nia Hamiltona estas

H = ∑_{nαi} \frac{p_{nαi}}{2m_{α}} + \frac{1}{2} ∑_{nαi} ∑_{mβj} 𝒱_{nαi}^{mβj}Δx_{nαi}Δx_{mβj} 𝒱_{nαi}^{mβj} := \frac{∂^{2}V}{∂_{nαi}∂_{mβj}}

Nun la problemo similas al aro de atomoj unigitas per [molle] kun diversaj masoj. La problemo estas la bone konita problemo de la armonika oscilatoro kies solvado estas la ekvacio de la ondoj

Δx_{nαi} = ∑_{k} \frac{u_{α}i(k)}{\sqrt{m_{α}}}e^{ıkx}e^{−ıωt}

Kun la kondico de Born-Von Karman Δx_{N} = Δx_{0} (aŭ ψ(x + L) = ψ(x)) oni povas facile vidi ke ankŭ la ond vektoroj estas kvantigitaj

Δx_{N} − Δx_{0} = 0  ∑_{k} \frac{u_{α}(k)}{\sqrt{m_{α}}}(1 − e^{ıkNa}) = 0  k = \frac{2π}{Na}m

10.4 Dielektrika Solido

La Maxwellaj ekvacioj de solido ponita sub elektrika (eksterne E interne D) kaj magnetika B (H ene la solido) depenas de la šarǧa distribuo ρ(r) kaj de la tempa variacio de la kampoj D = ϵE B = μH

∇D = ρ ∇B = 0 ∇ × E = −∂_{𝒯} B ∇ × H = H + ∂_{𝒯} D

en lineara proksimaǰo en la frekvenco dominio ∂_{t} → ω

∇H(ω) = J(ω) − ıωD(ω) = σ(ω)E(ω) − ıωϵ_{0}ϵ_{r}(ω)E(ω) = −ıωϵ_{0}(ϵ_{r}(ω) + ı\frac{σ(ω)}{ϵ_{0}ω})E(ω)

la [suscettività] elektrika χ(ω) :== ϵ_{r}(ω) − 1 estas analitika funkcio kaj oni povas disvolvigi ǧin. Sia poloj estas sur la nea kompleksa mez plano. Si oni kalkula la cirkla integralo sur la plusa mez plano ǧi nuliǧas.

…

Si oni ne havas liberan šanrǧojn ρ = 0 oni havas en la solido či tiu oscilanta kampo.

{∇ × (∇ × E) = ∇(∇E) − ∇^{2}E = \atop = ∇^{2}E}

∇ × (∇ × E) = −μ∂_{t}∇ × H = −μσ∂_{t}E − μϵ∂_{t}^{2}E ∇^{2}E = μϵ∂_{t}^{2}E + μσ∂_{t}E

tiu ekvacio priskribas periodikan ondon E(ω, r) = E_{0}exp(ı(kr − ωt)) kiu havas solvason sur la spaca dominio ∇^{2}E = cE = −μϵω^{2}E − ıμσE kaj sur la tempa dominio

Dielektrika Solido  Stato Solida

μϵĖ + μσË = cE = −k^{2}E kaj devas solvi la kondico (−k^{2} + ω^{2}μϵ + ıωσ)E = 0. havas solvadon de la formo

E = E_{0}e^{ı(kr−ωt)} = E_{0}e^{ı(ℜ(k)z−ωt)}e^{−ℑ(k)z}  k := \frac{ω}{c} \sqrt{ϵ + ı\frac{σ}{ω}}  n(ω) := \frac{ω}{c} k(ω)

Notite ke la intenso I havas amplitudo proporcionala al la kvar modulo de la kampo ∝ |E|^{2} nur la reala esponanto kontribuas al la atenuado de la intesaǰo E_{0}^{2}exp(−ℑk)z. Oni do povas kalkuli la |Refleksado Koeficanto| kaj la |Trasmesado koeficanto|

R(ω) = \frac{(ℜn(ω) − 1)^{2} + ℑ^{2}n(ω)}{(ℜn(ω) + 1)^{2} + ℑ^{2}n(ω)}

La polarizaǰo P (ω) := \frac{N}{V} α(ω)ϵ_{0}E(ω) estas akirebla per la kalkulo de la polarizeco α(ω) kiu dividiǧas en atomika kaj retikla

α(ω) = α^{at}(ω) + α^{ret}(ω) = \frac{V}{N} (ϵ_{r}(ω) − 1)

La kalkulo estas kondukebla al ekvacio kiu priskribas la movo de la elektronika šarǧo pro ekstera forco.

d^{at} := −Zes(t) Zms̈ = −Zmω_{0}s − ZeE

kiu en la frekvenco dominio montriǧas

s_{0}(ω) = −\frac{eE}{m(ω^{2} − ω^{2})} P^{at} = \frac{d^{at}}{V} = \frac{Ze^{2}E_{0}}{V m(ω_{0}^{2} − ω_{0}^{2})}

kiu ofte etas konsiderata frekvenc ne dipenda (se la frekveco estas tre alta la polarizaǰo ne šanǧas direcion kun la ekstera kampo). La retiklo moviǧas anstataŭe per la ekvacio

μs̈ = −μω_{0}^{2}s + e^{∗}E − γμṡ  ŝ(ω) = \frac{e^{∗}E}{μ(ω_{0}^{2} − ω^{2}) − ıγωμ}

Oni povas, uzante la proksimaǰo per γ → 0, reskribi

α^{ret}(ω) = \frac{e^{∗}^{2}}{μϵ_{0}(ω_{0}^{2} − ω^{2}) − ıγω} → ce^{∗}^{2}P_{P} (\frac{1}{ω_{0} − ω^{2}} ) + ıπδ(ω_{0}^{2} − ω^{2}) =

= ce^{∗}^{2}P_{P} (\frac{1}{ω_{0} − ω^{2}} ) + ıπ \frac{1}{2ω_{0}} (δ(ω_{0} − ω) + δ(ω_{0} + ω))

defininte la limitoj ϵ(ω) →_{ω→∞} ϵ_{∞} kaj ϵ(ω) →_{ω→0} ϵ_{0}

ϵ_{r}(ω) = ϵ_{r}^{∞} + \frac{ω_{0}^{2}(ϵ_{r}^{0} − ϵ_{r}^{∞})}{ω_{0}^{2} − ω^{2}} + ı\frac{π}{2} ω_{0}(ϵ_{r}^{0})(δ(ω_{0} − ω) + δ(ω_{0} − ω))

Movaj Elektronoj  Stato Solida

Oni do havas du termoj, la reala

10.5 Movaj Elektronoj

Komence, oni volas priskribi metalon kiel potenciala kavo de liberaj elektronoj. Tiu sistemo sekvos la Fermi-a statistiko kaj estas nomata jellium model aŭ |Fermi-a Gaso|. Oni uzas la Hartree-a proksimaǰo de nedipenda elektronoj Ψ(\underline{r}) = ∏_{i} ψ_{i}(r_{i}). La energia niveloj estas bone konitaj per la valoroj ℰ\underline{n} = ℏ^{2}/2m · (k_{x}^{2} + k_{y}^{2} + k_{z}^{2}) = ℏ^{2}/2m · π^{2}/L^{2} · (n_{x}^{2} + n_{y}^{2} + n_{z}^{2}). La nedipendaj ondaj vektoroj k estas en la unua [ottante]. La totala numero de elektronoj N kaj la denseco 𝔲 estas kalkulebla per

N := ∫ dkf(ℰ(k)) = ∫ dℰg(ℰ)f(ℰ) 𝔲 = \frac{𝒰}{V} = ∫ dℰg(ℰ)f(ℰ)ℰ

kie g(ℰ) estas la denseco de la statoj kaj f(ℰ) la statistika distribuo de la partikloj. La denseco de la statoj estas skribebla kiel prefaktoro de la šanǧo de la integrala variablo se oni dividas la ond vektoron k en la partoj perpendikulara k_{⊥} kaj tanǧa f_{ℰ} al la Fermi-a surfaco ℰ(k) = ℰ_{ℱ} dℰ = |∇_{k}ℰ|dk_{⊥}

∫ dk = ∫ ∫_{ℰ(k)=c} \frac{df_{ℰ}}{|∇_{k}ℰ(k)|}dℰ = ∫ g(ℰ)dℰ

En grandaj sistemoj ∑_{k} → V/(2π)^{2} ∫ dk {k = \sqrt{2mℰ/ℏ^{2}} \atop dk = \sqrt{2m/ℏ^{2}} \frac{1}{2} ℰ^{−1/2}dℰ}

∑_{k} f(ℰ(k)) → V ∫ dℰg(ℰ)f(ℰ) g(ℰ) = 2 · \frac{4πk^{2}}{(2π)^{2}} \frac{1}{2}(\frac{2m}{ℏ^{2}})^{3/2}\sqrt{ℰ}

kie la faktoro 2 estas devita a la multopleco de la elektrona spin. En la modelo de nedipendaj elektronoj

ℰ(k) = ℰ(k) = \frac{ℏ^{2}k^{2}}{2m} m^{∗}(k) := ℏ^{2}/∂_{k}^{2}ℰ(k)

oni difinas m la |Maso [Efficace]|-n de la partiklo devita al la valoro de la k. La efikaca maso estas grava por kompreni la [ruolo] de la elektrono en la trasporto de varmo aŭ kuranto. Si la efikaca maso estas malgranda la kurvado de la funkcio ℰ(k) estas granda kaj forte depenas de k kaj la elektrono estas bona kondukilo.

Bandaj Strukturoj  Stato Solida

De la antaŭa formulo konante la totala numero de la elektronoj N oni povas trovi la Fermi-a nivelo

N = \frac{V}{8π^{2}} \frac{4}{3}πk_{ℱ}^{3}2 ℰ_{ℱ} = \frac{ℏ^{2}}{2m}(3π^{2} \frac{N}{V} )^{2/3}

Oni povas do kalkuli la energia denseco

𝔲 = ∫_{0}^{∞} dℰg(ℰ)f(ℰ)ℰ = ∫_{0}^{ℰ_{ℱ}} dℰg(ℰ)ℰ = \frac{3}{5} \frac{N}{V} ℰ_{ℱ}

Kiel supren skribita la Fermi distribuo depenas de la temperaturo 𝒯 de la sistemo

{f(ℰ, 𝒯) = \frac{1}{e^{β(ℰ−μ)} +1} \atop β = \frac{1}{𝒯} μ = ∂_{N} 𝒜}

do la elektronoj havas probablecon havi energion pli granda ol la Fermi-a ankaŭ se je la ambienta temperaturo 𝒯_{ℱ} =^{n} 10^{4}[K] dume 𝒯 =^{n} 10^{2}[K]. Se la energio estas granda

f(ℰ) ≃ e^{−β(ℰ−μ)} la distribuo estas egala al la Boltzmann-a . Ǧenere la kimika potencialon depenas de la temperaturo kaj de la totala numero de elektronoj

μ = μ(𝒯, N) = μ(𝒯_{0}) − c(\frac{T}{T_{ℱ}} )2 + O(𝒯^{2}) ≃ ℰ_{ℱ}

En tiu elektrona libera modelo si oni enmetas en la solido šar v gon q plusan oni havas potencialon eksteran en la elektronan gason kaj oni devas solvi la Poisson Ekvacion.

∇^{2}𝒱(r) = −4πρ(r) = −4π( − e(𝔫(r) − 𝔫_{0}))

En la |Thomas Fermi-a Proksimaǰo| la ekstera potencialo varigas malrapide kaj šanǧas sole la energio de la sigla partiklo kaj la Fermi-a distribuo ℰ(k) → ℰ(k) − e𝒱(r) μ → μ(r) = μ + e𝒱(r) ≃ ℰ_{ℱ} + e𝒱(r) ℏ^{2}/2m · (3π^{2}𝔫(r)) ≃ ℰ_{ℱ} + e𝒱 kun klasika elektrostatika termo e𝒱(r).

𝔫(r) = \frac{1}{3π^{2}} (\frac{2m}{ℏ^{2}})^{3/2}(ℰ_{ℱ} + e𝒱(r))^{3/2} ≃ \frac{1}{3π^{2}} (\frac{2m}{ℏ^{2}})^{3/2}ℰ_{ℱ}^{3/2}(1 + \frac{3}{2} \frac{eϕ(r)}{ℰ_{ℱ}})

∇^{2}𝒱(r) = (∂_{r}^{2} + \frac{2}{r} ∂_{r})V (r) = Sekvinte la Poisson-a ekvacio kaj poninte la sferika simetrio 𝒱(r) = 𝒱(r) oni povas

λ^{2}𝒱(r) 𝒱(r) = \frac{q}{r} e^{−λr}

difini r_{𝒯ℱ} la |Thomas Fermi-a Radio| aŭ la distanco de defalo de la potencialo ene libera Fermi-a gaso

r_{𝒯ℱ} := \sqrt{\frac{ℰ_{ℱ}}{6π𝔫_{0}e^{2}}} 𝒱(r) = \frac{q}{r} e^{− \frac{r}{r_{𝒯F}}}

Tiu radio estas malgranda en la metaloj, kiuj ne povas havi separon de la šarǧoj, kaj granda en la [isolanti] čar la elektronoj estas ligitaj kaj ne sukcesas [schermare] la liberan šarǧon. Kelkaj materialoj povas havi la |Mott-a Transiro| transigante de metaloj al [isolanti] šanǧante la valoro de la Thomas Fermi radio.

