next up previous contents
Next: Passo i-esimo Up: Fattorizzazione LU con Pivoting Previous: Matrici di Permutazione   Indice

Costruzione del metodo di Fattorizzazione LU con Pivoting Parziale

Definisco

\begin{displaymath}
k_{1}=\vert a_{k_1,1}^{i}\vert=max_{r\geq 1} \vert a_{r1}^{i}\vert>0\end{displaymath}

Sto cercando l'elemento massimo in valore assoluto della prima colonna dall'elemento diagonale in giù.
Appeno trovato l'elemento massimo \(k_{1}\) costruisco la matrice di permutazione elementare \(P_{1}\) come la matrice identità in cui la prima riga è scambiata con la \(k_{1}\)-esima.
Definisco il vettore elementare di Gauss:

\begin{displaymath}
\underline{g}_{1}=\frac{1}{a_{k_1,1}}(0 a_{21}\ldots a_{11}\ldots a_{n1})^{T}\end{displaymath}

e la matrice \(L_{1}\):

\begin{displaymath}L_{1}=I-\underline{g}_{1}\cdot \underline{e}_{1}^{T}\end{displaymath}

Ora posso applicare il passo di Gauss ma con una modifica; ottengo \(A^{1}\) come il prodotto di \(L_{1}\cdot P_{1}\cdot A\).

\begin{displaymath}
L_{1}\cdot P_{1}\cdot A=A^{1}
\end{displaymath}

Ad ogni passo di Gauss prima di moltiplicare la matrice \(A^{i-1}\) per \(L_{i}\) moltiplico \(P_{i}\) per A; questo mi da la certezza che il vettore elementare di Gauss sia sempre definito. Nel metodo di Eliminazione di Gauss ad ogni passo dovevamo controllare che \(a_{ii}\) fosse diverso da zero mentre adesso questo non è più necessario: moltiplicando la matrice di permutazione elementare \(P_{i}\) per la matrice A (si permutano due righe di A) ci assicuriamo che in diagonale A abbia elementi sicuramente diversi da zero (ovvero l'elemento \(a_{k_{i},i}\)); se così non fosse significherebbe che non è stato trovato il massimo elemento della colonna (ovvero il massimo elemento è 0), ma questo è impossibile poichè la matrice A è NON SINGOLARE.
L'unico requisito è che la matrice A sia non singolare.
next up previous contents
Next: Passo i-esimo Up: Fattorizzazione LU con Pivoting Previous: Matrici di Permutazione   Indice
2005-09-05