Si oni varmigas la materialon la elektronoj eliras de la sistemon kun la kuranto

J = −e𝔫v J_{x} ≃ \frac{2e}{(2π)^{3}} ∫_{−∞}^{∞} dk_{y}dk_{z} ∫_{k_{min}|ℰ(k)>𝒱_{ekst}+ℰ_{ℱ}}^{∞} dk_{x}f(ℰ(k), 𝒯)\frac{ℏ}{m}k_{x}

kie V_{ekst} estas la potencialo de ekstrado de la elektrono.

Kalkulinte…

oni obtenas la |Richardson Dushman-a Legxo|

J_{x} ≃ (\frac{4πme}{h_{𝒫}^{3}})(k_{ℬ} 𝒯)^{2}e^{− \frac{𝒱_{ekst}}{k_{ℬ} 𝒯}}

10.6 Bandaj Strukturoj

La pli bona priskribo de la elektronoj en periodika retiklo estas donita de Bloch-a Teoremo \underline{Th:}

Si oni havas periodikan potencialon la ond funkcioj kiuj solvas la Schrödinger-a ekvacio estas planaj ondoj modulita por periodikaj funkcioj. La potencialo estas

( − \frac{ℏ^{2}∇^{2}}{2m} + 𝒱(r))ψ(r) = ℰψ(r) | 𝒱(r) = 𝒱(r + R)

Si R = n_{1}a_{1} + n_{2}a_{2} + n_{3}a_{3} estas la retikla paso oni povas skribi la ond funkcio kiel

Ψ_{k}(r) = e^{ıkr}ψ_{k}(r) | ψ_{k}(r + R) = ψ_{k}(r) | Ψ(r + R) = e^{ıkR}ψ_{k}(r)

Oni volas serci funkcion de formo kiel supre kiu solvas la ekvacio al memvaloroj. La ond funkcio en la reciproka spaco estas kalkulita per sia Fourier-a trasformo ψ_{k}(r) = ∑_{k} c_{k}e^{ıkr} kun c_{k} ∝ ∫ dre^{−ıkr}ψ(r). Pro la periodikaj kondicoj la pontencialo samas en čiuj punktoj r + nR de la retiklo.

𝒱(r) = 𝒱(r + R) = ∑_{K} 𝒱_{K}e^{ıKr}

La kalkulo en la reciproka spaco estas pli facila

∑_{k} \frac{ℏk^{2}}{2m} c_{k}e^{ıkr} + ∑_{k,K} 𝒱_{K}c_{k}e^{ıkr} = ℰ ∑_{k} c_{k}e^{ıkr}

La koeficanto c_{k} estas multiplikita per la faza faktoro e^{ıkr} do

c_{k} ∝ ∑_{k′} ∫ dre^{ı(k−k′)r} = δ_{k}′_{k}  ∑_{k′} ∫ dre^{ı(k+K−k′)r} = ∑_{K} c_{k−G}

La ekvacio al la memvaloroj kundikiǧitas al

(\frac{ℏk^{2}}{2m} − ℰ)c_{k} + ∑_{K} V_{K}c_{K−k} = 0

La solucio samas tiel per iu ajn vektoro K de la regulara strukturo de la retiklo. ⊔

Per tiu teoremo oni povas diri ke en ia unua Brillouin-a zono k ∈ [−π/a, π/a] estas egala en čiuj.

Preskaŭ liberaj

La unua proksimaǰo konsideras la elektronojn kiel preskaŭ liberajn. Oni devas do solvi ℰ_{0}(k) = \frac{ℏ^{2}k^{2}}{2m} la samvalorajn ekvaciojn al la memvalorojn

(ℰ − ℰ_{0}(k))c_{k} = ∑_{G} V_{G}c_{k−G}

(ℰ − ℰ_{0}(k − G))c_{k−G} = ∑_{G′} V_{G}′c_{k−G−G′} = ∑_{G′′−G} c_{k−G′′}

En la ipoteso de malgranda potencialo nur la koeficantoj kiuj havas memenergio simila al la kinetika energio estas gravaj

c_{k−G} = \frac{∑_{G_{′}} V_{G′−G}c_{k−G′}}{ℰ − ℰ_{0}(k − G)} ℰ = ℰ_{0}(k − G) ⇒ k^{2} ≃ |k − G|^{2}

prefere nur la elektronoj kiuj plitenas la Bragg kondico k^{2} ≃ |G − k|^{2} malgrandigas la denominatoron kaj šanǧas la energiajn nivelojn [vicino] al la bordoj de la unua Brillouin zono. Oni do devas solvi amaŭ ekvacioj

(\frac{ℏ^{2}k^{2}}{2m} − ℰ)c_{k} + ∑_{G} V_{G}c_{k−G} (\frac{ℏ^{2}|k − G|^{2}}{2m} − ℰ)c_{k−G} − V_{−G}c_{k} = 0

Estante sistemo de du ekvacioj estas solvebla se la determinato estas ne nula. Tiu kondico portas al la rezulto

ℰ^{±} = \frac{ℰ_{0}(k) + ℰ_{0}(k − G)}{2} ± \sqrt{\frac{1}{4}(ℰ_{0}(k − G) − ℰ_{0}(k))^{2} + |V_{G}|^{2}}

prefere oni havas du diversaj valoroj kiuj permetas la ekziston de la partiklo nur en kelkaj bandoj dume aliaj bandoj estas [proibite]. En unu dimensio la ond funkcio estas la [super pono] de eniranta kaj refleksa ondo. La denseco de la statoj estas ρ_{+}(x) = |ψ_{+}(x)|^{2} ≃ cos^{2}(π/ax). Tiu modelo estas utila per la metaloj de la I, II,III, IV periodo čar la elektronoj de la šeloj s, p estas malmulta kunigitaj kun la ionoj.

Forta Ligo

Por la elektronoj kiuj estas forte ligitaj al la ionoj ( la metaloj de transiro kiuj ne havas la d šelo plene okupita kaj la [isolanti]). Kiel en la Materio Struktura oni povas priskribi molekulon kiel lineara [superposado] de atomaj orbitaloj sed kun la periodika kondico de la teoremo di Bloch. La ekvacio kiu oni devas solvi estas tia de la izolita atomoj kun la interado de la aliaj en la [cella].

ℰψ_{k}(r) = Hψ_{k}(r) = ( − \frac{ℏ^{2}∇^{2}}{2m} + 𝒱_{at}(r − r_{n}) + ∑_{m≠n} 𝒱_{at}(r − r_{m}))ψ_{k}(r)

Pluen la ond funkcio devas havi la Bloch-a formon kaj estas [sovrapposizione] de atomaj ond funkcioj

ψ_{k}(r) = ∑_{n} e^{ıkr_{n}}f(r − r_{n}) = ∑_{n} e^{ıkr_{n}} ∑_{i} a_{i}ϕ_{i}^{at}(r − r_{n})

Kalkulante ⟨ϕ_{j}|H − ℰ|ψ_{k}(r)⟩ = 0 kaj definante

S_{ij}(r_{n}) := ∫ drϕ_{j}^{∗}(r)ϕ(r − r_{n})(1 − δ_{n}, 0) 𝒱_{ij} = ∫ drϕ_{j}^{∗}(r)( ∑_{m≠n} V_{A}(r − r_{m}))ϕ_{i}(r)

Γ_{ij}(r_{n}) := ∫ drϕ_{j}^{∗}(r)( ∑_{m≠n} V_{A}(r − r_{m}))ϕ_{i}(r)(1 − δ_{n,0})

oni obtenus

ℰ_{l}(1 + S(k)) + 𝒱_{ll} + Γ(k) = ℰ(1 + S(k)) ℰ(k) = ℰ_{l} + \frac{𝒱_{ll} + Γ(k)}{1 + S(k)} ≃ ℰ_{l} + 𝒱_{ll} + Γ(k)

Banda Strukturo en SC retiklo

En la SC retiklo oni havas nur interadoj kun 8 [nearest neighbours]. La kalkulo de

Γ(k) = ∑_{n≠0} e^{ıkr} ∫ drϕ^{∗}(r)( ∑_{<mn>} V_{A}(r − r_{m}))ϕ(r − r_{n}) = ∑_{n≠0} e^{ıkr}γ

= 2γ(cos(k_{x}a) + cos(k_{y}a) + cos(k_{z}a))

Rilate al la energio ℰ_{l} de la atoma nivelo l oni povas havi valorojn

ℰ ≃^{S_{ll}≃0} ℰ_{l}+ 0^{?} +2γ( cos (2\frac{k_{x}a}{2}) + 1 − 2 sin^{2} (\frac{k_{y}a}{2}) +^{k≃0} 1 − \frac{k_{x}^{2}a^{2}}{2} ) = ℰ_{l} + 6γ − γa^{2}k^{2}

△

Kuranto  Stato Solida

10.7 Kuranto

Dume oni povas konsideri la eksternajn kampojn klasike kiam ili ne variǧas en la atomaj dimensioj kaj sia frekvenco ne estas komparebla kun la energio de inizaǧo aŭ de banda transiro, oni devas konsideri la elektronoj kiel kvantumaj partikloj. La elektrono estas onda paketo kiu havas grupan rapidecon v_{g} = ∇_{k}ω kaj en la Bloch-a priskribo en la n-a bando oni havas

v_{n} = \frac{1}{ℏ}∇_{k}ℰ_{n}(k)

kiu montras ke se la funkcio ℰ(k) ne estas kostanta la rapideco neniam nuligas v_{g} ∝ ∇_{k}ℰ ≠ 0 do sub kostanta forco md_{t}v = eE la rapideco kreskas kun la tempo v = eEt/m kaj la kondukebleco estas senfina. Tiu kiu limitas la kundukebleco de la kuranto estas la fotonoj kaj la difektoj de la retiklo kiuj interagas kun la elektronoj. Oni volas do formi priskribon kiu konsideru la [modifiko] de la elektrona distribuo per kostanta forco kaj la interado kun la defektoj de la retiklo. La kuranto estas do

J_{n} = 2 ∫_{IℬaZo} \frac{dk}{(2π)^{3}} (−e)v_{n}(k)f(k) = −\frac{2e}{ℏ(2π^{3})} ∫_{IℬaZo} dk∇_{k}ℰ_{n}(k)f(k)

Si la bando estas plene okupita la funkcio ℰ(k) estas para, sia derivaǰo estas do nepara kaj nuligas l’integralon sur la periodika intervalo. Nur la bandoj ne plene okupitaj povas trasporti kuranto do si la bando estas preskaŭ malplena oni diras ke la kondukeco estas devita ol la nea šarv̌oj (kiel elektronoj sed kun diversa efika maso) se estas preskaŭ plena estas la [buche] de plusa signo trasporti kuranton. Per la |Boltzmann-a Ekvacio|

f = f(k, r, t)|∂_{t}f + v∇_{r}f + \frac{F}{ℏ} ∇_{k}f = (∂_{t}f)_{kol}

la maldekstra termo esta la koliza aŭ la probableco ke la elektrono, kolidante kun alia partiklo, šanǎs staton.

𝒫_{k→k′} = ∫ \frac{dk′}{4π^{3}} W_{k}_{k}′f(k)(1 − f(k′)) (∂_{t}f)_{kol} = 𝒫_{k→k′} − 𝒫_{k′→k}

W_{k→k′} := ∂_{t}𝒫_{k→k′} estas la probablo de transiro sur tempa uneco inter la statoj |k⟩, |k′⟩ kiel priskribita en la Fermi aurea leǧo. Tiu estas tre dificila integral diferenciala kalkulo, ofte neebla čar oni ne konas la Hamilton-a de la interado inter la du partikloj. Oni uzos do la |Tempa [Rilassamento] Proksimaǰo| kiu diras ke en finita tempo τ(k) la derivaǰo estas proksima al la [incrementale] valoro inter la iniciala kaj finala

statoj. ⟨n⟩  ℰ f_{0} f

(∂_{t}f)_{kol} ≃ −\frac{f(k) − f_{0}(k)}{τ(k)} ⇒ v∇_{r}f + \frac{F}{ℏ} ∇_{k}f = −\frac{f(k) − f_{0}(k)}{τ(k)}

Si f ne depenas de la posicio čar la eksterna kampo estas uniforma (space) kaj kostanta

⟨n⟩  ℰ∂_{𝒯} f

(tempe) la Boltzmann ekvacio rekondukas al

f(k) = f_{0}(k) + \frac{e}{h}τ(k)E∇_{k}f(k) ≃ \frac{e}{h}τ(k)E∇_{k}f_{0}(k)

La lasta termo estas lineara repondo al la ordo O(τ). La ekstarna kampo movas do la Fermi-a distribuo de valoron kiu permetas la kuranton

J_{n} = \frac{−e}{4π^{3}} ∫ dkv(k)(f_{0}(k) + \frac{e}{ℏ}τ(k)E∇_{k}f_{0}(k)) = 0 + σE

kie σ estas la tensoro de elektrika kondukebleco. Oni povas vidi pluen ke la derivo de la Fermi distribuo ∇_{k}f_{0}(k) = ∂_{ℰ} f_{0}∇_{k}ℰ(k) = ℏ∂_{ℰ} fv_{n}(k) depenas de la temperaturo kaj estas ne nula nur en la proksimaǰo de la Fermi-a energio.

Term Elektra Efekto

Kun la sama Boltzmann ekvacio havas ankaŭ la termo r depena.

v∂_{𝒯} f∇_{r}𝒯 + k̇∇_{k}f = \frac{f − f_{0}}{τ} f(k) ≃ f_{0}(k) + \frac{e}{ℏ}τ∇_{k}f_{0} − τ∂_{𝒯} f_{0}v∇_{r}𝒯

La elektrika kuranto nun havas alian termon kiu estas devita al la terma gradianto pli term elektra koeficanto.

J_{e} = −\frac{e}{4π^{3}} (( ∫ dkv(k)\frac{e}{ℏ}τ∇_{k}f_{0})E − ( ∫ dkv(k)τ∂_{𝒯} f_{0}v)∇_{r}𝒯) = L_{11}E + L_{12}(−∇_{r}𝒯)

⟨v_{x}⟩ = \frac{1}{3} ⟨v⟩ ℰ ≃ \frac{1}{2} m^{∗}v^{2} v_{x}^{2} ≃_{\frac{2ℰ}{3m^{∗}}}

L_{12} ≃ −\frac{2eτ_{ℱ}}{3m^{∗}} ∂_{𝒯} ( ∫ dk \frac{1}{4π^{3}} ℰ(k)f_{0}(k)) = −\frac{2eτ_{ℱ}}{3m^{∗}} ∂_{𝒯} ⟨ℰ⟩^{c_{V} (𝒯)}

Oni nomas |Seeback-a Efekto|n la kuranto devita pro la term elektrika gradianto kaj la |Peltier-a Efekto|n La flukso de kaloro devita pro la elektika kampo.

Nukleara Strukturo

En tiu či čapitro oni volas priskribi la formo kaj strukturo de la nukleo.En nukleara traktado oni havas gravaj numeroj kiuj estas tre uzitaj. Oni iras prezenti ilin. A estas la numero de massa aŭ la numero de protonoj kaj neutronoj, N la numero de la neutronoj kaj Z de la protonoj. Scribita per

_{N}^{A}X_{Z}

11.1 Atoma Potencialo

Protonoj kaj Fotonoj estas ambaŭ fermionaj partikloj de spin s = 1/2. Laŭe la Fermi-Dirac-a statistiko oni povas priskribi la nukleo kiel fermiona gaso. La du partikloj estas de du diversaj “kimikaj specoj” kaj estas traktiǧi separe. La protonoj havas šarǧon kaj ilian potencialon depenas pro la Z numero. Ekzistas ankaŭ alia potencialo kiu depenas de la nukleara forco. Či tiu potencialo nomiǧas |Woods-Saxoon|-a potencialo kaj estas dedukta de la Fermi-Dirac-a statistiko, sia potencialo estos do:

𝒱(r) = \frac{−V_{0}}{1 + e^{(r−R)/a}}

La |Forco Nukleara| estas forco kun proksima interacia radio (kelkaj fm) kaj sia forco estas preskaŭ la sama en sia akcia radio. La Nukleara forco estas eksplikebla por la interacio de ia partiklo, la |Piono|, kiu estas bosono. Tia partiklo estas elmetita kaj absorbitaj de la nukleonoj kaj reglas dinamike la relacio inter ilin. Tia partiklo eksistas en la tempo konsentita de la nedetermina principo por ne šanǧi la mason de la nukleonoj kaj, estinte masiva (≃130MeV/c^{2}) agas sur malgranda spaco kaj tempo.

Pro la Heisenberg-a principio ΔxΔp = h oni scias ke la elementara volumeno en la faza spaco estas V = (ΔxΔp)^{3} = h^{3}. La energio de ekscitado en ia nukleo estas tre granda, sekvas ke la protonoj čeestas en siaj elementaraj statoj. Oni povas kalkuli respetka Fermi-a energio. La totala numero de partikloj estas dn = d^{3}qd^{3}p/h^{3} do

n = \frac{4πV}{h^{3}} ∫_{0}^{p_{F}} p^{2}dp = \frac{4πV p_{F}^{3}}{3h^{3}} p_{F} = h\sqrt[3]{\frac{3A}{4πV}}

La |Nukleono|-j, protonoj kaj net̆ronoj, estas proksimaj čar estas plitenas al ia fiksa distanco de la nukleara forco. La volumeno de la nukleo estas V = r_{0}^{3}A kie r_{0} estas empirik valoro kaj ekvalas r_{0} = 1.22 fm. En tia modelo oni havas n niveloj okupitaj pro du neŭtronoj kaj du protonoj kun spin antaŭversoj. En n niveloj haviǧas 4A nukleonoj do

p_{F} = \frac{h}{r_{0}} \sqrt[3]{\frac{3n}{4πA}} ℰ_{F} = \frac{h^{2}}{2r_{0}^{2}m}(\frac{3}{π} )^{2/3}

Šela Modelo  Nukleara Strukturo

Figura 11.1: Nivela Okupado

kiu ne depenas de A kaj valoras preskaŭ 33 MeV. Oni havas ankaŭ ia ligo energio B kiu superas la Fermi-a energio kaj valoras 7MeV.

Oni devas anstataŭe konsideri ke kiam la valoro de A kreskas oni devas konsideri ke la numero de neŭtronoj superas la numero de protonoj por kontrasti la elektrikan repulson. Do oni devas scii ke la numero de la neutronoj superos la Fermi-a energio kaj provizi repulsa termo al la energio de ligo. Si oni konsideras ke la n partikloj ne estas 4A sed N + Z ni scias la mez valora energio estas

⟨ℰ_{kin}⟩ = ∫_{0}^{p_{F}} ℰ_{kin}p^{2}dp/ ∫_{0}^{p_{F}} p^{2}dp = \frac{3}{5} \frac{p_{F}^{2}}{2m}

ℰ_{kin} = N⟨ℰ_{N}⟩ + Z⟨ℰ_{p}⟩ = 3/10m · (Np_{nF}^{2} + Zp_{pF}^{2} ) aŭ

ℰ_{kin} = \frac{3}{10m} \frac{h^{2}}{r_{0}^{2}} (\frac{3}{π} )^{2/3} \frac{N^{5/3} + Z^{5/3}}{A^{2/3}}

disvolvigi laŭe (N − Z)

ℰ_{kin} = \frac{3}{10m} \frac{h^{2}}{r_{0}^{2}} (\frac{3}{π} )^{2/3}(A + \frac{5}{9} \frac{(N − Z)^{2}}{A} + …)

11.2 Šela Modelo

Kiel atome oni povas vidi la konfigurado de la nukleonoj en la nukleo kiel elektronoj en centra potencialo. Oni havos la saman priskribon de ia centra potencialo kun kelkaj malsamaǰoj. Protonoj kaj neŭtronoj havas malsaman potencialon pro Coulomba repulsio do estas de diversa kimika speco kaj okupas la samajn niveloj. Oni havas do diskretajn nivelojn per la kvantumaj numeroj {n, l, m, s} okupitaj de du protonoj kaj du neŭtronoj. Oni ne havos degenero de la numeroj {n, l, m} čar oni devas konsideri spin-orbito interacio kaj relativecaj termoj kiel en la atoma kazo sed multe pli valore grava. Kiam la precipa kvantuma numero estas plene okupita oni havos la šelon fermitan kaj la numero de protonoj aŭ neŭtronoj ke fermas šelon nomiǧas |Numeroj Magxikaj| kiuj estas 2 8 20 28 50 82 126. Oni vidas granda stabileco kiam la nukleonoj proksimas este en numero de la maǧik numeroj kaj siaj liga energio kreskas. Oni povas priskribi la konduton de la nukleoj kun Z kaj N proksimaj al la maǧik numeroj. Oni povas fakte konsideri ke la nukleo en fermita šelo estos malmulte aktiva dume la nukleoj kiu havas šelon malfermitaj havos ia spin, angulara momento kaj pareco ne nula. En la nukleo ne plu valoras la reglo de Hund do oni konstruas

Kolektivaj Modeloj  Nukleara Strukturo

ǧin metinte spin kaj angularaj momentoj nuligantas laŭgrade. Si oni havas nukleonojn pliajn aŭ malpliajn de tia de la maǧik numeroj aŭ la nukleo estas ekscitita, la nukleo havos la konduto de tiu či nukleonoj. Oni do difinas la |Isospin| I kiel la sumo de čiu spin ne nuligita pro aliaj nukleonoj kaj la |Totala Angula Momanto| J. Kiel en spektroskopa notacio oni volas uzi ia fekseǧan notacion uzinte J^{P} kie P estas la pareco P = (−1)^{l} kaj nl_{j} pro priskribi ia stato kie n estas la precipa numero, l tia angula (s, p, d, f, …), j la totala angula momanta numero j = l + s. Tia proksimaǧo estas preskaŭ valida per numeroj multe mallonge de tia maǧikaj.

11.3 Kolektivaj Modeloj

Le nukleo havas ia formo kiu ne estas čiam sfera sed pli ofte oni povas priskribi ǧin per elipsoidala čar tia traktado estas bone aproksimiganta kaj simple čar traktebla per simetrika akso (kaze či tiu e_{3}). Oni traktas kiel rotanta solido de Hamilton-a Ĥ_{c} = ℏ/2I · L̂^{2} kie I estas la inercia momanto kaj L̂ tia angula. Oni povas do kalkulinte tiuj aŭtovaloroj (ℏ/2m · I(I + 1)) vidi |Bandoj Rotaciaj| difinitaj per la kvanta numero I. Kaze de nukleono ne kunigita pro nukleoj para-nepara (A nepara) la nukleono ne kunigita havos sia parto en Hamilton-a aditiva termo kie Ĥ = Ĥ_{c} + ĥ separebla en komponi en kiu L̂ = (L̂_{c} − l̂)x̂ + . . .. Oni povas trovi la solvado de tiu ekvacio en termoj de la at̆ovaloroj {I_{c}, i, Ω_{c}, ω} de la operatoroj L̂^{2}, l̂^{2}, L̂_{3}, l̂_{3} aŭ trakti la sistemo kiel armonika oscilatoro modifikata (Nilson [1955]), priskribita per

V (r) = \frac{1}{2}Mω_{0}^{2}((1 − \frac{2}{3}ϵ)^{2}x̂_{3}^{2} + (1 + \frac{1}{3}ϵ)^{2}(x̂_{1}^{2} + x̂_{2}^{2})) − C_{1}l̂ · ŝ − C_{2}(l̂^{2} − ⟨l̂^{2}⟩)

kie ϵ estas paramtro de elipsoida deformaǰo por ẑ simetrio. Oni ne volas tie solvi tiu problemo sed sole diri ke estas solvebla en la termoj de tiuj aŭtovaloroj se oni konsideras perturbataj la termoj C_{1} kaj C_{2} ke en la nukleo, en kiu spin-orbito interacio estas ne traskurebla, signifas granda ϵ.

Dekovrita ia nuklea ond funkcion de formo

R(ϕ, θ) = R_{0}\underline{α}_{l,n}\underline{Y} \begin{matrix}m \\ l \end{matrix}(ϕ, θ)

oni volas priskribi la konduko de la nukleo pro l valoroj. l = 0 estas ne fizika čar la nukleo estas ne komprimebla, l = 1 estas la dupola oscilado l = 2 tia kvarpola kaj tiu pli. Praktike la oscilado pli frekventa estas tiu de kvarpola l = 2 kaj −2 ⩽ m ⩽ 2 kaj

Figura 11.2: lpolaj osciladoj

oni povas priskribi kiel oscilacio de kvin ne kunigitaj armonikaj oscilatoroj, unu pro čiu m

Ĥ = \frac{C_{1}}{2} \underline{˙α̂}_{m}^{2} + \frac{C_{2}}{2} \underline{α̂}_{m}^{2}

Tiu kreas kvantojn internajn al nukleo ke liberas energion ℰ_{N} = (N + \frac{5}{2})ℏω kie N estas la numero de la fononoj. Ekzistas degenero kiel en atoma kazo

11.4 Gamma Defalo

Reakcioj  Nukleara Strukturo

Kiam la nukleo estas en ia ekscitita stato defalas en la baza stato elmetante fotonoj. Estas la kazo de α aŭ β defalo en kiam la nukleo ne perdas čio sia energio sed ǧin havas ankoraŭ. Povas elmeti fotonoj de elektrik aŭ magnetik dupola formo. La fotono elportas angula momanto el nukleo en unecoj de ℏ kiu ne nulas čar fotono ne havas neniam nula angula momanto.

\underline{i}_{inic} = \underline{i}_{fin} + l |\underline{i_{i}} − \underline{i_{f}}| ≤ l ≤ |\underline{i_{i}} + \underline{i_{f}}|

La elektrik dupola elmeto estas proporcionala al qr do šanǧas signon per pareca inversio

r ↦ r θ ↦ π = θ ϕ ↦ ϕ + π Y\begin{matrix}m \\ l \end{matrix}(π − θ, π + ϕ) = −^{l}Y\begin{matrix}m \\ l \end{matrix}(ϕ, θ). Dume la

magnetik dupola elmito ∝ qr×v ne šanǧas signon por la sama inversio. Do ia transicio devas havi iun parecon kaj angul momanton. La letero l signifas du-, kvar-, ok- pola transiro dume E signifas elektrika kaj M magnetika. E_{1},M_{2},E_{3} šanǧas parecon kaj M_{1},E_{2},M_{3} ne. Praktike la inteso de tiu elmitoj estas kalkulebla por ia multipola operatoro m_{E,M}(\underline{l})| ∫ ψ_{f} ∗ m_{E,M}(\underline{l})ψ_{i}dV. Oni povas anstataŭe simpligi tia priskribo imaginante la transiro kiel unuopa protono kiu moviǧas inter du šelaj statoj. Oni do uzas |Weisskopf-aj Unuecoj| [1952] kiuj racieme proksimaǧas la empirik valoroj.

T_{E1} = 1.0 · 10^{14}A^{2/3}ℰ_{γ}^{3} T_{E2} = 7.3 · 10^{7}A^{4/3}ℰ_{γ}^{5} T_{E3} = 34 · 10^{1}A^{2}ℰ_{γ}^{7}
T_{M1} = 3.1 · 10^{13}ℰ_{γ}^{3} T_{M2} = 2.2 · 10^{7}A^{2/3}ℰ_{γ}^{5} T_{M3} = 10 · 10^{1}A^{4/3}ℰ_{γ}^{7}

do oni povas vidi la grandecaj ordoj kiuj priskribas la probablon de la transiro. Praktike la defalo eksistas por la minusaj \underline{l}polaj transiroj.

11.5 Reakcioj

En urta proceso gravas tri grandecoj: la urta sekcio, la meza libera pato kaj la frekvenco de la urtoj. Oni uzas N_{p} partikloj de ia speco sur N_{c} de alia en N_{r} reacioj. la denseco de tiuj partikloj estu n_{p} = N_{p}/V_{p} = ρ_{p}/m_{p}. La flukso de la [fascio] [incidente] estas Φ = n_{p}|v| = I/S = Ṅ_{r}/S. Oni volas serci tian faktoron kiu priskribas la frakcion de partikloj adsorbitaj sur elmetitaj. Oni difinas la |Urta Sekcio|

σ = \frac{Ṅ_{r}}{Φ} dN_{12} = N_{2}n_{1}σ_{12}v_{2}dt

kiu povas esti la sumo de termoj de malsama naturo. Siaj dimensioj estas de surfaco kaj la praktikaj valoraj por nuklearaj reakcioj estas la sub potencaj de la barn (1 barn = ao^{−28}m^{2}. La urta sekcio, ǧenere, depenas de la energio. [Sperimentalmente] oni volas koni la urta sekcio laŭ la anguloj kalkulante σ = ∫_{0}^{4π} d_{Ω}σ(ϕ, θ)dΩ.

11.5.1 Urta Sekcio

Geometrika Termo

Si oni konsideras du sferoj de radio r_{p}, r_{c} la urta sekcio valoras sole si čeestas la urto, prefere, si la |Urta Parametro| b estas minusa de la sumo de la du radioj. La urta

[figure: c; b; p; v]

sekcio estas do: σ = π(r_{p} + r_{c})^{2}.

Coulomba Termo

De la konservo de angula momanto kaj energio

\frac{1}{2}m(ṙ^{2} + r^{2}ϕ̇^{2}) + \frac{Z_{p}Z_{c}}{r} = \frac{1}{2}mv_{0}^{2} mrϕ̇^{2} = mv_{0}b

oni povas obteni ṙ = −v_{0}\sqrt{1 − 2\frac{Z_{p}Z_{c}}{mv_{0}^{2}} /r − \frac{b^{2}}{r^{2}}} , prefere: [figure: c; b; p; v]

ϕ̇ = \frac{v_{0}b}{r^{2}}

ϕ̇/ṙ = dϕ/dr \frac{dϕ}{dr} = −\frac{b}{r^{2}} (1 − 2\frac{Z_{p}Z_{c}}{mv_{0}^{2}} \frac{1}{r^{2}} − b^{2} \frac{1}{r^{2}} )^{1/2}

11.5.2 Kvantuma Interado

Oni volas priskribi la interadon inter du partikloj sekvinte la kvantuma priskribo. Oni volas mizuri la numeron de partikloj de momanto p ke al la angulo ϕ alvenas de granda distanco rilate la atomaj dimensioj. La numero de partikloj devigitaj estos proporcionala al la flukso incidanta, al la frakcio de angulo solida dσ(ϕ, θ) kaj de la urta sekcio kiu depenas de la fiziko de la interado.

dN = σ(ϕ, θ)J_{en}dΩ(ϕ, θ)

La urta sekcio estas ankap̆roporcionala al la flukso elirante σ := x/r · J_{el} .

Kolizo elastiika

En tiu parto oni traktas la [singlan] kolizon de la partikloj de la [fakso] kun un centro adsorbaj sine trasferi energio al la ekscito de la centro. La [fakso] estas komponita de malgrandaj partikloj kiuj ne interagas inter ilin. Tiuj partikloj, por priskribi bonan interadon, devas havi malgrandan disigon en la komponoj de la momanto δp/p << 1, prefere per la De Broglie-a relacio

\frac{δp}{p} = \frac{ℏ}{δl} \frac{λ}{h} = \frac{λ}{2πδl} << 1

do la ond frekvenco de la paketo devas esti multe malgranda de la dimensioj de la paketoj δl kaj tiuj dimensioj devas esti minusaj de la interad radio de la forcoj. La distancoj l_{i} de la [sorgente e rivelatore] devas esti sufice [lontani] mode ke la paketo ne disigiǧas čar poste ia tempo la paketo grandiǧas. La relacio petas ke

\frac{λl_{i}}{2π} << δl

… Oni ne povas mizuri anguloj tre grandaj čar povas [riveli] partiklojn ne difuigitajn.

Subnukleara

En tiu čapitro oni volas marki la pli gravajn rezultojn kaj konceptojn de la Subnukleara materio čar oni ne povas ekpliki plene la derivoj de tiuj konceptoj. Oni ne sekvos la storikajn rezultojn.

12.1 Simetrioj

Oni volas marki la simetrioj kiuj konserviǧas en la subnukleara procesoj. Ekzemple la šarǧoj (elektrikaj, malfortaj kaj koloraj) čiam konserviǧas. Oni havas ankaŭ aliajn diskret variablojn kiuj difinas specifike la partikloj. La partikloj estas separitaj per adronoj h kaj leptonoj l. La lepton-oj estas Fermi-aj f dume la adron-oj estas kaj Fermi- kaj Bose-aj. La quark-oj estas la komponantoj de la h. La h estas aŭ la mesooj, komponitaj de du quark, kaj la bario-oj komponitaj de tri quark. Čiuj quark havas saporon

Partiklo  Saporo  Maso [MeV] Šarǧo[e]
up u  spin 1/2  1.3-3  2/3
down d  spin -1/2  3-7  -1/3
strange s [stranezza] -1  95±25  -1/3
charm c  [fascino] 1  1250  2/3
bottom b  beleco -1  4200  -1/3
top t  [top] 1  173000  2/3

Oni havas ankaŭ la bariona numero kaj la leptona numero kiuj čiam konserviǧas. Čiuj quark-oj havas barionan numeron egala al 1/3, čiuj antiquark-oj havas barionan numeron −1/3. Ankaŭ la lepton-oj havas siajn lepton saporoj. La elektrono kaj la neutrino ν_{e} havas elektronan saporon la μ-o kaj ν_{μ} havas μ-an numeron, tiel la τ.

Maso [MeV]  Vivtempo  Defaloj
e  0.511  >4.610^{24} [jar]
μ  105.7  2.19 [μs]  e^{−}ν̄_{e}ν_{μ}
τ  1776  290 [fs]  μ^{−}ν̄_{μ}, e^{−}ν_{e}ν_{τ} , h^{−}ν_{τ}

Estas ankaŭ enaj simetrioj en unecaj spacoj de oploj kiel la trasformaǰoj en la grupo SU_{2}. La memloka spin petas trasformaǧan konservadon. En la reakcioj oni devas konsideri ke la isospin čiam devas esti konservita. La rezulto de iniciala opl statoj sekvas la regulojn de la dekompono en Hilbert-aj spacoj, kiel priskribita en la sekcio de Kvantuma Mekaniko. Pere la Clebsh-Gordan- koeficantoj oni povas kompreni la eblajn dekomponojn de la iniciala prezento en la finala kaj [valuti] la probablo inter du eventoj. La probablo de finala stato estas la kvar modulo de sia Clebsh Gordan koeficanto.

Simetrioj  Subnukleara

Eksistas ankaŭ trasformaǰoj kiuj ne elvenas de infinitezimaj trasformaǰoj. Tiuj trasformoj estas por ekzemplo la interšanǧo inter du partikloj P, aŭ la kordinata inversio, la interšanǧo inter partiklo kaj antipartiklo C kaj la tempa inversio T.

Pareco

La P operatoro invertas tiel la aksojn

x ↦ −x, t ↦ t, p ↦ −p, x × p ↦ x × p

La P operatoro estas uneca operatoro kaj tiel havas memvaloroj ±1. La [vakuo] havas plusa valoro, la Bose-aj kaj antiBose-aj devas havi la saman parecon dume Fermi-aj kaj antiFermi-aj havi malsaman. La spaca inversio estas

r ↦ r ϕ ↦ π + ϕ θ ↦ π − θ Y_{l}^{m}(r, ϕ, θ) ↦ (−)^{l}Y_{l}^{m}(r, ϕ, θ)

La pareco de la sistomo komponita de du partikloj estas

P = P_{1}P_{2}(−)^{l}
◁Pareco

La fotono estas la partikla formo de la vektora potencialo A kaj havas egala momanto kaj pareco J^{P} = 1^{−}.

Se du Bose-aj estas estas egalaj sia statoj devas esti simetrika do devas havi l kaj J parajn 0^{+}2^{+}…

Partikloj sine spin havas 0^{+}1^{−}2^{+}

La pareco per partiklo antipartiklo en notacio (^{2s+1}L_{J}, J^{P}) estas

(^{1}S_{0}, 0^{−})(^{3}S_{1}, 1^{−})(^{1}P_{1}, 1^{+})(^{3}P_{0}, 0^{+})(^{3}P_{1}, 1^{+})(^{3}P_{2}, 2^{+})

kie 2s + 1 = 1 estas la unola stato dume 2s + 1 = 3 la triopla. 20Ne^{∗} → ^{16}O + α ne konservas parecon čar 1^{+} → 0^{+} + 0^{+} △ Fortaj kaj elektrikaj interadoj konserviǧas parecon dume la malfortaj ne čiam. De la grandecoj enkondukitaj oni vidas ke 0^{+} estas skalara kvanteco, 0^{−} pseudoskalara, 1^{−} vektora, 1^{+} pseudovektora (prefere aks vektora).

Partiklo Antipartiklo

La C operatoro operas sur partiklon mode ke la partiklo per sia Cpartiklo [anihilas]. La šarǧoj devas do esti opositaj. Tiu uneca operatoro šanǧas la šarǧoj de kompleksive neŭtraj partikloj kiel la π-o. ◁C-Operatoro

La C operado sur la fotono γ havas mem valoro −1 čar estas la efekto de la šanǧo de la šarǧoj de la kampo.C|nγ⟩ = (−)^{n}|nγ⟩.

π^{0} estas memstato de C čar C|π^{0}⟩ = +|π^{0}⟩ dume π^{±} ne estas memstatoj de tia operatoro: C|π^{−}⟩ = |π^{+}⟩ kaj C|π^{+}⟩ = |π^{−}⟩

Meso- kaj antimeso-o kun kompleksive nula spin interšanǧas la du partikloj C|π^{+}, π^{−}⟩ = |π^{−}, π^{+}⟩ = P |π^{+}, π^{−}⟩ = (−)^{l}|π^{+}, π^{−}⟩. Se la meso-oj havas ne nula spin C agas kiel kordinata interšanǧo operatoro (P) kaj spin interšanǧo.

Ankaŭ por Fermi kaj antiFermi la C operatoro agas kiel [prie]: C|ff̄⟩ = (−)^{l+s}|ff̄⟩ Por du egalaj bosonoj J^{P C} = 1^{−−}

(^{1}S_{0}, 0^{++})(^{5}S_{2}, 2^{++})(^{3}P_{0}, 1^{−+})(^{3}P_{1}, 1^{−+})(^{3}P_{2}, 2^{−+})

Por du egalaj fermionoj de spin = 1/2

(^{1}S_{0}, 0^{−+})(^{3}S_{1}, 2^{−−})(^{1}P_{0}, 1^{+−})(^{3}P_{0}, 0^{++})(^{3}P_{1}, 1^{++})(^{3}P_{2}, 2^{++})
△

T,CPT

La T operatoro šanǧas

x ↦ x, t ↦ −t, p ↦ −p, x × p ↦ −x × p

De teorikaj [konsideroj] oni scias ke ankaŭ se P, C kaj CP ne estas konservitaj oni devas čiam konservi la akcio de la operatoro CPT.

Krandecoj

Si oni difinas la indico μ en la aro 0, 1, 2, 3 kaj la i en 1, 2, 3 oni povas difini la |Dirac-a Matricoj|.

γ^{i} = ( \begin{matrix}0 & σ^{i} \\ −σ^{i} & 0 \end{matrix} )  γ^{0} = ( \begin{matrix}𝕀_{2} & 0 \\ 0 & −𝕀_{2} \end{matrix} )  γ^{5} = ( \begin{matrix}0 & 𝕀_{2} \\ 𝕀_{2} & 0 \end{matrix} )

kie σ^{i} estas la Pauli matricoj. Indicante l kaj ν la ondfunkcio de leptonoj kaj sia neŭtrino, oni povas komponi tiujn akirante la sekvantaj kovariant grandecoj. l̄ν estas skalara, l̄γ_{5}ν pseŭdoskalara, l̄γ_{μ}ν vektora, l̄γ_{μ}γ_{5}ν aks vektora, 1/(2\sqrt{2}) · l̄(γ_{μ}γ_{μ′} − γ_{μ′}γ_{μ})ν tensora. Empirike oni dekovris ke la partikloj čeestantaj nature estas nur vektoroj aŭ aks vektoroj. Iu ajn diras ke la gravitonojn devus esti tensora grandecoj sed nurtempe ne estas akoraŭ dekovritaj. Si oni volas kosideri la defalo de π-o en l̄+ ν konante la kvarimpulso p^{μ} de la piono, oni povas difini la |Malforta Vektora Kuranto|-n kalkulante la matrica elemento de la produkto

M ∝ 𝒫_{f}ϕ_{π}l̄p^{μ}γ_{μ}ν = 𝒫_{f}ϕ_{π}l̄(p_{l}^{μ} + p_{ν}^{μ})γ_{μ}ν

kie 𝒫_{f} estas la probableco de la finala stato kaj ϕ_{π} la pseŭdoskalara ond funkcio de la iniciala π-o. Oni dekovris ke en la reakcioj oni povas havi kaj vektoraj kaj aks vektoraj kurantoj. Oni nomas tiun v − av strukturo kaj prezetigas per (𝕀 − γ_{5}) operatoro en la kalkulo de la malforta kuranto kiu montras la du aspektoj.

Isospin

Si oni havas n quarkoj oni povas konstrui la adronoj sekvinte la regloj de la sumo de la prezantoj. La simetrioj de la isospin šanǧas per la neeksakta egaleco inter la partikloj. Neŭtrono kaj protono estas konsideritaj kiel du statoj de la isospin 1/2 sed havas divers masojn e la net̆rono ne estas stabila. La elktr magnetikaj interadoj ne konserviǧas la isospinn sed ǧia tria komponanto. Kun la uso de la numeroj de isospin kaj de |Iperšarǧo|, difinita kiel Y = 2(I_{z} − Q) = B + S, oni povas koni čiam partikloj komponitaj de la quark u, d kaj s.

Kosmologio

13.0.1 Ecoj de la Universoj

La kosmologa principo diras ke la universo estas omoǧena kaj isotropa. Omoǧena signifas ke la strukturoj ripetiǧas medie en siaj skalaj prefere oni havas galakso de steloj kiel oni havas amasoj de galaksoj ktp. De la principoj de la relativeco oni scias ke por la lumrapideco ekzistas horizonon al la vido kaj partoj de la spacoj estas nevideblaj de la komenco de la universo. Oni ne povas diri fakte ke la universo estas homoǧena čar ne estas intršanǧo inter la partoj kiuj ne estas en direkte kontakto sed en la porcio de universo videbla tiu estas vere fine al 10^{−5} kaj oni povas krei ke tiu valoras čie.

De la eroj de la ǧenera relativeco kiu oni ne traktos oni havas ke la Einstein-a ekvacio la Einstein-a tensoro egalas al R estas la Ricci kostanto, T_{ij} la

tensoro de energio kaj momento

G_{ik} = ϵ_{ik} − \frac{1}{2}g_{ik}R = \frac{8πG}{c^{4}}T_{i}k

kaj estas solvigebla per la |Friedmann-a Ekvacioj| si oni konsideras homoǧena masa distribuo. Por spaco kun sferik simetrio la metriko asociita al tiu spaco en la Newton-a limito (Gm/lc^{2} << 1) por la Birchoff-a teoremo estas la Minkovskij-a konsiderinte ke la spac mezuro pligrandigas kun la tempo

ds^{2} = c^{2}dt^{2} − a(t)^{2}dl^{2}

Oni volas kalkuli la Friedmann ekvacio en Newton-a priskribo. Oni scias ke pro prova maso la akcelo por gravita forco estas

l̈= −\frac{Gm}{l^{2}}  l̈l̇ = −\frac{Gm}{l^{2}} l̇  \frac{d_{t}}{2} (l̇^{2}) = Gmd_{t} \frac{1}{l}

kie oni havas multipliki pro l̇ kaj notita la diferenciale formo. La una integralo estas

l̇^{2} = 2\frac{Gm}{l} = \frac{8π}{3} Gρl^{2} + c

Oni vidis ke la longeco l estas temp dependa kaj oni povas skribi ǧin kiel produkto de fiksa distanco per la skala faktoro l(t) = r_{0}a(t). La dua derivaǧo de Newton-a ekvacio montras pluen

l̈= −G\frac{4}{3}πρl \frac{ä}{a} = −\frac{4}{3}Gρ

La denseco depenas de la longeco l je la tria potenco. Do si oni konsideras la produkto ρa^{3} tiu ne devas šanǧi en la tempo, kaj al ni donas la tria kaj lasta ekvacio

d_{t}(ρa^{3}) = 0 = ρ̇a^{3} + 3ρa^{2}ȧ  ρ̇ = −3ρ\frac{ȧ}{a}

\underline{Kosmologio}

Si oni anstataŭe konas la ǧenerala relativeco oni obtenus

ä = −\frac{4}{3}πG(ρ + 3\frac{𝒫}{c^{2}} )a  ȧ^{2} + K = \frac{8}{3}πGρa^{2}  ρ̇ = −3\frac{ȧ}{a}(ρ + \frac{𝒫}{c^{2}} )

kie K definas la metrikon de la spaco kiel oni povus vidi pluen.

Si oni volas konsideri la universo kiel homoǧena kaj ideala fluo oni devas konsideri la rekta metriko asociita al la spaco. La |Robertson Walker-a Metriko| estas la diferencialo de la nevariana intervalo

ds^{2} = (dt^{2} − a^{2}(t)(\frac{dr^{2}}{1 − Kr^{2}} + r^{2}dΩ^{2}))

kie r estas la distanco en polaraj koordinatoj, τ := ∫ 1/a(t)dt estas la |Konforma Tempo| integrata sur la propra tempo t dume K estas la parametro kiu elektas la tipon de metrikon. Si oni havas Euclide-a metriko K nulas si la spaco estas sferika kaj havas Gauss-a kurvaturo (1/R^{2}) k egalas 1n dume pro k = −1 oni havas iperbolikan. Si oni ne scias la metrikon de la universo oni devas konsideri ke la distanco inter du punktoj estas

d_{P} (t) = ∫_{0}^{r} \frac{adr′}{(1 − Kr^{2})^{1/2}}  =^{K=0} ar  =^{K=1} sin^{−1}(r)  =^{K=−1} sinh^{−1}(r)

La distanco kunmova havas an kiu estas temp dipenda kaj parton kiu depenas sole de la distanco r. Oni skribas la |Hubble leǧo|n per

ḋ_{P} = \frac{ȧ}{a}d_{P} H(t) := \frac{ȧ}{a}

skribinte la bone notita Hubble kostanto kiu ne estas precise mizurita. Por tiu oni skribos la valoron de la Hubble kostanto en unecoj de h kiu estas utila variablo por poni

\frac{H(t_{nun})}{h} := 100[kms^{−1}Mpc^{−1}]

mode ke oni povas poni la valorojn de la kosmoloǧikaj grandecoj en la diskordantaj h grandcoj. En tiu vidado la komponoj de la rapidecoj de la distancoj v := ḋ_{P} estas simple

v(r) − v(r′) = v(r − r′)

Oni volas difini novan grandecon kiu estas facile mizuri. Si oni konas la transiro de iu elemento (Ekz Comtpon-a longeco) oni povas observi la diferencon inter la teorika kaj la observita frekvenco kaj nomi ǧin |Roza Traslado|

z := \frac{λ_{0} − λ}{λ}

kiu al ni diras la Doppler-an trasladon pro la espansio de la universo. La roza traslado estas kunigita al la skala faktoro sed ankaŭ al la temperaturo, la tempo sed ankaŭ la distanco kiel oni vedos

νa = ν_{0}a_{0}  \frac{ν}{ν_{0}} = \frac{a_{0}}{a}  a = a_{0}(1_{z})

La denseco de energio ρ estas priskribita de la ekvacio de stato

𝒫 = wρ

kie w estas numero kiu povas šanǧi laŭe la presenco en la universo de diversaj energiaj kontribuoj. Se la pli granda kontribuo al la energio estas donita de la radiado oni scias de la luma elmito ke la presiono de radiado estas proporcionala al 1/3 de la denseca energio. Poste la dekuplo de materio kaj radiado la energia denseco estas sur čiu la sumo de la masoj ene la universo kaj oni ne havas pli presionon kiel la polvo aire surponita; do w = 0. Poste tiu la universo pro energio asociita al la vakuo, kiu oni ne scias priskribi kaj kompreni, la pli granda kontribuo de la energio de la universo konsistas en la nomata |Energio Obskura| kiu donas malplu-a presiona kontribuo w = −1.

Oni volas nun solvi la Friedman ekvaciojn kiuj al ni diros pri la espansion de la universo en la tri diversaj epokoj.

ρ̇ = −3\frac{ȧ}{a}(ρ + \frac{𝒫}{c^{2}} ) = −3\frac{ȧ}{a}ρ(1 + w) ρ = ρ_{∗}(\frac{a}{a_{∗}} )^{−3(w+1)}

en la proksimado de Euklide-a universo (k = 0 aŭ kc^{2} << 8πGρa^{2}) oni skribos

ȧ = \sqrt{\frac{8πG}{3}ρ_{∗}}a_{∗}^{\frac{3}{2} (1+w)}a^{− \frac{3}{2} (1+w)−1} daa^{\frac{3}{2} (w+1)−1} = \sqrt{\frac{8πG}{3}ρ_{∗}}a_{∗}^{\frac{3}{2} (1+w)}dt

Se oni solvas tiuj ekvacioj oni havos H_{∗}^{2} = 8πGρ_{∗}/3

a = a_{∗}(1 + \frac{3}{2}(1 + w)H_{∗}Δt)^{\frac{2}{3(1+w)}} := a_{0}(\frac{t}{t_{0}} )^{\frac{2}{3(1+w)}} \frac{2}{3H_{∗}(w + 1)} = t_{∗}

de kiu oni havas kun tiuj sekvantaj difinoj

a = a_{0}(\frac{t}{t_{0}} )^{\frac{2}{3(1+w)}}  ρ = ρ_{0}(\frac{t}{t_{0}} )^{−2}  H = \frac{2}{3(1 + w)t}

Oni nun volas solvi la problemon per ia ajn metriko (K = −1, 0, 1).

ȧ^{2} = H_{0}^{2} \frac{a_{0}^{3}}{a} − K  a = \frac{H_{0}^{2}a_{0}^{3}}{ȧ^{2} + K}  ȧ = −2ȧä\frac{H_{0}^{2}a_{0}^{3}}{(ȧ^{2} + K)^{2}}

De ä = d_{t}ȧ oni skribos

dt = −2H_{0}^{2}a_{0}^{3} \frac{dȧ}{(ȧ^{2} + K)^{2}}

Por K = 1

ȧ := tg(\frac{π − α}{2})  t = \frac{1}{2}H_{0}^{2}a_{0}^{3}(α − sin α)  a = H_{0}^{2}a_{0}^{3}(1 − cos α)

dume por K = −1

ȧ := tgh(\frac{π − α}{2})  t = \frac{1}{2}H_{0}^{2}a_{0}^{3}(sinhα − α)  a = H_{0}^{2}a_{0}^{3}(coshα − 1)

kaj fin fine por K = 0

t = 2H_{0}^{3}a_{0}^{3}(0 − \frac{1}{−3ȧ_{0}} ) = \frac{2}{3H_{0}}

de tiu oni povas kalkuli la aǧo de la universo per en la diversaj modeloj t_{0}^{K=−1} < t_{0}^{K=0} < t_{0}^{K=1}

La dua grava informo kiu oni povas obteni estas la tempo de transado inter radiadomaterio-obskura energio dume la universa istorio.

ρ_{m}(1 + z_{1})^{3} = ρ_{rad}(1 + z_{1})^{4} ρ_{m}(1 + z_{2})^{3} = ρ_{Λ}

Oni nomiǧis ρ_{Λ}-n en la kazo de la obskura energio čar oni povas poni en la Einstein-a ekvacio kostanton nomita |Kosmologa Kostanto| kiu donas al la universo termon atraktiva kiel en la obskura energio. Tiu termo šanǧas la valoro de la presiono kaj de la energia denseco

ρ → ρ + \frac{Λc^{2}}{8πG} 𝒫 → 𝒫 − \frac{Λc^{4}}{8πG}

Por imaǧini tiun oni povas konstrui skalara kampo ϕ kiu povas šanǧi la presiono kaj energio de la universo en tiu mode Lagrange-a priskribo

ρ_{ϕ} = \frac{1}{2}ϕ̇^{2} + 𝒱(ϕ)  𝒫(ϕ) = \frac{1}{2}ϕ̇^{2} − 𝒱(ϕ)  w = \frac{\frac{1}{2} ϕ̇^{2} − V (ϕ)}{\frac{1}{2} ϕ̇^{2} + 𝒱(ϕ)}

sed ne estas neniam troviata tiu spece kampo.

Abundancoj kaj Dekuplaǧo

Oni volas nun renkonti la vivo de la universo parolinte de la pli valorata modelo. Čio komencis en la big bang, la vera singulareco de la denseco de energio en čio punkto de la spaco. Oni povas renkonti la vivo de la universo de tiu momento čar oni ne povas diri ion antaŭ tiu evento. Oni montros en logaritmika skalo la evolvo de la parametroj, la temperaturo kaj la energio malgrandiǧis kaj permetas la komponon de pli grandaj strukturoj, la spaco, kiu oni jam scias ke tiu estas mizurebla per la roza traslado z, grandiǧis.

Supren la energio 10^{19}[GeV], |Plank-a Maso|, probable la kvar forcoj uniǧas kaj oni devas trakti unifikan teorion ke en tiu momento ne eksistas kaj pro tiu oni povas diri nenion de tiu epoko. Poste la temperaturo de 10^{16}[Gev] anstataŭ la forta dekupliǧas de la elektromalforta forcoj kaj la universo estas komponita de quark [gluon]-a plasmo. Por malpli de 1[T eV] ankal̆a malforta forco dekupliǧas de la elektromagnetika. Malsupre la temperaturo de 1[GeV] la quark legiǧas kaj formas la pli stabilaj particeloj el čiuj, la neŭtroj kaj la protonoj. Čirkaŭe 1[MeV] la malforto forco komenci havi malgrandan interadan radion kaj la neŭtrinoj dekupliǧas formante la pli treaǧa informo sur la big bang čar la nedekuplitaj particeloj kontinŭe interaǧigas inter ilin kaj ne povas alveni al ni. Sine la kuplaǧo de la net̆rinoj la reakcioj n + ν_{e} → p^{+} + e^{−}, n + e^{−} → p^{+} + ν̄_{e} estas sfavoritaj kaj oni povas formi la unua nukleoj (D, He, Li) ankaŭ se la presenco de la fotonoj kontinue fotodetruas la Deuterion kaj la nukleoj kontinue reformiǧas. Preskaŭ [1eV] finfine la radiado dekupliǧas de la materio kaj konstituas, poste la malvarmo de la espansio, la |CMB Kosma Mikroonda Fondo|. Al tiu tempo la nukleoj povas formiǧi kaj oni havis la materion kiu povas formi la astronomikaj strukturoj.

Oni nun volas motri iom da kalkuloj kiu permetas al ni de kompreni la abundanco de la elementoj kaj la mekanismoj kiu reglas tiu tre interaǧanta fluido.

c = ℏ = k_{B} = 1 Sekvinte Boltzmann oni definas la distribua funkcio per

g deǧenero de la statoj, elikeco. ±1 laŭe Fermi-Dirac aŭ Bose-Einstein

f(ℰ, 𝒯) = \frac{1}{e^{\frac{ℰ−μ}{𝒯}} ± 1}  n(𝒯) = g ∫ dℰf(ℰ, 𝒯)  ℰ = \sqrt{p^{2} + m^{2}}

Oni povas poni du limitojn por kalkuli tiun integralon, la ultra relativista ℰ − μ ≃ p kaj la nerelativista ℰ ≃ m + p^{2}/2m. Por la unua

n(𝒯) = g \frac{g}{(2π)^{3}} ∫ \frac{dΩdpp^{2}}{e^{\frac{p}{𝒯}} ± 1} = \frac{g𝒯^{3}}{2π^{2}} ∫_{0}^{∞} dx(e^{x} ± 1)^{−1}

kaj estas solvebla per la Euler-a ζ.

13.0.2 Mat: Euler-a ζ

\underline{Mat} La Euler-a ζ estas difinita per

ζ(x) := ∑_{i} \frac{1}{x^{i}}

Tiu funkcio ne estas analiza sed oni povas facile numerike kalkuli ǧin. Tiu funkcio aperas tre ofte (ankaŭ rilate la unuaj numeroj) sed oni volas difini ǧin por la numerik valoroj de sia integral formo …

√

n(𝒯)  =^{F D} \frac{3}{4} \frac{ζ(3)}{π^{2}}g𝒯^{3}  =^{BE} \frac{ζ(3)}{π^{2}}g𝒯^{3}

Si oni anstataŭe volas kalkuli la denseco de energio oni obtenus

g_{∗} := ∑_{i∈F D} g_{i}^{spin}( \frac{𝒯_{i}}{𝒯} )^{3} + ; ∑_{i∈BE} g_{i}^{s}( \frac{𝒯_{i}}{𝒯} )^{3}

ρ(𝒯) = \frac{g}{(2π)^{3}} ∫ \frac{d^{3}pp}{e^{\frac{p}{𝒯}} ± 1} = \frac{π^{2}}{30} g_{∗}(𝒯)𝒯^{4}

Por la ne relativeca proksimado la kalkulo estas

n(𝒯) = \frac{g}{(2π)^{3}} ∫ d^{3}p\frac{e^{− \frac{m−μ}{𝒯}}e^{− \frac{p^{2}}{2m𝒯}}}{1 ± e^{− \frac{m−μ}{𝒯}}e^{− \frac{p^{2}}{2m𝒯}}} ≃ \frac{g}{(2π)^{3}} e^{− \frac{m−μ}{𝒯}} ∫ d^{3}p\frac{e^{− \frac{p^{2}}{2m𝒯}}}{1 ± 0} = g(\frac{m𝒯}{2π} )^{\frac{3}{2}} e^{− \frac{m−μ}{𝒯}}

kiu ne montras diferencoj inter Fermi-aj kaj Bose-aj. Oni do povas defini la |Dekuplaǧo| kiam la tempo de kolizo t_{k} = Γ^{−1} estas pli granda de la tempo de espansio t_{e} = H^{−1}, prefere Γ < H. Γ estas la bone notita largeco de interado Γ := 𝔫⟨σv⟩. Oni vidis ke H

estas skribebla per m_{P} := \frac{1}{\sqrt{P}} Plank-a maso

H^{2} = \frac{8πG}{3}ρ = \frac{8π^{3}}{90} Gg^{∗}(𝒯)𝒯^{4} H = \sqrt{\frac{8π^{2}}{90} g^{∗}(𝒯)}\frac{𝒯^{2}}{m_{P}}

Oni scias ke la interadoj meditaj per diversaj Bose-aj havas diversan urtan sekcion σ G_{X} Fermi-a kostanto

σ_{em} ∝ \frac{α}{𝒯^{2}} σ_{masa} ∝ G_{X}𝒯^{2} ∝ \frac{α}{m_{X}} ^{2}𝒯^{2}

De tiu oni povas trovi la tempo de dekuplaǧo de la malforta interado

Γ_{X} ∝ 𝒯^{3}G_{X}𝒯^{2}  \frac{Γ}{H} = G_{X}^{2}m_{P} 𝒯^{3} < 1  𝒯 < G_{X}^{−2/3}m_{P}^{−1/3}

kaj de la elektromagnetika

Γ ∝ 𝒯^{\frac{3}{2}} \frac{α^{2}}{𝒯} \frac{Γ}{H} = α^{2} \frac{m_{P}}{𝒯} \frac{Γ}{H} ∝ \frac{α^{2}m_{P}}{𝒯^{\frac{1}{2}}}

Oni nomiǧas |Relikto Kosmiko| la tipo de particelo kiu dekupliǧas kaj varma aŭ malvarma la relikto kiu dekupliǧas antaŭe aŭ poste la derelativistikeco. Poste čio dekuplaǧo oni devas šanǧi la valore de deǧenero de la specoj g^{∗}.

Oni konsideras gason de elektronoj kaj protonoj kiuj troviǧas en la sama spaco. Se oni volas koni la temperaturo kiu permetas la deionizaǧon de la idroǧeno. La kimikaj potencialoj egalu μ_{p} + μ_{e} = μ_{H} + μ_{γ}. Oni ponas μ_{γ} ≃ 0 čar la numero de fotonoj [ne šanǧas la energio de la sistemo]. Se la denseco de elktronoj kaj protonoj estas

𝔫_{e} = g_{e}(\frac{m_{e}𝒯}{2π} )^{\frac{3}{2}} e^{\frac{μe−me}{𝒯}} 𝔫_{p} = g_{p}(\frac{m_{p}𝒯}{2π} )^{\frac{3}{2}} e^{\frac{μp−mp}{𝒯}}

oni havus ke B := m_{p} + m_{e} − m_{H}

𝔫_{H} = \frac{g_{H}}{g_{e}g_{p}} 𝔫_{p}𝔫_{e}(\frac{m_{e}𝒯}{2π} )^{− \frac{3}{2}} e^{\frac{B}{𝒯}}

Si oni difinas Ξ_{e} := 𝔫_{p}/𝔫_{B} = 𝔫_{e}/𝔫_{B} kaj Ξ_{e} = 0.1 oni trovas la |Saha-a Ekvacio| η frakciono de barionoj sur fotonoj

\frac{1 − Ξ_{e}}{Ξ^{2}} = 𝔫_{B}(\frac{m_{e}𝒯}{2π} )^{− \frac{3}{2}} e^{\frac{B}{𝒯}} 𝔫_{B} := η𝔫_{γ} = η \frac{2ζ(3)}{2π}𝒯^{3}

Oni povas vidi ke la Saha ekvacio ne donas la korektan temperaturon de deinoniǧaǧo kiam la sistemo ne estas en ekvilibrio čar oni havas multaj fotonoj kiuj ankoraŭ perturbas la sistemon. Si oni volas trovi la temperaturo de la primodiala nukleosintekso oni uzos

\frac{𝔫_{p}}{𝔫_{n}} ≃ (\frac{m_{n}}{m_{p}} )^{3/2}e^{− \frac{Q}{𝒯}} Q := m_{n} − m_{p} =^{n} 1.3[MeV]

Jeans Modelo  Kosmologio

13.1 Jeans Modelo

L̂ Liuville-a operatoro, Ĉ koliza Sekvinte la Boltzmann ekvacio oni volas trovi la distribua funkcio f(Γ, t) kiu solvas

operatoro

L̂[f] = Ĉ[f]  L̂ := ∂_{t} + d_{t}x∇_{x} + d_{t}v∇_{v} = ∂_{t} + v∇_{x} + \frac{F}{m}∇_{v}

Se

𝔫(t) = \frac{g}{(2π)^{3}} ∫ d^{3}pf(Γ, t) \frac{g}{(2π)^{3}} ∫ \frac{d^{3}p}{ℰ}L̂[f] = \frac{g}{(2π)^{3}} ∫ \frac{d^{3}p}{ℰ}Ĉ[f]

kiu estas solvebla en

\frac{g}{(2π)^{3}} ∫ \frac{d^{3}p}{ℰ}(ℰ∂_{t}f − \frac{ȧ}{a}|p^{2}|∂_{ℰ} f) = 𝔫̇ + 2 ∫ d^{3}ppd_{p}f = 2 ∫ dΩ ∫ dpp^{2}p∂_{p}f

kiu integrinte por partoj oni donas

𝔫̇ + 3\frac{𝔫̇}{𝔫} = \frac{g}{(2π)^{3}} ∫ \frac{d^{3}p}{ℰ}Ĉ[f] = −⟨σv⟩𝔫^{2} + C = ⟨σv⟩(𝔫_{eq}^{2} − 𝔫^{2})

Do la metrika denseco kunmova 𝔫_{c} ≃ 𝔫_{0}(a/a_{0})^{3} valoras

𝔫̇ = 𝔫̇_{c}(\frac{a_{0}}{a} )^{3}  𝔫̇_{c} − (\frac{a_{0}}{a} )^{3}𝔫_{c,eq}⟨σv⟩((\frac{𝔫_{c}}{𝔫_{c,eq}} )^{2} − 1)

13.2 Astrofiziko

Si oni prenas sferika distribuo de partikloj oni havas du opozitaj forcoj, la gravitazionala kaj la presiona gradianto. Por kalkuli la kampo valoras la Gauss-a teoremo kaj la kampo depenas de la maso ene la sfero konsiderita.

−ṙ^{2} = \frac{Gm(r)}{r^{2}} + \frac{1}{ρ(r)}d_{r}𝒫

Se oni enmetas al la ekvilibrio oni devas solvi

∫_{0}^{R} 4πr^{3}d_{r}𝒫dr = 𝒫(r)4πr^{3}|_{0}^{R} − 3 ∫_{0}^{R} \frac{Gm(r)}{r}dm = − ∫_{0}^{R} \frac{Gm(r)ρ(r)4πr^{2}}{r^{2}} = ℰ_{gravita}

Do oni formulas ⟨𝒫⟩ = −ℰ_{gr}/3V. Per la dekompono de la movo en isotropa spaco la presiono estas la media valoro de la produkto vp

𝒫 = \frac{𝔫}{3}⟨pv⟩  =^{NR} \frac{2}{3}𝔫⟨\frac{1}{2}mv^{2}⟩ = \frac{2}{3}ℰ_{k}  =^{R} \frac{1}{3}𝔫⟨pc⟩ = \frac{1}{3}ℰ_{k}

Tiu estas la |Virialo Teoremo| kaj oni povas formuli al la ekvilibrio 2ℰ_{k} + ℰ_{p} = 0 kiu eksprima la relacio inter la kinetika kaj potenciala energio por ne relativecaj partikloj. Kun la konservo de la energio ℰ_{k} + ℰ_{p} = ℰ_{tot} oni diros ke ℰ_{tot} = ℰ_{gr}/2. Tiu teoremo estas grava en la konsidero ke se oni havas gason kiu perdas energion sur la surfaco la gravita energio povas malkreksi dume la kinetika kreskas altiginte la temperaturon, se anstataŭe la kinetika energio malkreskas per la radiado la gravita energio altigas la energion de la nuklearaj interadoj. Se la gaso estas en relativeca proksimado la sistemo estas en nestabila ekvilibrio čar la du forcoj havas la saman grandeco. La masa limito por la nestabileco estas la |Chandrasekhar-a Maso| M = 1.4M_{⊙}, la steloj kun maso malpli de la Chandrasekhar-a maso devenas blankaj nanoj dume la alia povas elmeti grandan parton de sia maso en ia supernova aŭ kolapsi en neŭtrona stelo aŭ nigra truo

Astrofiziko  Kosmologio

En la adiabatika proksimado 𝒫V^{γ} = c la variablo de la interna energio depenas sole de la laboro farita de la sistemo

γ \frac{dV}{V} + \frac{d𝒫}{𝒫} = 0  d𝒰 = −𝒫dV = \frac{1}{γ − 1}d(𝒫V)  ⟨𝒫⟩ = (γ − 1)\frac{𝒰}{V} = −\frac{1}{3} \frac{ℰ_{g}}{V}

Si la partikloj ne havas ekscititaj gradoj de liberaleco 𝒰 = ℰ_{k} kaj ℰ_{tot} = −(3γ − 4)ℰ_{in} kaj eksprimas la liga stato de la sistemo por γ > 4/3. La energio de la sistemo per partiklo estas ℰ_{k} = 3/2Nk_{B}𝒯 kie N estas preskaŭ donita de la maso de la hidroǧeno N ≃ M/m_{H}. Si oni volas ke la sistemo kuntrahiǧas |ℰ_{g}| > ℰ_{k} kaj oni trovos la |Jeans-a Denseco| kaj maso kiu donas la limito por havi gravitacionala kontrahiǧo

M_{J} = \frac{3k_{B}𝒯}{2Gm̄} R ρ_{J} = \frac{3}{4πM^{2}} (\frac{3k_{B}𝒯}{2Gm̄} )^{3}

Či tiu al ni diras ke oni bezonas de nebulozo de preskaŭ 1000 sunaj masoj kaj densecoj de 10^{5} molekuloj per [m^{3}] al la 20[K] temperaturo por havi gravitacionalan kuntrahiǧon kaj la formado de amason de steloj. Oni havas protostelo kiam la temperaturo superas la energio de deasocieco de la hidroǧena molekuloj ℰ_{D} =^{n} 4.5[eV] kaj la ioniǧo de de la H molekulo ℰ_{I} =^{n} 13.6[eV]. De la viriala teoremo oni havos ke

ℰ_{g} ≃ −\frac{GM^{2}}{R} ≃ \frac{1}{2} \frac{M}{m_{h}} ℰ_{D} + \frac{M}{m_{H}} ℰ_{I} = 2 · 2\frac{M}{m_{H}} \frac{3}{2}k𝒯 k𝒯 ≃ \frac{1}{12}(ℰ_{D} + 2ℰ_{I})

Oni havas Pauli repulsio kiu povas malebligi la formado de stelo per Fermi-a gaso. La partikloj havas De Broglie-a ond longeco kiu devas esti pli granda de la media longeco per partiklo por havi la kondicon de stelemo

λ ≃ \frac{ℏ}{\sqrt{m_{e}𝒯}} ρ < m̄\frac{(m_{e}k_{B}𝒯)^{\frac{3}{2}}}{ℏ^{2}}

Se oni ne havas stelemo M < 0.08M_{⊙} la deǧenera elektronoj estas gravaj kaj la protostelo devenas nano bruna.

La formado de la steloj permetas la kreo de la elementoj kiuj troviǧas sur la tero. Uzinte la Weizsäker-a masa formulo oni vidass ke de la H al la F e (la pli stabila) la reakcio estas esotermaj kaj oni gajnas energion trasforminte la elementoj en la pli pezaj se la temperaturo permetas al la reakcio de okazi. Foje kiam la temperaturo estas tre alta la fotonoj povas esti kaptitaj en la endoterma reakcioj kiuj permetas de malaltigi la kinetikan energion kaj altigi la gravitan. La alia elementoj eblas formi ilin per neŭtrona kapturo kaj β defalo kiu oni povas fari rigardinte la nuklida tabelo.

Oni havas intereza relacio inter la maso, la lumeco kaj la durado de la steloj. La lumeco kaj la maso havas proporcio L ∝ M^{≃3} dume la temp vivo t ∝ M^{≃−2.5}, inverse proporcionala! Oni havas ankaŭ la bone notita |Hertzsprung-Russel-a Diagramo| kiu eksprimas la grafo de la lumeco L kontraŭ la surfaca temperaturo 𝒯: (𝒯_{maks}−𝒯, L). La diagonalo prezentas la principalan sekvencon kiu difinas la steloj kiel la suno, bas maldektre oni havas la blankaj nanoj, varmaj sed malmulte lumaj dume alt dekstre la roza gigantaj.

Appendice A

Computacionala Metodo

A.1 Difinoj

La |bit| (binary digit) estas la unueco de la informo 0 aŭ 1, vera aŭ nevera. La |byte| estas ia fiksa numero de bit kiu formas parolon. Iu byte povas esti uzita por karakteroj (1 byte), aŭ numeroj. La numeroj povas esti interoj (longaj 4 byte aŭ mallongaj 2 byte, kun aŭ sin signo) aŭ je mova komo (float 4 byte aŭ double 8) notitaj per s ∗ m ∗ 2^{b−127}: mantissa (16 aŭ 38 bit), signo (1 bit) kaj bias (tot bit). La stableco de algoritmo estas la enfero de operacionala aproksimeco sur la rezulto. Oni havas diversaj Metodoj

Direkta sine rondigo en finita numero de pašoj (ekz: Gauss)

Iteraktiva vico kiu konverǧas al la solvado fine al la elektita valoro ϵ > ||f(x) − f_{n}(x)|| (ekz: )

Unuopa Pašo La vico depenas sole de la antaŭa iterado x_{i+1} = f(x_{i}) (ekz: Newton pro nelinearaj sistemoj, Runge-Kutta)

Multobla Pašo kiu depenas pro antaŭaj iteradoj x_{i+1} = f(x_{i}, x_{i−1}, …) (ekz: Adams-Moulton, Adams-Bashfort)

|–[Esplicito] kiam x_{i+1} ne dipenas de f(x_{i}, …) en la sama momento (ekz: Adams-Bashforth)

|–[Implicito] kiam x_{i+1} dipenas de f(x_{i}, …) en la sama momento (ekz: Adams-Moulton)

A.2 [Codice]

En tiu sekcio oni volas meti la [codice]n kiu estas de mi mem skribita, provita kaj utilizita en la programoj kiu mi uzas. Estas simplaj instruadoj por solvi unu dimensioj problemoj.

Integrado

Reglo Simpson 3/8

double Matematica::Integrazione(double a,double b){
  double Delta = (b-a)/(double)NPassi;
  double Risp = 0;
  for(int i=0;a+((double)i)*Delta<b;i+=3){//+3 se si sovrappongono
    Risp += 3*3*Delta*( f(a+Delta*i)+3*f(a+Delta*(i+1))+3*f(a+Delta*(i+2))+f(a+Delta*(i+3)) )/8;
  }
  return Risp;
}

[Codice]  Computacionala Metodo

Interpolado

Minimumaj kvadratoj derivo por la lineara interpolado

RETTA Matematica::InterRett(double *Px,double *Py,int NMass){
RETTA r1;
double Mediax = 0.;
double Mediay = 0.;
double Scartox = 0.;
double Scartoy = 0.;
Uno=0;Due=0;;UnoUno=0;ZeroUno=0;ZeroDue=0;
for(int i=0;i<NMass;i++){
  Uno += Px[i];
  Due += QUAD(Px[i]);
  ZeroUno += Py[i];
  UnoUno += Px[i]*Py[i];
  ZeroDue += QUAD(Py[i]);
}
Mediax = Uno / (double) NMass;
Mediay = ZeroUno / (double) NMass;
Scartox = (Due - Uno*Uno)/(double)NMass;
Scartoy = (ZeroDue - ZeroUno*ZeroUno)/(double)NMass;
r1.Corr = (UnoUno - Uno*ZeroUno) / (double) NMass;
r1.r = r1.Corr / ( sqrt(Scartox*Scartoy) );
r1.m = (NMass*UnoUno - Uno*ZeroUno) / (NMass*Due - Uno*Uno);
r1.ErrM = Scartoy * sqrt( Due / (NMass * (Due - Uno*Uno)));
r1.q = (ZeroUno - r1.m*Uno)/NMass;
r1.ErrQ = Scartoy * sqrt( 1 / (NMass * (Due - Uno*Uno)) );
return r1;
}

Diskreta Fouriera Trasformo

void Matematica::SpettroDFT(double *st,double *sw,int NMass){//N=int^2
double Re1=0.,Im1=0.,Re2=0.,Im2=0;
double FMass=(double)NMass/DUE_PI;
for(int j=0;j<(int)(NMass/2);j++){
  Re1=0.;Re2=0.;Im1=0.;Im2=0.;
  for(int i=0;i<(int)(NMass/2)-1;i++){
    Re1+=st[2*i]*cos(DUE_PI/(double)NMass*(double)(2*i)*(double)j);
    Im1-=st[2*i]*sin(DUE_PI/(double)NMass*(double)(2*i)*(double)j);
    Re2+=st[2*i+1]*cos(DUE_PI/(double)NMass*(double)(2*i+1)*(double)j);
    Im2-=st[2*i+1]*sin(DUE_PI/(double)NMass*(double)(2*i+1)*(double)j);
  }
  sw[j]= QUAD((Re1+Re2)/(double)NMass)+QUAD((Im1+Im2)/(double)NMass);
}
}

Autokorelado

void Matematica::Autocor(bool *st,double *sAutocor,int N){
for(int i=0;i<N;i++){
  sAutocor[i] = 0;
  for(int j=i,l=i;j<N+i;j++,l++){
    if(j == N) l=0;
    sAutocor[i] += (double) (st[j-i]*st[l])/(double)N;

}
}
}

A.2.1 Memsimileco

void Matematica::Autosimilarita(double *st,int NMass,double *sw,int Potenze){
for(int j=0;j<Potenze;j++){
sw[j] = 0.;
}
for(int i=0;i<NMass;i++){
Temp = 1;
for(int j=0;j<Potenze;j++){
  Temp *= st[i];
  sw[j] += Temp;
}
}
for(int j = 0;j<Potenze;j++){
sw[j] = log10(POS(sw[j]))/log10((double)NMass);
//    printf("sw[%d] %f\n",j,sw[j]);
}
}

Appendice B

Tabeloj

B.1 Kostantoj

Kvanteco  Simbolo  Valoro
Lum rapideco  c [m/s]10^{8}  2.997’924’58
Plank-a  h [Js]  6.626’069’311
Plank-a [tagliata]  ℏ [Js]  1.054’571’6818
ℏ [MeV s]  6.582’119’1556
Konversio  ℏc [eV nm]  197.326’9687
Uneca šarǧo  e [As]  1.602’176’5314
Elektrona maso  m_{e} [MeV/c^{2}]  0.510’998’924
Protona maso  m_{p} [MeV/c^{2}]  938.272’038
Bohr-a magnetego  μ_{ℬ} = eℏ/2m_{e}  5.788’381’80439
Nukleara magnetego  μ_{N} = eℏ/2m_{p}  3.152’451’25921
Bohr-a radio  a = 4πϵ_{0}ℏ^{2}/m_{e}e^{2} [Å]  0.529’177’210’818
e^{−} hidroǧena rapideco v_{o}^{e^{−}} = e^{2}/4πϵ_{0}ℏ [m/s]10^{6}  2.187’7
Hiperfina kostanto  α = v_{0}^{e^{−}}/c  1/137.035’999’71096

Bibliografia

[1] C. Minnaja Vocabolario Italiano-Esperanto (CoEdEs 1996 Milano)

[2] T. Ötiger The not so short Intruduction to L^{A}TEX (www. )

[3] S.Aliprandi Teoria e Pratica del Copyleft (NdA Press 2006 SantaGiustina (Ri))

[4] G.Sansone Lezioni di Analisi Matematica (Cedam 1944 Padova)

[5] G.Bagnera G.Ricci Lezioni sopra la Teoria delle Funzioni Analitiche (Tip-Lit Tenconi 1927 Milano)

[6] Corazza Someda Elementi di Calcolo Vettoriale e Tensoriale (Pitagora Editrice 1982 Bologna)

[7] Besançon The Encyclopedia of Physics (Van Nostrand Reinhold C. 1985 New York)

[8] Ing. JUDr.M.Tuma CSc Pri la Varmo (?? 1971 Česk)

[9] A. Bettini Meccanica e Termodinamica, Elettromagnetismo, Le Onde e la Luce (Decibel 2002 Padova) dispense

[10] A.Buffa,L.Giudicotti Fisica dei Plasmi (Padova 2005)

[11] E. Perucca Fisica I,II

[12] Zanella Dispense

[13] Fassò Dispense (www.math.unipd.it/ Fasso)

[14] G. Benettin Dispense (www.math.unipd.it/ Benettin)

[15] Richtmayer, Kennard, Cooper Introduction to Modern Physics (Tata McGraw-Hill 1997 New Delhi)

[16] V. Arnol’d Metodi Matematici della Meccanica Classica (Editori Riuniti 2004 Trebaseleghe (Pd))

[17] Landau Lifşfit Mecanica (Editura Tehnică 1966 Bucureşti)

[18] G. Sartori Lezioni di Meccanica Quantistica, Lezioni di Fisica Teorica (Libreria Cortina 1998,2006 Padova)

[19] Passatore Esercizi di Meccanica Quantistica bibitemTamvakis Tamvakis Problems and Solutions in Quantum Mechanics

[20] A.L.Fetter J.D.Walecka Quantum Theory of many Particle System (Dover 2003 Minesola,New York)

[21] K. Huang Meccanica Statistica [22] L.Landau E.Lifchitz Physique Statistique (Mir 1996 Moscou)

[23] G.Mussardo Il Modello di Ising e introduzione alla teoria dei campi e alle transizioni di fase (Bollati Borringhieri 2007 Torino)

[24] J. S. Lilley Nuclear Physics (Wiley 2005 Norfolk, UK)

[25] Povh Nuclei e Particelle

[26] Rigamonti Introduzione alla Struttura della Materia (La Goliardica Pavese 1991 Pavia)

[27] B.H.Brandsend C.J.Joachain Physics of atoms and molecules

[28] H.Ibach,H.Lüth Solid-State Physics (Springer 2003 Berlin)

[29] Anderson Physics Vademecum (American Istitute of Physics 1981 New York)

[30] D-aj A-oj Manuale Cremonese di Meccanica Elettrotecnica e Elettronica

[31] E.Angeleri Informazione Significato e Universalità (UTET 2000 Torino)

[32] Peter Coles, Francesco Lucchin Cosmology, the origin and the evolution of the cosmic structure (Wiley 2000 Chichester UK)

Indice analitico

Akcelo, 22 Akcia Funkcionala, 23 Akcio, 23 Akordo Temperata, 18 akvo disiganta, 15 Aliaso, 12 Angula trasformo, 34 Armonika Perturbado, 50 Atenua Faktoro, 12 atomaj unecoj, 73 Autokorelacio, 11

Banda Strukturo en SC retiklo, 84 Bandoj Rotaciaj, 89 Bessel-a, Ekvacioj7 bit, 102 Boltzmann-a, Ekvacio85 Bose Einstein-a, Kondenso64 Bose-Einstein-a Kondenso, 67 Bosono, 62 bra, 39 Bravais-a, Retiklo78 byte, 102

C-Operatoro, 93 Centra Kampo, 22 Centro, 21 Centroj Adsorbaj, 65 Chandrasekhar-a, Maso100 Clebsh-Gordan, 46 Clebsh-Gordan-a, Koeficentoj46 CMB Kosma Mikroonda Fondo, 98 Coulomb-a, gauge3

D’Alambert □, 10 Defalo, 33 Dekuplaǧo, 99 Diada Akordo, 18 Dielektrika Kostanto, 4 Difuzo, 17 Dipola Magnetik Momanto, 4 Dirac-a, Matricoj94 Dirac-a δ, 33 Disigilo, 20 Distinga Kapablo, 17 distribuo, 32 Du axutostatoj, 65 Dyson-a, Ekvacio57

Einstein-a, Konvencio26, Koeficanto76 Ekvilibra Konfigurado, 20 Ekvilibra Punkto, 20 Ekvilibro Asintota Firma, 21 Ekvilibro Firma, 21 Ekvilibro Nefirma, 21 Elektrika Maso, 1 Elektromagnetika Tensoro, 32 Energio Obskura, 97 Ensemble, 58 Entalpio, 61 Entropio, 58 Ero, iii Euler-a B, 62 Euler-a Γ, 62 Evento, 27

Faza Portreto, 19 Faza Spaco, 19 Fermi-a, Energio64, Gaso81 Fermi-a Energio, 64 Fermiono, 62 Fermionoj, 66 Flick-a Relacio, 6 Flukso, 20 Fonono, 66 Forco Nukleara, 87 Fotonoj, 65 Fourier-a, Bazo10, Sistemo10, Transfor-

mata11, Lokata Trasformo12, Trasformo Diskreta12

Frekvenco pola, 14 Frenet-a, Bazo21 Friedmann-a, Ekvacioj95 Fundamenta La, 18 Funkcio Gxenerila, 25 Funkcio Lokanta, 12 Funkcio Partaga, 59 Funkcio Proba, 33

γ-spaco, 58

Gaso duatoma en unudimensio, 61 Gaso en rotanta cilindro, 60 Gaso sub gravita forco, 60 GateauxDerivaǰo, 23 Gauge Nevarianteco, 32 Geodetiko, 23 Gibbs-a, Interna Energio61 Glata Ligilo, 21 Gram-a, Koeficento27 Gravita Maso, 1 Grupo, 28 Grupoj, 44 Ǧeneratoro Infinitezima, 44

Hall-a, Efekto2 Hamilton, 51 Hamilton-a, Sistemo23 Helmholtz-a Libera Energio, 61 Hermite-a, Polinomio46 Hertzsprung-Russel-a, Diagramo101 Hubbleleǧo, 96

Indico Rifrakta, 15 Infinitezima Trasformaǰo, 44 Interna Energio, 61 Intervalo Spac Tempa, 27 Iperšarǧo, 94 Isospin, 89

Jacobi-a, Identajxo44 Jeans-a, Denseco101 Johnson-a, Bruo72

Kampo, 1, 20 Kampo Elektro Magnetiko, 35 ket, 39 Kompona Reglo de Angul Momentoj, 45 Konfigura, 19 Konfiguracia Spaco, 19 Konforma Tempo, 96 kontraŭvarianta, 26 Korpo Nigra, 36 Kosmologa Kostanto, 97 Kostanta Potencialo, 50 kovarianta, 26 Kroneker-a δ, 26 Kvar potencialo, 32

L, 78 Lagrange Euler-a, Ekvacio22 Lagrange-a, Kompono de la Ekscito22 Land’e Faktoro, 75 Lande-a Regla de la iIntervalo, 75 Laplace-a, Trasformo11 Legendre-a Trasformaǰoj, 24 Lehman-a, Prezento57 Lie-a Algebro, 44 Lie-a Derivaǰo, 24 Ligilo Olonoma, 19 Longeco Karatkeriza, 70 Lorentz-a, gauge3 Lorentz-aj Trasformaǰoj, 28

Magnetizaǧo, 70 Malforta Vektora Kuranto, 94 Mandelstam-aj Variabloj, 31 Maso [Efficace], 81 Matrica Notacio, 26 Mem Energio Propra, 56 Memspaco, 38 Memstato, 38 Metrika Matrico, 23 Minkovskij-a, Metriko27 Mott-a, Transiro82 μ-spaco, 58

Nedetermina Principo, 12 Notacio Spektroskopa, 74 Nukleono, 87 Numero Onda, 10 Numeroj Magxikaj, 88 Nyquist-a, Frekvenco Kritika12

Ond Longeco Terma, 60 Ondo, 10 Ondo Disusa, 15 Operatoro, 38 Orbito, 19

Pado libera media, 6 Paketo, 16 Parametro Orda, 69 Pareco, 29, 39, 93 Parseval-a, Teoremo11 Pauli-a, Matrico46 Pauli-a Eskluda Principo, 62 Peltier-a, Efekto86 Periodo, 21 Piono, 87 Pitagora-a, Akordado18 Plank-a, Maso98 Pointyng-a, Vektoro3 Polaraj Koordinatoj, 24 Polarizaǧo, 4 Polo Dominanta, 14 Posicio, 39 Potenciala Kavo, 41 Potencialo, 1 Potencialo Generaligita, 21 Poynting-a, Teoremo3 Presiono, 66 Prezento NeRedukebla, 44 Probabla Denseca Kuranto, 41 Probabla Denseco, 71 Probabla Momanto, 71 Probablo, 59 Projektoro, 41 Proksimaǧo de Media Kampo, 68 Propra Frekvenco, 12 Pulsado, 10

Radia Ekvacio, 48 Rapideco Faza, 15 Rapideco Grupa, 15 Reacio, 33, 34 Refleksado Koeficanto, 80 Reglo Selekcia Dupola, 76 Relikto Kosmiko, 99 Resonanca Kesto, 14 Richardson Dushman-a, Legxo82 Robertson Walker-a, Metriko96 Roza Traslado, 96

Saha-a, Ekvacio99 Schroedinger-a, Ekvacio38 Seeback-a, Efekto86 Selo, 20 Sfera Koordinatoj, 21 Spaco Proba, 33 Speciamento, 12 Spektro, 38 Spektro Potenca, 11 Stone-a, Teoremo44

Tanǧa Fibrato, 19 Temp dipenda Potencialo, 49 Tempa Nevariacio, 29 Tempa [Rilassamento] Proksimaǰo, 85 Tempo Defala, 14 Tempo Kohera, 16 Tensora Produkto, 45 Termodinamika Limito, 58 Th: Bloch-a Teoremo, 83 Th: Centra Limito, 71 Th: de Egala Partumigo de la Energio, 61 Th: Helmoltz-a, 2 Th: Lagrange-a Moltiplikatoro, 59 Th: Liouville-a, 23 Th: Noether-a, 23 Th: P, 17 Th: Parseval, 71 Th: Spac Tempa Intervalo, 27 Th: Th de Lagrange-Dirichlet: , 22 Th: Wiener-Khinchin, 11 Th: Winer Khintchin, 72 Th: Young, 69 Thomas Fermi-a Proksimaǰo, 82 Thomas Fermi-a, Radio82 Timbro, 18 Tolomeo-a, Akordado18 Tono, 18 Totala Angula Momanto, 89 Traslacio, 39 Trasmesado koeficanto, 80

Unua Apudoj, 70 Unua integralo, 20 Urta Parametro, 90 Urta Sekcio, 90 Urta Sekcio de Adsorbo, 76

Van der Waals-a, Ekvacio68 Variacio, 23 Varianco, 71 Vektora Spaco, 39 Vektoraj Spacoj, 39 Virialo Teoremo, 100

Weisskopf-aj Unuecoj, 90 Woods-Saxoon, 87 Wronsky-a, Teoremo41